Педальный треугольник

      Содержание

Введение..........................................................................................................  3

Исторический экскурс.  ................................................................................  5

Педальный треугольник и его свойства.........................................................7

Практическая часть........................................................................................ 12

Заключение..................................................................................................... 15

Список литературы и интернет-ресурсов.................................................... 16

Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг. 

(Ф. Хаусдорф) 

Введение

Актуальность:

Треугольник — одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьном курсе геометрии рассматриваются свойства и теоремы о произвольных, равносторонних, равнобедренных, прямоугольных треугольниках. Чтобы расширить геометрические представления о свойствах треугольника, познакомимся с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

Объект исследования: педальный треугольник.

Предмет исследования: свойства педального треугольника.

Цель работы: расширить геометрические представления о свойствах треугольника и рассмотреть их практическое применение при решении задач.

Задачи:

• изучить педальный треугольник;
• рассмотреть свойства педального треугольника и доказать самостоятельно некоторые из них;
• рассмотреть задачи с применением свойств педального треугольника.

Гипотеза: если выяснить свойства педального треугольника и овладеть ими, то возникает объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

Методы исследования:

• частично-поисковый метод;
• экспериментальный;
• системно-сравнительный анализ.

Этапы исследования:

• Первый этап – теоретический. Поиск и изучение теоретического материала (литературы и Интернет-ресурсов) по теме «Педальный треугольник».
• Второй этап – практический. Доказательство свойств педального треугольника и решение задач с их использованием.
• Третий этап – заключительный. Систематизация и обобщение теоретического материала. Анализ решение задач. Формулировка выводов.

Исторический  экскурс

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. Платон утверждал, что вообще вся “Поверхность состоит из треугольников”.

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта.

В Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу. Прямоугольный треугольник применялся тысячелетия назад строителями египетских пирамид.

В более древних культурах нередко встречаются треугольники как формы декора на керамике, при этом с вершиной, направленной вниз, рассматриваются как «символы воды» (направление падающей капли), а с вершиной, направленной вверх, — как «символы огня» (направление пламени). Наложенные один на другой, оба они образуют шестиконечную звезду.

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла.

Уже со времён палеолита и неолита в древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника:

- вожди племен североамериканских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник.

- в Африке женщины украшали себя большими пластинами из равносторонних треугольников.

- у христиан равносторонний треугольник означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.

Еще в древности стали вводить некоторые знаки для обозначения геометрических фигур. Древнегреческий ученый Герон (I век н.э.)  впервые применил знак  Δ вместо слова треугольник.

В западном искусстве композиционные схемы с треугольниками часто используются в архитектуре и в живописи.

В современности треугольники используются в различных конструкциях, требующих наибольшей прочности, например, при строительстве.

Треугольники используют в различных играх, например в бильярде или боулинге.

Треугольник есть среди музыкальных инструментов

Треугольник можно увидеть на небе.

Также известен Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов.

Педальный треугольник и его свойства

Пусть Р — любая точка внутри треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА1, РВ1 и РС1. Треугольник А1В1С1 вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для «педальной точки» Р (рис.1).

рис.1

Определение: Педальный треугольник - треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. А сама эта точка называется педальной точкой.

Рассмотрим некоторые свойства педального треугольника:

Теорема 1. Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального треугольника равны , где R – радиус описанной окружности.

(рис.2)

Дано: треугольник АВС, Р – педальная точка. АР=х, ВР=у, СР=z, R – радиус описанной окружности.

                                                                     рис.2

Доказать: 

Доказательство: Около каждого из полученных четырехугольников ВС1РА1, СВ1РА1, АС1РВ1 можно описать окружность (по свойствам описанного четырехугольника). Прямые углы в точках С1 и В1 указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР, другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ1С1. Аналогично, точка Р лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников СА1В1, ВС1А1.

Опишем окружность около четырехугольника АВ1РС1; ее диаметром будет АР.

Пусть В1С1=а1, тогда на основании теоремы синусов1 для треугольника С1АВ1 : (1).

Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим  (2).

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим: .

Аналогично: , где . А так как АР=х, ВР=у, СР=z, то длины сторон педального треугольника равны .Теорема доказана.

Замечание. Если точка Р является центром описанной окружности (х=у=z=R), то длины сторон педального треугольника равны .

Можно расширить условие нахождения педальной точки внутри треугольника. Тогда она может находиться и вне его. Если педальную точку взять на описанной около треугольника окружности, то треугольник «вырождается», а основания перпендикуляров, опущенных от данной точки к сторонам треугольника, лежат на одной прямой, которая называется прямой Симсона.

Теорема 2: Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.

                                                                                               Рис.3

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону^[1], но в действительности она была открыта лишь в 1797 году Уильямом Уоллесом^[2]. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.

Теорема 3: Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры la, lb, lc соответственно на стороны а, b, с треугольника, то(рис. 4).

Дано: треугольник АВС, а, b, с – стороны, L – педальная точка; la, lb, lc - перпендикуляры  соответственно на стороны а, b, с.

Доказать: 

                                                                                          рис. 4

Доказательство: Соединим точку L c вершинами треугольника АВС. Треугольник АВС разобьется на три треугольника. Назовем площади этих треугольников Sa, Sb, Sc. Тогда имеем: . Сложив, получим , а так как Sa+Sb+Sc=S, то . Теорема доказана.

Теорема 4: Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков (рис. 5).

Дано: треугольник АВС, OL, OM, ON- перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника соответственно.

Доказать:  AL2 + BM2 + CN2 = LB2 + MC2 + AN2.

                                                                                  рис. 5

Доказательство: Так как OL, OM, ON – перпендикуляры, применим теорему Пифагора для соответственных треугольников, получим:

AO2 - AL2 = BO2 - BL2, ВО2 - ВМ2 = ОС2 - СМ2, ОА2 - АN2 = ОС2 – СN2,

тогда

АL2 - BL2 = AO2 - BO2, BM2 – MC2 = BO2 – OC2,   CN2 – NA2 = CO2 - OA2.

Сложив последние три равенства, получим:

AL2 - BL2 + BM2 - MC2 + CN2 - NA2 = 0 или

AL2 + BM2 + CN2 = BL2 + MC2 + NA2. Теорема доказана.

Следующее свойство педального треугольника было открыто Жозефом Нейбергом в 1892 году, в нём рассматриваются педальные треугольники педальных треугольников. Внутренняя точка Р использована для определения треугольника А1В1С1(первого) педального треугольника АВС. Та же самая педальная точка Р снова использовалась для определения педального треугольника А1В1С1, который мы обозначим через А2В2С2 и назовем «вторым педальным треугольником» треугольника АВС. Третья операция дает треугольник А3В3С3 — педальный треугольник треугольника А2В2С2. И для «третьего педального треугольника» использовалась та же самая точка Р.

Теорема 5:  Третий педальный треугольник подобен исходному треугольнику (рис.6)

                                                                         рис. 6

Доказательство: Соединим точки Р и А. Точка Р принадлежит каждой из окружности, описанной вокруг треугольников АВ1С1, А2В1С2, А3В3С2, А2В2С1иА3 В2С3. Значит углы С1АР, С1В1Р, А2В1Р, А2С2Р, В3С2Р, В3А3Р равны, а значит и углы РАВ1, РС1В1, РС1А2, РВ3А2, РВ2С3, РА3С3 так же равны.

Другими словами, две части, на которые прямая АР делит угол А, имеют двойников: одна — при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и, наконец, обе — при вершине А3. Следовательно, треугольник АВС и треугольник А3В3С3 имеют равные углы при вершинах А и А3. Аналогично, они имеют равные углы В и В3. Теорема доказана.

Точкой Брокара называется такая педальная точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы. Такие углы называются углами Брокара^[3].

Практическая часть

Решение задач с применением свойств педального треугольника.

Задача 1.  Вычислить стороны педального треугольника, если расстояния от педальной точки до вершин треугольника х= 3,5см, у= 5см, z= 3,5см, R= 4см, а стороны самого треугольника равны соответственно 8 см, 6 см, 7 см.

Дано: треугольник АВС,

ВС = 8 см, АС = 6 см, АВ = 7 см

треугольник А1В1С1– педальный точки Р,

РА1=х=3,5см, РВ1=у=5см, РС1=z=3,5см,

R= 4см

Найти: стороны педального треугольника.

Решение: Пусть стороны педального треугольника равны а1, b1 и с1, тогда согласно теореме 1 имеем:  

а1= (3,5∙8) : 8 =  3,5 (см), b1 = (5∙6) : 8 =  3,75 (см), с1= (3,5∙7) : 8 =  3 (см).

Ответ: 3,5 см, 3, 75 см, 3 см.

Задача 2. Доказать, что сумма расстояний от любой точки О основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.

Дано: треугольник АВС: АВ=АС,

ВН, СН1 – высоты, точка О є ВС,

ОМ АС, ONАВ, ОМ=х, ON=y.

Доказать: x + y = BH

Доказательство: по теореме 3, тогда

. Так как ВН=СН1 (высоты равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам), то  , ч.т.д.

Задача 3. Доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника.

Дано: треугольник АВС - правильный,

точка О, xАС, yАВ, zBC, h – высота.

Доказать:x + y+ z = h

Доказательство: по теореме 3, тогда .

Так как ha= hb= hc (высоты правильного треугольника), то  , утверждение доказано.

Задача 4. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см, 15 см. Внутри него взята точка Р, которая отстоит от первой стороны на расстоянии 5 см, от второй на 1 см. Найдите расстояние от этой точки до третьей стороны.

Дано: треугольник АВС,

АВ = 4 см, ВС = 13 см, АС = 15 см,

точка Р – внутри треугольника,

АН, ВН, СН – высоты,

РА1 = 1 см, РС1 = 5 см,

Найти: РВ1

Решение: Заметим, что треугольник А1В1С1, образованный основаниями перпендикуляров, опущенных из точки Р  – педальный. Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона,  S = 24 см2. Найдем высоты треугольника АВС АН= 48/13 см, СН= 12 см, ВН = 48/15 см.

Тогда по теореме 3 имеем: 13/48 + 5/12 + 15х/48 = 1. Решая это уравнение, получим 15х = 15, х = 1. Значит расстояние от точки Р до третьей стороны треугольника равно 1 см.

Ответ: 1 см.

Задача 5. Перпендикуляры, опущенные из точки О, взятой внутри треугольника АВС, определяют на сторонах треугольника точки L, M, N так, что , причем . Известно, что АВ = 6, АС = 15. Найдите сторону ВС.

Дано: треугольник АВС, точка О внутри АВС, АВ = 6, АС = 15, ,

Найти: ВС.

Решение: Найдем сначала длины отрезков, на которые разбивают стороны треугольника данные точки. Т.к. АВ = 6, то АL = 1,  LB = 5, а АС = 15, то AN = 6, NC = 9. Значит по теореме 4 имеем AL2 + BM2 + CN2 = BL2 + MC2 + NA2, тогда 12 + 42 + 92 = 52 + МС2 + 62, следовательно МС2 = 37, МС =. Отсюда ВС = ВМ + МС =.

Ответ: .        

Заключение

Данная работа относится к прикладным исследованиям, ее результаты, выраженные с помощью математики, дают возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии. В частности, с понятием педального треугольника связаны такие интересные объекты как  точка Брокара и прямая Симпсона. В результате проведенной работы мы познакомились с понятием и свойствами педального треугольника, а также показали применение его свойств при решении геометрических задач. Следует отметить, что это позволяет решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

Таким образом, выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение в данной работе, а все поставленные цели и задачи были успешно выполнены и достигнуты.

Список литературы и Интернет-ресурсов:

1. Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978;
2. Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006;
3. Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006;
4. Прасолов В.В., Точки Брокара. Ж: Квант № 1, 1992, с.42;
5. Фетисов А.И., Геометрия в задачах. – М: Просвещение, 1977;
6. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия.- М.: Наука, 1986.
7. Шарыгин И.Ф., Геометрия 7-9 класс. – М: Дрофа, 2006;
8. http://easymath.com.ua/
9. http://gigabaza.ru/
10. http://nsportal.ru/
11. http://artyomtutor.nsknet.ru/