Лотереи - математически расчет или удача

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –                       средняя общеобразовательная школа №1 п. Степное

Лотерея –                                           математический расчет или удача?

Работу выполнила                                                                                                                    ученица 8Б класса                                                                                                   МБОУ СОШ№1 р.п. Степное                                                                                Склярова Юлия.                                                                                                                                  Руководитель Сейдалиева З.А.

Оглавление.

1. Введение.
2. Глава 1. История лотерей.

1.  Первые лотереи и их особенности.

2.  Российская лотерейная история.

3. Глава 2. Можно ли выиграть в лотерею?

2.1. Вычислим шансы.

              2.2.  Лотерея 6 из 45.

              2.3 Лотерея 6 из 49 – «Лото – миллион».

              2.4 Лотерея 5 из 36.

    4. Глава 3. Заключение.

1. Ведение.

     Наверное, каждый хотя бы раз в жизни мечтал выиграть в лотерею. Еще бы! Стать обладателем новенькой квартиры, современного автомобиля или приличной суммы денег « за просто так»  – мечта. Мне стало интересно, что представляют собой лотереи (ведь они остаются самым массовым увлечением во всем мире), какова история развития,  можно ли вычислить шансы  выиграть в лотерею, от чего это зависит.  

Глава 1. История развития лотерей.

      Слово «Lotto» переводится с итальянского как «судьба», поэтому как же не сыграть, вдруг действительно судьба преподнесет подарок. Лотерея  представляет собой вид игры, в которой проигрыш или выигрыш участника связан с тем, выпал ли ему счастливый номер. Технически эта игра заключается в том, что выигрышные номера называются случайным образом.

1.1. Первые лотереи и их особенности.

     История лотереи насчитывает несколько тысячелетий. Дата возникновения первой из них достоверно неизвестна, но ученые склоняются к мнению, что произошло это в Древнем Китае примерно в первом веке до нашей эры. С помощью лотереи мудрые правители увеличивали бюджет государства. Вырученные средства шли на строительство. В частности, Великую Китайскую стену возвели именно на эти деньги.                                                                                                        

Лотереи в Древнем Риме.   Как утверждают исторические летописи, примерно с 100 по 44 год до нашей эры лотереи появились и в Древнем Риме. Говорят, император Август Цезарь устраивал их для сбора средств на нужды города, такие как строительство и ремонт зданий, мостов, дорог. Кроме того, в дни больших праздников римские императоры проводили лотереи для бедняков. Особенным было то, что счастливые билеты раздавались нуждающимся абсолютно бесплатно.

Лотереи в Европе.   В Европе первое упоминание о лотерее связано с Бельгией и Бургундией. Примерно в 5 столетии нашей эры там проводились лотереи для сбора средств на вооружение и помощь неимущим. В 1520 году первые лотерейные билеты начали продаваться во Франции. В 1559 году лотереями «заразилась» и Англия. Именно в этом году, взойдя на престол, Елизавета I осознала, что экономическая ситуация в ее государстве довольно плачевна, она нашла способ восстановления экономики —организовала лотерею, главными призами в которой сделала дорогие гобелены, золото и деньги. Подобные розыгрыши в Англии проводили вплоть до 1825 года. За этот период на средства, вырученные от продажи лотерей, были возведены такие известные постройки, как лондонский акведук и Британский музей.

1.2 Российская «лотерейная история»

В России играть в лотерею начали во времена правления Екатерины II. Стоимость билета составляла 11 рублей (немалые по тем временам деньги), поэтому участвовать в розыгрыше могли себе позволить лишь состоятельные люди. Вырученные средства шли на лечение раненых солдат. Вплоть до 20 столетия все российские лотереи носили гуманитарный характер — вырученные от них средства направлялись на благотворительные цели.    

 Лотереи на службе государства.

 На протяжении всей истории лотерея была важным источником доходов для многих государств. В Советском Союзе возможности лотереи широко применялись при сборе недостающих средств. Сразу после революции в 1918 году их запретили, объявив буржуазным пережитком и наследием имперского прошлого. Но уже в 1921 году из-за неурожая и массового голода молодое советское государство вернулось к «хорошо забытому старому». Именно тогда была проведена Всероссийская лотерея в помощь голодающим. В 1925 году с помощью лотерей советские власти взялись за образование граждан. Была проведена первая книжная лотерея. В ней разыграли более двух тысяч наборов книг стоимостью от 10 до 100 советских рублей. А в 29-ом прошла беспроигрышная лотерея под девизом «Книга вместо водки». Советским гражданам предлагали вместо бутылки с вредным напитком купить лотерейный билет. Призы: книги, брошюры, подписка на популярные журналы. С этого времени лотереи приобретают огромную популярность у населения, а власти убеждаются, что это дело, поистине, государственной важности.      

Все для фронта, и лотереи тоже.

 Лотереи не прекращались даже в годы Великой Отечественной войны. Тогда они проходили под лозунгом «Все для фронта, все для Победы!». Всего за годы Великой Отечественной были проведены 4 лотереи. Они помогли собрать почти 13 миллиардов рублей.

Олимпийский мишка и спортивная лотерея.

     Пожалуй, самая знаменитая лотерея, проходившая в СССР, это – «Спортлото». Государственная лотерея «Спортлото» появилась в 1970 году. Вначале она проходила по числовой формуле «6 из 49», а с 1976 года к ней добавилась формула «5 из 36». Лотерея считалась не просто числовой, но еще и спортивной, поэтому каждому виду спорта был присвоен собственный порядковый номер. Минимальный выигрыш составлял 3 рубля, максимальный — 10 000 рублей. Причем каждый обладатель максимального приза получал уникальную по тем временам возможность — приобрести квартиру или авто вне очереди.  Именно эта лотерея  подарила всем Московскую Олимпиаду-80. Интересный факт: билеты на игры проданы на сумму 20 млн, а доход от Спортлото составил более 140 млн. рублей! Праздник спорта в советской столице оставил после себя не только хорошие воспоминания, но и вполне осязаемые вещи в виде новых стадионов, гостиниц, скверов, дорог и т. д.

Глава 2. Можно ли выиграть в лотерею?

2.1 . Вычислим шансы.

    Меня заинтересовали числовые лотереи, которые являются популярным и легальным азартным развлечением. Существует несколько форматов лотерей, таких как, 5 из 36, 6 из 45, 6 из 49.Одна из самых известных  - лотерея спортлото формата 6 из 49. Цель этой лотереи - финансирование федеральной программы поддержки российского спорта. Гослото привлекает участников государственным уровнем, что дает определенные гарантии выплат и честности проведения тиражей.   С момента появления лотереи игроки неоднократно пытались вычислить формулу удачи. Я  решила выяснить, как выиграть в лотерею, каковы шансы выиграть главный приз с помощью моей любимой математики.

     Представим такую лотерею, в которой только 2 шара в мешке (шар №1 и шар №2), и только один из них выигрышный. Каковы же шансы выиграть эту игру?  По определению вероятности события, шанс выигрыша  вычисляем как отношение числа случаев, благоприятствующих нашему выигрышу к числу всех возможных случаев, т. е. .  Один шанс из двух. Если в первый раз выпал шар№1,  то нет никакой большей вероятности, что во второй раз выпадет шар №2.  Шансы остаются такими же - .  Добавим еще один шар. В этом случае шансы теперь будут 1:3. А что если теперь, в розыгрыше будем вытаскивать не по одному, а по два шара из трех. Становится сложнее, может показаться, что шансы 2:3, но это не так. Запишем все возможные ситуации в таблицу:

 В лотерее не имеет значения, в каком порядке выпадают номера – главное, чтоб они совпадали с отмеченными в билете.  Ведь выпавшие шары 01-02, все равно, что 02-01.  Если бы это были выигрышные номера, то сорвали бы Джек-пот с любой из этих комбинаций.  Значит, каждая комбинация может реально выпасть двумя способами. Итак, существует 6 возможных  комбинаций из 6 шаров, каждая комбинация может выпасть двумя способами (для нас неважно в каком порядке выпадают номера).  Разделим число комбинаций на 2, получим 3 – возможных случая выпадения шаров. А наши шансы на выигрыш  1:3.Усложним задачу. Пусть в лотерее теперь выпадает 3 шара из 4, и надо угадать 3 шара. Опять составим таблицу:

Всего комбинаций 24, каждый набор повторяется  6 раз. Например набор шаров с номерами 01,  02, и 03 : 01-02-03, 01-03-02, 03-01-02, 03-02-01, 02-01-03, 02-03-01. Делим 24 на 6, получим 4. Вероятность выигрыша 1:4. Посмотрим, что получится, если добавим еще один шар, разыгрываем по-прежнему 3 шара, но уже из пяти. Теперь не будем выписывать все возможные комбинации в таблицу. На предыдущих примерах, заметив закономерность, посчитаем количество все возможных комбинаций  так: . Не забудем, что есть повторяющиеся комбинации, их вычислим так:  Число все нужных нам комбинаций , значит наши шансы 1:10.

Выведем формулу  для вычисления всех комбинаций. Пусть разыгрывается k чисел из n. Число всевозможных комбинаций вычислим по формуле  . Число повторений по k  вычислим так:    Тогда число всех нужных нам комбинаций k чисел из n можно вычислить по формуле   Перейдем к реальным лотереям.

2.2 Лотерея 6 из 45.

Вычислим число всех комбинаций .

Но,  в лотереях, помимо главного приза  - джек-пота (выигрыш 1 класса за 6 угаданных номеров), существуют призы  за 5 угаданных номеров, за  4 угаданных номера. Такие выигрыши называют  выигрышами  второго и третьего  классов. Понятно, что шансов выигрыша приза первого класса 1:8 145 060. Вычислим шансы  выигрыша призов второго и третьего классов. Приз второго класса -  за 5 угаданных номеров. Вычислим сколько способов угадать 5 номеров из 6. 6, теперь, число способов выбрать 1 число из оставшихся 45-6=39 чисел равно 39, тогда выигрышей  . Шансы выиграть приз второго класса  234:8145060 = 1: 340808.                                                                                        Приз третьего класса – за 4 угаданных номера. 15,

число способов выбрать 2 номера из оставшихся  39 чисел  , выигрышей . Шансы выиграть приз третьего класса                   11 115 : 8145060 = 1:743

2.3 Лотерея 6 из 49 – «Лотто – миллион».

Вычислим число всех комбинаций: . Шансы выиграть джек-пот 1:13983816.                                                                                                                  Приз  второго класса – за 5 угаданных номеров. 6, число способов, выбрать 1 число из оставшихся 43 чисел  равно 43, тогда число выигрышей  Шансы выиграть приз второго класса                          258 : 13983816 = 1 : 54200.                                                                                            Приз третьего класса – за 4 угаданных номера. ,  способов выбрать 2 числа из оставшихся 43 чисел  ,число выигрышей . Шансы выиграть приз третьего класса 15543:13983816 = 1: 1032.

2.4 Лотерея 5 из 36.

Число всех комбинаций  . Шансы выиграть джек – пот 1: 376992.

Приз второго класса – за 4 угаданных номера. ,  способов выбрать 1 число из оставшихся 31 числа 1 число выигрышей   Шансы выиграть  155: 376992 = 1: 2432.

Приз третьего класса  - за 3 угаданных номера. ,   способов выбрать 2 числа из оставшихся 31 числа   число выигрышей  10. Шансы выиграть   4650 : 376992 = 1 : 81

   После таких вычислений, можно понять, почему джек - пот практически невозможно выиграть.  Но, кроме джек – пота, существуют и призы второго и третьего классов, шансы выиграть у которых больше.    Вероятность выигрыша джек – пота в лотерее «5 из 36» значительно выше, чем в лотерее «6 из 45». Но именно неразыгранный джек - пот накапливается от тиража к тиражу, увеличиваясь соответственно в размерах. Поэтому лотерея 6 из 45 имеет отличные шансы выиграть по-крупному, даже если шансы 1 из 8145 060.

 Глава 3. Заключение.

        Каждая числовая лотерея с любой числовой формулой имеет свое математическое обоснование. Оно необходимо для того, чтобы знать, сколько классов выигрышей должно быть в лотерее, и какова вероятность выигрыша каждого класса.
Математическое обоснование числовой лотереи рассчитывается с применением теории вероятностей и теории чисел. Рассчитав вероятное число выигрышей каждого класса, можно узнать, какой процент от общей суммы доходов должен пойти на выигрыши каждого класса и какова должна быть сумма каждого выигрыша.

На конечный итог игры в лотерее, то есть на сумму выигрыша за вычетом расходов, влияет четыре фактора:                                                                                                 - количество номеров, избираемых для игры;                                                                         - качество этих номеров, то есть, какие именно номера избраны;                                   - длительность непрерывного участия в игре, то есть количество тиражей,   охваченных игрой;                                                                                                             - величина ставки в очередном тираже.                                                                                                      В  любой лотерее успех определяет еще один фактор -  фактор случайности, один из элементов теории вероятностей. Результат тиража полностью зависит от действий лототрона. Произвольно перемешивая шары без какого-либо воздействия человека,  лототрон выдает такие невероятные комбинации, что и придумать просто невозможно. Иной раз лототрон выбросит несколько номеров подряд, а иной раз наоборот разбросает номера по всему игровому полю билета.

Грустная математика.

   Если посмотреть на лотерейные игры с точки зрения математики, картина получается безрадостная.  Шанс проиграть  во  много раз больше, чем один раз выиграть. И так всегда! Даже если увеличить шансы в 100 раз, все равно понимаешь, что богаче не станешь.                                                         К тому же честная лотерея тратит на призы гораздо меньше денег, чем изымает у населения (должна же она приносить прибыль, окупать рекламу и т.д.). Конечно, математика по-своему права. Но тогда совершенно непонятно, как же хоть кто-то выигрывает! Ответ прост — удача не измеряется процентами, везение дается человеку от рождения. Американка Джоан  Гинтер, подтвердила  эту теорию, став победительницей различных лотерей 4 раза, заработав на этом более 20 миллионов долларов. Скромная Джоан  Гинтер некогда была профессором математики, причём не где-нибудь, а в Стэнфордском университете, который занимает верхнюю строчку в мировом рейтинге вузов. И специализацией Гинтер была статистика, так что женщина вполне могла раскусить алгоритм, который определяет порядковые номера выигрышных билетов. Поэтому нашлись  те, кто усомнился в случайной природе её выигрышей, но доказать везение сложными и многострочными математическими вычислениями,  просто-напросто не смогли.  Всё-таки, вероятность того, что в деле не замешано ничего, кроме удачи, действительно существует, а если предположить, что Гинтер играла постоянно, её шансы на выигрыш были значительно выше среднестатистических.

Литература.

1. http://www.lazy-z.com/rus/l-math.php

2. http://lotopobeda.ru/information/journal/historyofgambling/matematika-pomozhet-vyigrat-million/.

3. http://mirloto.ru/novosti/formula-udachi-raskryta-profesor-matematiki-vyigrala-v-lotereyu-4-raza.html.

4. http://vlottery.ru/index.php/istoriya-loterey.html 

5. http://combinatorica.narod.ru/ .

6. http://mmmf.math.msu.su/