Школьная научно-практическая конференция

учащихся ГБОУ школы №598 Приморского

района Санкт-Петербурга

ВСЕ О  СЕМЕЙСТВЕ  ПОД  НАЗВАНИЕМ ДРОБЬ

                                                   Работу выполнил ученик 6 класса «А»

                       Средней школы № 598

                       Разумовский Дмитрий

          Руководитель:

                                 Голубева  Ольга  Михайловна

                       Учитель  математики

2015г.

СОДЕРЖАНИЕ:

1.  Введение
2.  История  возникновения дроби
3.  Понятие   и  виды  дроби.
4. Правила арифметических действий с дробями  (+; -; *; / и т.д.)
5. Заключение
6. Список литературы

1. ВВЕДЕНИЕ.

После  окончания  начальной  школы,  мы  перешли  в  среднюю  и  тут  мы, в  5  классе, стали  познавать  более  сложные  темы  по  уже  полюбившимся  нам  предметам.  И  вот  на  уроке  по  математике  мы  стали  знакомиться  с очень  большой  по  объему  темой  под  названием   «ДРОБЬ».  

По  мере  прохождения  материала, я  понял,  что  хочу  узнать  чуточку  больше  информации  о  данной  теме,  что  мне  стало  более  понятна  она  и  я  стал  изучать  ее  просматривая  вспомогательный  материал  по  математике  и  на  сайтах  в  просторах  интернета  применяя  такие  методы  как  исторический,  теоретический,  познавательный.     И  вот  в  6  классе,  мне  представилась  возможность  изученную  мною тему    напечатать  в  докладе  который,  я обозначил  «Все  о  семействе  под  названием  дробь» .  

В  докладе,  мною  преследовалась  цель  рассмотреть,  что  такое ДРОБЬ  и историю  ее  возникновения, и  что  с  ней  можно  делать  при  арифметических  действиях.  На  основании изученного,  и  изложенного  подвести  заключение  насколько  применима  и  актуальна  тема  дроби  в  современной  жизни.  

2. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДРОБИ.

Первой дробью, была половина. Следующей дробью была треть. У египтян, и  вавилонян были специальные обозначения для дробей (1/3 и 2/3) , не совпадавшие с обозначениями для других дробей.

Египетский  народ все дроби старался записать как суммы долей,                       вот так дробей вида 1/n. Например: 8/15 они писали  как  1/3 + 1/5. Единственным исключением была : дробь 2/3.  Иногда это бывало удобно.             Папирус Ахмеса содержит задачу:  "Разделить 7 хлебов между 8 людьми".
Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.
В Египете эту задачу решали так: дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Складывать такие дроби было неудобно. Одновременно в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n, а такие дроби Египет не допускал. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби вот так выглядят от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

Древние Египтяне умели умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, скорей всего снова использовать таблицу. Сложности обстояли и  с  делением. А  вот вавилоняне  нашли  другую  дорогу. Они работали только с шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа: 60, 602, 603 и так далее, то такие дроби, как 1/7, нельзя было точно выразить через шестидесятеричны  и  их выражали через них приближенно. Так как система счисления у вавилонян была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел.

Шестидесятеричными дробями, пользовались греческие и арабские математики,  астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уж совсем трудно. В  связи  с  этим математик  из  Голландии  Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но потом  медленно перешли к современной записи. Сейчас электронно вычислительная  техника использует двоичные дроби, которые давно применяли на Руси: половина, четь, полчети и так далее.

Так же очень интересная система дробей находилась в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией, а путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например: римлянин говорил, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.

Для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Римские купцы знали  наизусть, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до наших дней.

Так как в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и так далее. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асе на унции и так далее, но от остатка он не избавился. Для  того, чтобы не иметь дела с таким вычислением, римляне стали пользоваться процентами.

В греческих летописях по математике дробей нельзя встретить. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому "черному люду". В строгие научные сочинения греков дробь проникла "с заднего хода". Кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издает, а короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали "согласно", приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только тогда там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу и не писали дробной черты.

Записывать дроби как сейчас, стали арабы.

3.  ПОНЯТИЕ  И  ВИДЫ  ДРОБИ.

Дробью (обыкновенной дробью) - называется число, состоящее из одной или нескольких равных частей /долей/ единицы.

Обыкновенная дробь записывается с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной (винкулум) или наклонной (солидус) черты, которую называют - чертой дроби.

Число, которое стоит над чертой дроби, называется - ЧИСЛИТЕЛЕМ, а число, записанное под чертой дроби - ЗНАМЕНАТЕЛЕМ.  

Например.  дробь (пятнадцать семнадцатых) число 15 является числителем, а 17 - знаменателем.

Основное свойство дроби гласит, если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же натуральное число, то величина дроби не изменяется.

Обыкновенная дробь называется ПРАВИЛЬНОЙ, если ее числитель меньше знаменателя.  Если  дробь,  числитель которой либо равен, либо больше знаменателя, называется НЕПРАВИЛЬНОЙ.

Например: Дробь    является правильной дробью, так как числитель - 11 - меньше, чем знаменатель, который равен 23 :11 < 23 .  Дробь   является неправильной  дробью, так как числитель 3 равен знаменателю 3  и  дробь  тоже является  неправильной  дробью, так как числитель, который равен 23, больше знаменателя, который равен 11.

Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются СМЕШАННЫМИ  ДРОБЯМИ.

В  смешанной  дроби  сумму натурального числа и правильной дроби обычно записывают без знака плюс.  Далее натуральное число называют целой частью смешанного числа, а правильную дробь - дробной частью смешанного числа.

Например: (семь целых четыре пятых). 7 - целая часть, - дробная.

Неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа, для этого необходимо числитель поделить на знаменатель. Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток - числителем дробной части, а знаменатель исходной неправильной дроби - знаменателем дробной части.

А чтоб смешанное число записать в виде неправильной дроби, необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части  и к полученному числу прибавить числитель дробной части, и записать эту сумму в числитель, а знаменатель дробной части оставить без изменений.

Если числитель и знаменатель дроби нельзя сократить на одно и тоже число, отличное от первого, то дробь называется НЕСОКРАТИМОЙ,  а  наоборот СОКРАТИМОЙ.

Например: Дробь  является несократимой, так 3 и 5 являются взаимно простыми числами, то есть их нельзя поделить на одно и тоже число, а дробь  сократимая, так как числитель и знаменатель делится на 3.

Если знаменателем дроби являются числа: 10, 100, 1000 и т.д., то такая дробь называется  ДЕСЯТИЧНОЙ.

Для удобства записи такие дроби записывают без знаменателя  и  целую часть от дробной отделяют запятой.

Например:     и/  или  

Дробь, которая содержит несколько черт называется  СОСТАВНОЙ  ДРОБЬЮ.

 Например:.

4.  ПРАВИЛА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ С ДРОБЯМИ (+; -; *; /  и  т.д.)

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует привести к виду с одним и тем же знаменателем.

 Пусть даны две дроби:  и .

Порядок действий:

-     находим наименьшее общее кратное знаменателей: .

-     умножаем числитель и знаменатель первой дроби на .

- умножаем числитель и знаменатель второй дроби на .                                          После этого знаменатели обеих дробей равны M. Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей.

Для сравнения двух обыкновенных дробей, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей.

Дробь с большим числителем будет больше.

Пример:  и . НОК (4,5) = 20 - приводим дроби к знаменателю 20.   Следовательно,  результат  

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

С помощью букв правило сложения можно записать так:  

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

С помощью букв правило вычитания можно записать так: 

Для  сложения  двух обыкновенных дробей, следует привести их к общему знаменателю. Далее сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

Например:   + = + =

НОК (наибольшее общее  кратное)  знаменателей здесь 2 и 3 = 6, далее приводим дробь  к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо  умножить  на 3, в результате получилось . Приводим дробь  к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2, получилось .

Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

Например:   — =  — =

НОК  (наименьшее общее  кратное) знаменателей здесь 2 и 4 = 4. Приводим дробь   к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2 в результате получаем .

Для  того,  чтоб умножить две обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели.

Например:

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:  Например: 

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби.

 Например:  

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй.

Например можно записать так:  

Например:

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель, результат правда может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью.

Например:

Например:  

такой  бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

А  для  преобразования десятичной дроби в дробь обыкновенную, следует представить ее дробную часть в виде натурального числа, деленного на соответствующую степень 10, далее к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь.

Например:  

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Познакомившись  ближе  с  дробями,  я  понял,  что  история  их  возникновения  уходит  глубоко  в  далекие  века.  Как  давно  люди  их  применяют  и  для  чего  просто  необходимы  нам  ДРОБИ.  

Поставленную для  себя  цель  узнать  больше  о  дроби  и  с  помощью  исследования, понимания  и  теории,  я  это  сделал  и  главное  понял,  что,  если  эту  тему  недопонять,  то  в  будущем  моем  обучении   возникнут  проблемы  в  понимании  таких  тем  как  цепные  дроби  и  т.д.

В настоящее время в науке и во всех отраслях хозяйства,  производства и т.д.   десятичные дроби и частный их вид, проценты, применяется намного чаще, чем обыкновенные дроби. Десятичные дроби используются в различных отчетных документах в медицине, в образовании, в торговле, в налоговой службе  и  других  сферах.  Так,  что  ДРОБЬ  необходима  нам  в будущем,  чем  больше  мы  поймем  эту  тему,  тем  проще  нам  будет  при  выборе  профессии  и  в  дальнейшем  при  работе.  

Данный материал способствует, не только выработке умений и закреплению навыков вычислений, но и формирует устойчивый интерес  к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной активности. В моей работе я старался показать, что дробь – это  постоянный спутник нашей жизни.

6.  СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

-  Сайт  -  https://ru.wikipedia;

-  Школьный  словарь  «Правила  по  математике»,  М  «ВАКО» 2-ое изд.

-  Козлова С.А., Рубин А.Г. Математике  5  кл.  «Школа 2100»  Изд. 2, - М.,  2012 г.;

-  Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 2. – Изд.2,.- М.: 2012г..

-  Дорофеев Г.В. ,Шарыгин И.Ф. «Математика, 5 кл.»/М.:  1998г.