Содержание

Вероятность математическая – это числовая характеристика

степени возможности появления какого–либо определенного

события в тех или иных определенных, могущих повторяться

неограниченное число раз, условиях.

А.Н. Колмогоров

Введение

Мы,  не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случится”, “это маловероятно”. Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Актуальность:

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника –  ГИА и Единый государственный экзамен. Успешная его сдача - это  дело случая или нет?

Цель исследования: определение вероятности успешной сдачи экзамена обучающимися 10 и 11 классов путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Для реализации целей были поставлены следующие задачи:

1. собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;
2. провести статистический эксперимент (решение экзаменационных тестовых работ по обществознанию, русскому языку, биологии в 10-11 классах);
3. проанализировать результаты решения экзаменационных тестовых работ средствами теории вероятности.
4. Провести анкетирование среди учащихся по вопросу: «Можно ли сдать экзамены без подготовки, угадывая ответ в заданиях типа А?»

Объект исследования: задания с выбором ответа из предложенных.

Предмет исследования: результаты тестовых заданий по предметам в форме ЕГЭ. 

Гипотеза: выбор ответов наугад не может обеспечить успешной сдачи экзамена.

Методы  исследования: анализ, сбор информации, эксперимент, анкетирование.

Глава 1.Теория вероятностей

1.1 Из истории становления теории вероятности

Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартних играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705гг.). Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта.

1.2 Определение и основные формулы «Теории вероятности»

Итак, насколько эта теория полезна в прогнозировании и насколько она точна?  Какие полезные наблюдения можно вынести из текущей теории вероятностей?

Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». В  словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как  «возможности осуществления чего-нибудь»[4,62]. И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений»[4,62].

В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов  под редакцией Ш.А.Алимова дается следующее определение: теория вероятностей — раздел математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях»[1,336]

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным   по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости. Событие  называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти. Событие  V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания  событие V  не произойдет.[6,39] Например, невозможным является выпадение числа 7 при бросании игрального кубика. Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А), тогда формула для вычисления  вероятности  записывается так:

Р(А)=, где m ≤n(1)

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания. Из формулы (1) следует, что

0≤ Р(А)≤ 1.

Данное определение принято называть классическим определением вероятности.

При решении вероятностных задач часто приходиться сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Данная схема названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли,  выведшего формулу:

                                                 [5,68]

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

• найти   общее количество  исходов  этой ситуации;
• найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;
• найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

Глава II. ЕГЭ и ГИА как пример использования теории вероятностей жизни

2.1. Единый государственный экзамен и государственная итоговая аттестация

Экзаменационные работы по различным предметам имеют свои особенности, но во всех из них есть задания с выбором ответа. Среди нерадивых учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?» Был проведен  опрос среди обучающихся 10-х классов и задан один вопрос. Можно ли сдать экзамены без подготовки, угадывая ответ в заданиях типа А?

 Результаты такие: 52,2% респондентов считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом (приложение 1).

Было решено проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.  Для эксперимента   был взят один из обязательных предметов  для сдачи экзаменов -  русский язык, и  наиболее предпочитаемые предметы в 11 классе. По данным 2014 года самым популярным из необязательных предметов среди выпускников НАО стало обществознание (193 человека) и биология (82 человека)[11].

А) Русский язык. По данному предмету тест включает 39 заданий типа А, В и С, из которых 30 заданий типа А с выбором ответа из 4-х предложенных. Для того чтобы пройти порог на экзамене в 2014 году достаточно было в 1 части правильно выполнить 17 заданий. Каждое задание имело 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем.[5, 68] Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)= и  q=P(Ā)=1-p=.

Вероятность получения положительной оценки:

=  =119759850

0,00163*100%0,163%        

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,163%!

Максимальный балл 21, минимальный 7. В эксперименте приняло участие 44 обучающихся, из которых только 5-ти учащимся удалось пройти минимальный порог, что составляет 11,4% (приложение 2).

Обществознание

Первая часть демонстрационного варианта ЕГЭ 2014 года по обществознанию содержит 20 заданий с выбором одного верного ответа, из четырех предложенных. Определим вероятность получения положительной оценки. Рособрнадзором установлен  минимальный первичный балл по обществознанию – 15.

Вероятность получения положительной оценки:

=  =15504

0,000003*100%=0,0003%        

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,0003%!

В эксперименте участвовали учащиеся 10 «Б» и 11 «Б» классов (27 человек). Самый высокий балл 16, самый низкий 5. Таким образом, только один обучающийся  смог набрать нужное количество баллов по обществознанию, что составляет 3,7% (приложение 2).

Биология

По данному предмету тест включает 50 заданий типа А, В и С, из которых 36 заданий типа А с выбором ответа из 4-х предложенных. Для того чтобы пройти порог на экзамене в 2014 году достаточно было в 1 части правильно выполнить 17 заданий.

Вероятность получения положительной оценки:

=  =8597496600

0,00211*100%0,211%        

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,211%!

Эксперимент, проведенный, среди  учеников 10-11 классов показал, что самое большое количество совпадений - 21, самый низкий балл - 6. 10 учеников из 47 прошли минимальный порог , что составляет 21% (приложение 2).

Заключение

В результате проделанной  работы, были достигнуты  поставленные задачи:

во-первых, была изучена научная литература по теме «Теория вероятностей» - это огромный раздел науки математики;

во-вторых, в ходе работы был проведен эксперимент, позволяющий определить  вероятность успешной сдачи экзамена обучающимися 10 - 11 классов путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

в-третьих, исследовав вероятность успешной сдачи ЕГЭ и ГИА обучающимися 10-ми -  11-ми классами по предметам биология, обществознание, русский язык можно сделать следующие выводы:  

1. При проведении эксперимента наибольший процент правильно угаданных ответов был получен при написании тестовой работы по предмету биология. Это, возможно, связано с тем, что обучающиеся опирались на те знания, которые они получили на уроках и в повседневной жизни. Им было легче сориентироваться при выборе ответа, на уровне подсознания. Кроме того, для минимального порога сдачи необходимо выполнить 17 заданий из 36. По другим предметам этот порог несколько выше.

2. Наименьший процент правильно угаданных ответов пришелся на предмет обществознание. Нужно отметить, что процент вероятности получения положительной оценки по формуле Бернули, был наименьшим по сравнению с другими предметами. Это связано с меньшим количеством заданий с выбором одного ответа из предложенных (всего 20 заданий), а для прохождения порога необходимо выполнить 15.

Таким образом ранее выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение в проведенном исследовании. Полученные данные позволяют сделать вывод, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит учащимся успешно писать тестовые контрольные работы, хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в ВУЗ. Даже тем, кому удалось пройти минимальный порог, набранных баллов будет недостаточно для поступление в высшее учебное заведение.

С результатами данного исследования можно ознакомить будущих выпускников во время проведения классных часов, внеклассных мероприятий, с целью пропаганды подготовки их к экзаменам.

Список литературы

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.

2. Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.

3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.

4. Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989
5. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.
6. Панов Э. Введение в статистику//Математика (приложение к газете «Первое сентября»),2004,№25-26.
7. Семеновых А. Комбинаторика//Математика (приложение к газете «Первое сентября»),2004,№16,17.
8. Федосеев В.Н .Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.
9. Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд. перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997.
10. www.fipi.ru
11. www.info-nao.ru

Приложение 1

Анкетирование.

Можно ли сдать экзамены без подготовки, угадывая ответ в заданиях типа А?

Рис. 1. Результаты анкетирования респондентов.

Приложения 2

Таблица 1. Результаты статистического эксперимента по биологии.

Таблица 2. Результаты статистического эксперимента по русскому языку.

Таблица 3. Результаты статистического эксперимента по обществознанию.