Проект по планиметрии "Решение планиметрических задач"

по планиметрии

ученика 10А класса

МБОУСОШ № 2 «Возрождение»

Смирнова Игоря

А11

Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию ABCD (AB║CD), если AB=4, DC=16.

          1)64π            2)32π           3)16π           4)25π

                                                      Дано:  ABCD- трапеция.AD=CB,  

                                                                   AB//CDAB=4, DC=16.

                                                                 В трапецию впис. окружность.

         A        B                               Найти: Sокр.

D C

        A1  B1

Решение:

1). Д. п.: АА1 и ВВ1- высоты.

2). AD+BC=AB+DC; AD=BC; AB+DC=16+4=20→ AD=BC=20:2=10.

3). DA1=B1C=(16-4):2=6.

4). АА1=ВВ1=8(т. Пифагора)

5).R=8:2=4

6).Sокр.=πR2=16π

Ответ: 3.

A16.

В прямоугольном треугольнике МАС(        А=900) AB- биссектриса угла А, МВ= 2√2  ,       АМВ =750. Найдите длину АМ.

     1)4√2       2)2√3         3)4                  4)  √3:2        

                                                    Дано: АМС- прямоуг. тр-ик

                                                                   А=900. АВ-биссек.

                                                                          МВ=2√2   ,      АМВ=750

   М                                                         Найти: АМ           

 А  С

                            Решение:

1).        С=180-90-75=15

2).     АВМ= 180-45-75=60

3). По т. синусов:

АМ:sin60=МВ:sin450

АМ=2√2∙2:√2∙√3:2=2√3

Ответ: 2

А21

Найти площадь треугольника АВС, если АС=7, ВС=8, DCB=600.

 1)28√3              2)14             3)14√3           4)14√2

                                Дано:АВС- тр-ик. BCD-внеш. угол

                                         .     ВСD=600.                                                                                

                              Найти: SАВС               

        В        

A       C            D

Решение:

1).        АСВ=180-60=120.

2). SАВС=(АС∙ВС):2∙ sin1200=7∙8:2∙√3:2=14√3

Ответ: 3

А26

Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника, равна 4π. Найдите площадь правильного шестиугольника.

1)3√3           2)6√3             3)9√3               4)12√3

                   Дано: правильный  шестиугольник. Око-

                             ло него описана окружность.Sкр.=4π                  

                 Найти: Sшестиугольника

Решение:

1).Sкр.= πR2=4π→R=2

2).r=Rcos30°=2cos300=2√3:2=√3

3).a=2Rsin3004:2=2

4).p=12:2=6

5).S=pr=6√3

Ответ:2

B31

Точка Р лежит на стороне DC треугольника DBC,      

      DBC=     BPD=900, BD=√10 , DP=1, CP=yDP.

Найдите y.

                    Дано: DBC-прямоуг. тр-ик. BP-высота.                              

                               BD=√10 , DP=1, СР=уDP    

                  Найти:  у

D

        C

                                        Решение:

1). ВР=√10-1=3

2). ВР=√DP∙PC  (сред. проп.)

3). РС=ВР2 =9.

4).  y= -9:1=-9(т.к. DP и CP противоположны)

Ответ:-9

B41

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 4, 13, 15.

                                                       Дано: а=4, b=13, с=15

                                                     Найти: R

Решение:

1). S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

      p=32:2=16

S=√576=24

2). 24=4∙13∙15:4R
R=8.125

Ответ: 8.125

B46

Дано: В треугольнике АВС сторона АВ=12 см, ВС=16 см, медианы треугольника АА1 и СС1 пересекаются под углом 900.  

Найти: АС. В ответе пишите АС√5.

     С

А        С1               В

Решение:

1). ОС1=х, ОА1=у.

2). 64=4х2+у2

     36=4у2+х2

3). 5х2+5у2=100

      х2+у2=20

4). АС2=4х2+4у2=4(х2+у2)=80.

5). АС=√80=4√5

6). АС√5=4∙5=20

Ответ: 20

B51

Найдите площадь параллелограмма, если его меньшая диагональ перпендикулярна боковой стороне и высота, проведенная из вершины тупого угла параллелограмма, делит большую сторону на отрезки 9 см и 25 см.

                                         Дано: ABCD- параллелограмм

                                                    BD     DC. BH- высота.

                                                     AH=9см, НD=25см.

                                       Найти:  SABCD

В        С

А        H        D

Решение:

1). BD        AB(как накрест лежащие)

2). AD=25+9=34

3). ВН=х, АВ=у, BD=z.

4).    у2=81+х2       

        z2=625+х2

        1156=у2+z2  

    1156=y2+z2=625+81+2x2

2x2=450

x2=225

x=15

5). SABCD=34∙15=510cм2        

Ответ: 510см2

B56

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если

радиусы его вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 см и 5 см.

                                    Дано: АВС- прямоуг. тр-ик.

                                               Rвпис. окр.= 2 см.

                                               Rопис. окр.= 5 см.

                                   Найти: SABC

Н

Решение:

1). ВС=5∙2=10.

2). ОС=х, ВО=10-х

3). НС=ОС=х

      BD=BO=10-x

4). AH=AD=2.

5). (10-x+2)2 + (x+2)2=100

     x=6;4

6). SABC= (6+2)(12-6):2=24 см2         

Ответ: 24 см2

B61

Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 12 и 5. Найдите длину медианы, проведенную к гипотенузе.

                                              Дано: АВС- прямоуг. тр-ик.  

        AD- медиана. АС=5

        АВ=12

B                                          Найти:  AD

A        C

Решение:

1). ВС=√AB2+AC2            =√169        =13

2). AD=BD=13:2=6.5

Ответ: 6.5

В36

Дано: а=3p+2q, b=p-4q,  p и q единичные перпендикулярные векторы.

Найти: а  ∙ b    

        Решение:

1).a ∙ b= (3p+2q)(p-4q)= 3│p│2+2qp-12qp-8│q│2

2). т. к. p и q- единичные перпендикулярные векторы, то

 a ∙ b=3-8=-5

Ответ: -5