Исследовательская работа "Золотое сечение"

                      МКОУ «Юстинская средняя общеобразовательная школа»

Конкурс «От исследования – к научному поиску».

Секция – Естественно-научная.

     Исследовательская работа по математике

                                 на тему:

                       «Золотая пропорция»

                                                                                                               Работу выполнила: ученица 8 класса,

                                                                                                                Лиджи-Гаряева Эвелина.

                                                                                              Руководитель: учитель математики,                                   почетный работник общего образования РФ

                                                                                                                         Амулангова В.А.

п.Юста, 2013г.

Краткая аннотация.

Цель работы: поиск закономерностей «золотой пропорции» в различных областях неживой и живой природы и в моем окружении.

Методы и приемы исследования: наблюдения, сбор данных, расчеты, математическая обработка полученных результатов.

В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры, взятые из областей науки и искусства, в которых отражается эта пропорция: архитектура, живопись, скульптура, природа. В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту « Золотого сечения» в реальной жизни. Я поняла, что мир математики приоткрыл мне одну из удивительных тайн, которую я постаралась раскрыть в своей работе.

. Выводы:  «Золотая пропорция проявляет себя как в мире живой природы, так и в нашем окружении.

Содержание

                                                                                                                               стр

  Введение …………………...…..………………………………………….….....3

Основная часть

1. «Золотые» фигуры и тела..……………….…...……………………………..5

2. Загадки древних строений

2.1 Египетские пирамиды……..……………….……………….…….….............5

2.2 Парфенон в Афинах………………………………………………………......6

3. Проявление «золотой пропорции» и ее образующих в науке

3.1 Научные открытия……………………………………………..….…………..6

4. «Золотая пропорция» в моем окружении

4.1 «Золотая пропорция» в растениях……………………………………………7

4.2 «Золотой прямоугольник»……………………………………………………8

4.3 «Золотая» пропорция в анатомии человеческого тела………………….......9

Заключение………………………………..…………………………….…............12

Список используемой литературы……………………………………...………..13

Введение

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами.

Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка

в крайнем и среднем отношении».

Иоганн Кеплер.

       Изучая различную научную литературу, я пришла к выводу, что «золотое сечение» перестало быть сокровищем одной лишь геометрии.

      Все это побудило  меня исследовать «золотую пропорцию» как универсальную мировую константу.

Предмет исследования: «золотая пропорция».

Цель исследования: поиск закономерностей «золотой пропорции» в различных областях неживой и живой природы и в моем окружении.

В ходе исследования сформировались задачи:

1.Изучить необходимую литературу по данной теме;

2.Определить и рассмотреть использование «золотой пропорции» в неживой и живой природе, ее применение в современном мире;

3.Выявить и изучить проявления «золотой пропорции» и ее производных в моем окружении.

Гипотеза: если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в мире живой и неживой природы.

Значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно-популярная литература по данной теме, а также выявлено несколько видов «золотой пропорции» – «золотая спираль», «числа Фибоначчи», «золотая» симметрия.

Апробация работы состоит в применении «золотой пропорции» на уроках математики, биологии, физики,  мировой художественной культуры, а также во внеклассных мероприятиях  и при проведении предметных недель.

Слово «пропорция» в переводе с латинского означает «соразмерность», «определенное отношение частей между собой». Учение об отношениях и пропорциях особо успешно     развивалось в четвертом веке до нашей эры в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами.

     Из «Начал» Евклида к нам пришла геометрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Существует бесконечное множество разбиения отрезка (рис 1) на две части, и лишь единственный способ разбиения такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к его меньшей части

рис 1.

Обозначим длину всего отрезка через 1, а длину его большей части за x, тогда длина меньшей части будет 1 – x. Составим пропорцию согласно приведенному определению:

       откуда: 1 – x = х2.

корни уравнения являются иррациональными числами:

     Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует выбрать второй. Число  обозначается буквой  в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого оно встречается многократно. Число   – иррациональное, с восемью десятичными знаками оно записывается так:

φ ≈0,61803398… .

     Вокруг этого числа, называемым числом Фибоначчи, создан романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения. Еще его называют «золотым сечением», или «золотой пропорцией».

     Приложения  «золотого сечения» изучают в математике, физике, ботанике, философии, биологии, медицине, компьютерной науке.

      К.Птолемей,  александрийский астроном, математик и географ рассчитал, что рост человека правильного телосложения естественно делится в «золотом» отношении. Древние скульпторы использовали этот факт как критерий гармонии и канон красоты. «Золотое сечение» наблюдается в шрифтах и бытовых предметах.

     Большинство греческих памятников архитектуры, непревзойденная «Джоконда», картины Рафаэля, Шишкина, Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Вознесенского - не полный перечень выдающихся произведений искусства, насыщенных чудесной гармонией  «золотого сечения».

1. «Золотые» фигуры и тела

Диагонали «пентагона» (пятиугольника) ABCDE (рис 2) образуют пятиугольную звезду. Точки пересечения диагоналей всегда являются точками «золотого сечения».

       рис 2.

   Таким образом:

Бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры вызывает  эстетическое чувство ритма и гармонии.

2. Загадки древних построек

2.1 Египетские пирамиды

          Правильная четырехугольная пирамида (рис 3) является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх. Отношение поверхности граней к площади основания также равно «золотой» пропорции. Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные  величины - π и Ф - со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел - стороной основания и высотой пирамиды.

рис 3.

2.2 Парфенон в Афинах

      Рассмотрим один из знаменитейших произведений древнегреческой архитектуры – Парфенон в Афинах (рис 4). Длина его архитрава – 31,2 м, высота здания от основания до верхней точки – 19,6 м. Эти две цифры – ширина и длина – удовлетворяют пропорции золотого деления. Если высоту Парфенона разбить на части по пропорции золотого деления, то окажется, что все получающиеся при этом точки обозначены характерными выступами фасада.

    Произведения готической архитектуры также удовлетворяют приведенному принципу.

рис 4.

Вывод:

        В пирамидах Хеопса древние египтяне воплотили  две иррациональные  величины - π и Ф, оперируя исходными отношениями целых чисел - стороной основания и высотой пирамиды.

                                  3. Проявление «Золотой пропорции» в науке

3.1 Научные открытия

Благодаря «золотой  пропорции» были сделаны открытия:

-    обнаружен пояс астероидов между Марсом и Юпитером;

-    точка компенсации струны (возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении «золотого сечения», не вызовет колебаний);

-    на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с «золотой пропорцией».

4. «Золотая пропорция» в моем окружении

4.1 «Золотая пропорция» в растениях.

    Мною было проведено исследование, цель которого – выяснить, на примере домашних растений, каким образом золотая пропорция присутствует в растительном мире. Результаты этого исследования оформлены в приведенной таблице 1.
   На каждом из рассмотренных растений я исследовала по 10 побегов. В первом столбце приведены названия растений; во втором и третьем - распространение правила золотой пропорции на побегах (на какое количество побегов из 10 распространено правило, а на какое – нет); в четвертом и пятом столбцах - соотношение количества побегов, на которые распространено правило золотой пропорции, и побегов, на которые не распространено, в процентах (%).

Таблица 1.

     Результаты моего исследования показали, что золотая пропорция действительно существует. Она распространена в природе, причем более 2/3 растений подчинены ей.

А мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единым законам - и раскрыть и объяснить эти законы и есть главная задача человеческой науки. Я думаю, что мы не раз еще обнаружим в природе интересные математические отношения. Надо только уметь их наблюдать.

4.2 «Золотой прямоугольник»

     Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, иногда называются золотым прямоугольником (рис 5). Золотой прямоугольник обладает многими интересными свойствами. Если, например, от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Если этот процесс продолжить, то получим так называемые вращающие квадраты, и весь прямоугольник оказывается составленным из этих квадратов. Если соединить противоположные вершины квадратов плавной кривой, то получим кривую, называемую «золотой спиралью».  

     Где встречается «золотая спираль» в природе? Паук плетет паутину тоже спиралеобразно (рис 6). Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается также по спирали. По спирали закручены раковины многих моллюсков, улиток (рис 7). Спирально закручиваются усики растений, рога архаров (рис 8) По спирали происходит рост ткани в стволах деревьев.

     Мною были проведены эксперименты на тему «Золотая пропорция и восприятие». Респонденты отдали предпочтение книге, имеющей форму, близкую к «золотому прямоугольнику», оставляя без внимания другие книги, имеющие форму вытянутого прямоугольника и форму, близкую к квадратной. И участники эксперимента предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствовала пропорции «золотого отрезка». Также среди учащихся 5-11классов и учителей было проведено исследование «Визитная карточка». Нужно было выбрать наиболее привлекательную визитную карточку. Визитки были разной формы: квадратная, удлиненная прямоугольная и форма близкая к «золотому прямоугольнику». Из таблицы 2 видно, что из 38 опрошенных учителей и учащихся, 27 выбрали визитную карточку близкую к «золотому прямоугольнику». Это объясняется тем, что бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты.

                      рис 5.                                                рис 6.                                    рис 7.

рис 8.

Таблица 2.

4.3 «Золотая» пропорция в анатомии человека

    То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определенной пропорции, знает каждый: недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре.

    Но далеко не всем известно, что здесь имеет место золотое сечение. Лучшим доказательство того, что древние ваятели руководствовались данным принципом в своем творчестве, являются античные статуи. Идеально сложенное человеческое тело полностью отвечает этому принципу. Если высоту великолепно сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии (рис 9). Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура, и художники давно знают, что, вопреки общему мнению, мужчины сложены красивее, чем женщины.

               рис 9.

   Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотого сечения. Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта "Строительное проектирование" содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.
Немецкий профессор Цейзинг в середине 18 столетия проделал огромную работу: он измерил более 2000 тел и высказал предположение, что золотое сечение выражает среднестатистический закон: деление тела точкой пупа – один из основных показателей золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. Чтобы проверить гармоничность в строении (телосложении) учащихся нашей школы, мною были произведены некоторые измерения: рост, высота от стопы до пупочной линии, от пупочной линии макушки.

Работая над проектом, я решила провести эксперимент. Мне стало интересно - встречается ли гармоническая пропорция тела у современных людей? В эксперименте участвовали  учащиеся 5-11 классов. Для этого мне нужно было узнать их рост - как целое(с), длину от ступни до талии – как большую часть(b), и длину от талии до темечка, как меньшую часть(а). Перед тем, как провести эксперимент, я составила таблицу с нужными мне для расчёта величинами. Теперь я могу провести измерения. Для этого мне нужно знать формулу «золотой» пропорции и способ её применения. В нашем случае формула «золотого сечения» выглядит так: a:b=b:с.

Таблица 3

    В процессе расчёта выяснилось, что у некоторых участников эксперимента фигуры оказалась приближены к стандартам «золотой» пропорции, потому что их отношение большей части к целому равно отношению меньшей части к большей. И это отношение равно 0,618, как того и требует пропорция. У других участников эксперимента соотношения пропорций не соответствовало стандарту «золотой» пропорции. Это не значит, что они не соответствуют общепризнанным канонам пропорций человеческого тела. Просто для «золотого сечения» их пропорции не подходят. И теперь я смело могу утверждать, что меня окружают люди с «божественной» пропорцией тела. Но это встречается не у всех. Параметры тела у всех людей разные. Это зависит от наследственности, среды обитания, условий проживания, особенностей трудовой деятельности.

Выводы:

     Бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, основанное на «золотом сечении», вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Поэтому многие предметы прямоугольной формы зачастую имеют форму «золотого прямоугольника»: книги, визитные карточки. Точка деления отрезка в «золотом отношении» подсознательно притягивает наше внимание.

    Рост человека правильного телосложения естественно делится в «золотом» отношении. 60 % испытуемых учащихся 5-11 классов моей школы подтвердили гармонию красоты своего тела.

    Нам в своей жизни необходимо стремиться к созданию гармонии красоты не только в архитектуре, живописи, своего тела, но и в поведении, учении и познавательности.

Заключение.

   Значение золотого сечения в современной науке очень велико. В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры, взятые из областей науки и искусства, в которых отражается эта пропорция: архитектура, живопись, скульптура, природа. В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту          « Золотого сечения» в реальной жизни. Я поняла, что мир математики приоткрыл мне одну из удивительных тайн, которую я постаралась раскрыть в своей работе, кроме того, эти вопросы выходят за рамки школьного курса, они способствуют совершенствованию и развитию важнейших математических умений. Я собираюсь продолжать свои исследования и дальше, и искать еще более интересные и удивительные факты. Но изучая закон золотого сечения важно помнить, что он не является обязательным во всем, что мы встречаем в природе, а символизирует идеал построения. Небольшие несоответствия идеалу – это то, что делает наш мир таким разнообразным.
«Золотая пропорция» действительно является универсальной мировой константой.

В ходе работы гипотеза о том, что «золотая пропорция» уникальна, универсальна, является мировой константой,  нашла свое подтверждение.

Список используемой литературы:

1. Справочник руководителя сельской школы.
2. Журнал «Математика», 2008
3. Петров В.М., Прянишников Н.Е. «Формулы прекрасных пропорций».
4. Пидоу Д.  «Геометрия и искусство».
5. Прохоров А.И. «Золотая спираль».
6.  www.sotvoreniye.ru/articles/golden_ratio2.php
7. sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/zolsech/zolsech2.htm