Презентация по теме "Множества"

Слайд 1

Слайд 2

Оглавление Определение……………………………………………………………3 История понятия………………………………………………………4 Элемент множества……………………………………………………6 Виды множеств………………………………………………………...7 Сходные объекты……………………………………………………....8 Деление по иерархии ………………………………………………….9 Диаграммы Венна…………………………………………………......10 Подмножества и их виды………………………………………….....13 Равенства множеств………………………………………………...…15 Свойства множеств…………………………………………………….16 Отношения множеств………………………………………………….20 Свойства эквивалентности…………………………………………….21 Зарудний Кирилл 2

Слайд 3

Определение множества Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Зарудний Кирилл 3

Слайд 4

История понятия Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано , который сформулировал некоторые из её принципов . Общепризнано , что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x) , обозначил {x| A(x)} . Если некоторое множество Y ={x | A(x)} , то A(x) назвал характеристическим свойством множества Y . Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела. Зарудний Кирилл 4

Слайд 5

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств. В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков ). История понятия Зарудний Кирилл 5

Слайд 6

Элемент множества Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если a — элемент множества A , то записывают a Е A (« a принадлежит A »). Если a не является элементом множества A, то записывают а Е/А (« a не принадлежит A »). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его: { 6, 11} = { 11, 6} = { 11, 11, 6, 11, 6} . Зарудний Кирилл 6

Слайд 7

Виды множеств Специальные множества: Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче». Частично упорядоченное множество, вполне упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка. Зарудний Кирилл 7

Слайд 8

Сходные объекты Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться. Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами. Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой. Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться. Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение. Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет. Зарудний Кирилл 8

Слайд 9

Деление по иерархии Множество множеств (в частности, булеан — множество всех подмножеств данного множества). Подмножество Надмножество Зарудний Кирилл 9

Слайд 10

Диаграмма Венна для Объединением множеств А и В называется множество всех объектов, являющихся элементами множества А или множества В. U- знак объединения . А U В читается так: « Объединение множества А и множества В». Зарудний Кирилл 10

Слайд 11

Диаграмма Венна для Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только те элементы, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В . ∩ -знак пересечения, соответствует союзу «и ». А ∩ В читается так : « Пересечение множеств А и В» Зарудний Кирилл 11

Слайд 12

Диаграмма Венна для Разностью множеств А и В называется множество всех объектов, являющихся элементами множества А и не принадлежащих множеству В.\ - знак разности, соответствует предлогу «без ». Разность множеств А и В записывается так: А \ В Зарудний Кирилл 12

Слайд 13

Подмножество Если любой элемент множества В принадлежит множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. [ - Знак включения . Запись В [ А означает, что множество В является подмножеством множества А. Зарудний Кирилл 13

Слайд 14

Виды подмножеств Собственное подмножество. Множество В называется собственным подмножеством множества А, если выполняются условия: В≠Ø, В≠А . Не собственные подмножества. Множество В называется не собственным подмножеством множества А, если выполняются условия: В≠Ø, В=А . Пустое множество является подмножеством любого множества . Любое множество является подмножеством самого себя. Зарудний Кирилл 14

Слайд 15

Равенство множеств Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов . Два множества являются равными , если каждый из них является подмножеством другого . В этом случае пишут: А=В Зарудний Кирилл 15

Слайд 16

Свойства множеств Коммутативность Ассоциативность Дистрибутивность Зарудний Кирилл 16

Слайд 17

Ассоциативность ( А ∩ В ) ∩ С = А ∩ ( В ∩ С ) ( А U В ) U С = А U ( В U С ) Зарудний Кирилл 17

Слайд 18

Коммутативность А ∩ В = В ∩ А А U В = В U А Зарудний Кирилл 18

Слайд 19

Дистрибутивность ( А U В ) ∩ С = (А ∩ С ) U ( В ∩ С ) ( А ∩ В ) U С = (А U С ) ∩ ( В U С ) Зарудний Кирилл 19

Слайд 20

Отношения множеств В теории множеств рассматриваются отношения между множествами : Тождественность . Если каждый элемент множества А является также и элементом множества В , и каждый элемент множества В есть также элементом множества А, то эти множества тождественны. Обозначается так : А=В . Эквивалентность . Соответствие между элементами множеств А и В, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, и наоборот, различным элементам одного множества соответствуют различные элементы другого множества, называется взаимно однозначными. Если существует, по крайней мере, одно взаимно однозначное соответствие между элементами множеств А и В, то такие множества называются эквивалентными. Зарудний Кирилл 20

Слайд 21

Свойства эквивалентности Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами : Симметричность(взаимность ). Если множество А эквивалентно множеству В , то множество В эквивалентно множеству А.А~В, В~А Транзитивность ( переходность) . Если множество А эквивалентно множеству В , а множество В эквивалентно множеству С, то множества А и С эквивалентны . А~В , В~С, А~ С . Рефлективность ( возвратность). Всякое множество эквивалентно самому себе. А~А Использование отношения эквивалентности позволяет разбить всевозможные множества на классы эквивалентных между собой множеств. Зарудний Кирилл 21

Слайд 22

Спасибо за просмотр! Зарудний Кирилл 22