Доклад по теме: «Взаимно простые числа».
Данный материал подготовлен Федоровым Константином для научно - практической конференции учащихся Шатковского района Нижегородской области. В этой работе ученик раскрыл понятие "Взаимно простые числа", привел много интересных примеров, рассмотрел историю возникновения понятия. Эта работа будет полезна как учащимся, так и преподавателям при прохождении данной темы.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 vzaimno_prostye_chisla.pptx | 130.88 КБ |
 doklad.docx | 69.87 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Целые числа называются взаимно простыми , если они не имеют никаких общих делителей , кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).
Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми . Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.
Примеры: 8, 15 — не простые, но взаимно простые. 6, 8, 9 — взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые. 8, 15, 49 — попарно взаимно простые.
Свойства взаимно простых чисел 1. Числа a и b взаимно просты тогда и только тогда , когда выполняется одно из эквивалентных условий. Наибольший общий делитель a и b равен единице . Существуют целые x и y такие, что ( соотношение Безу ).
Безу Этьенн (31.3.1739-27.9.1783)-французский математик, член Парижской Академии Наук (1758г.). Родился в Немуре . С 1763г. преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768г. также в Королевском артиллерийском корпусе. Основные труды по высшей алгебре.
2. Любые два (различных) простых числа взаимно просты. 3.Если a — делитель произведения bc , и a взаимно просто с b , то a — делитель c . 4.Если числа a 1 ,…, a n — попарно взаимно простые числа, то НОК ( a 1 , …, a n ) = | a 1 ·…· a n | . Например, НОК
Задача 1 Если a и b – взаимно простые, то a n и b m – тоже взаимно простые. Решение. Так как н.о.д.( a ; b ) = 1, то a и b не имеют общих простых множителей в своих разложениях. Значит, a n и b m – тоже не могут иметь общих простых множителей, то есть они – взаимно простые.
Задача 2 Если а и с – взаимно простые, b и с – взаимно простые, то ab и с – тоже взаимно простые. Решение. Так как н.о.д.( a ; с) = 1 и н.о.д.( b ; c ) = 1, то числа a и b не имеют с числом с общих простых множителей, то есть, н.о.д.( ab ; с) = 1.
Задача 3 Подсчитайте, сколько всего существует натуральных чисел, которые не превосходят число 841 и не имеют с ним общих делителей, отличных от 1. Решение Заметим, что 841 = 29 2 и 29 – простое число. Теперь нетрудно сообразить, что существует 840 – 28 = 812 ( 29, 29*2, 29*3,…,29*27, 29*28 -- 28 натуральных чисел, которые делятся на 29 ) натуральных чисел, которые не превосходят число 841 и не имеют с ним общих делителей, отличных от 1.
Предварительный просмотр:
Нижегородская область, п.г.т. Шатки.
МОУ Шатковская СОШ № 1
Научно-практическая конференция по математике.
Доклад по теме:
«Взаимно простые числа».
Выполнил ученик 7 «а» класса
МОУ Шатковская СОШ № 1
Федоров Константин
Руководитель: Дивеева Е.С.
Слайд 2
- Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.
- Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).
Слайд 3
- Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми.
- Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.
Слайд 4
Примеры:
- 8, 15 — не простые, но взаимно простые.
- 6, 8, 9 — взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые.
- 8, 15, 49 — попарно взаимно простые.
Слайд 5
Свойства взаимно простых чисел
1. Числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда выполняется одно из эквивалентных условий.
- Наибольший общий делитель a и b равен единице.
- Существуют целые x и y такие, что (соотношение Безу).
Слайд 6
Безу Этьенн (31.3.1739-27.9.1783)-французский математик, член Парижской Академии Наук (1758г.). Родился в Немуре. С 1763г. преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768г. также в Королевском артиллерийском корпусе. Основные труды по высшей алгебре.
Слайд 7
2. Любые два (различных) простых числа взаимно просты.
3.Если a — делитель произведения bc, и a взаимно просто с b, то a — делитель c.
4.Если числа a1,…, an — попарно взаимно простые числа, то НОК(a1, …, an) = |a1·…·an|. Например, НОК (9; 11)=9*11=99
Слайд 8
Задача 1
Если a и b – взаимно простые, то an и bm – тоже взаимно простые.
Решение.
Так как н.о.д.(a; b) = 1, то a и b не имеют общих простых множителей в своих разложениях. Значит, an и bm – тоже не могут иметь общих простых множителей, то есть они – взаимно простые.
Слайд 9
Задача 2
Если а и с – взаимно простые, b и с – взаимно простые, то ab и с – тоже взаимно простые.
Решение.
Так как н.о.д.(a; с) = 1 и н.о.д.(b; c) = 1, то числа a и b не имеют с числом с общих простых множителей, то есть, н.о.д.(ab; с) = 1.
Слайд 10
Задача 3
Подсчитайте, сколько всего существует натуральных чисел, которые не превосходят число 841 и не имеют с ним общих делителей, отличных от 1.
Решение
Заметим, что 841 = 292 и 29 – простое число. Теперь нетрудно сообразить, что существует 840 - 28 = 812 ( 29, 29*2, 29*3, 29*4, … 29*27, 29* 28 --- 28 натуральных чисел, которые делятся на 29) натуральных чисел, которые не превосходят число 841 и не имеют с ним общих делителей, отличных от 1.
Афонькин С. Ю. Приключения в капле воды
Иван Васильевич меняет профессию
Сказка на ночь про Снеговика
Пустой колос голову кверху носит
Развешиваем детские рисунки дома