Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«АЧИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ОТРАСЛЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И БИЗНЕСА»

Исследовательская работа

По дисциплине: математика

  Тема:  Кривые второго порядка. Парабола.

        Выполнил:   студент группы 203-П

Каратаев  Никита.

Преподаватель: Янченко Н.А.

Ачинск, 2015г

Содержание

Введение……………………………………………………………………………….………2

Кривые второго порядка. Парабола.........................................................................................3

 Каноническое  уравнение  параболы и ее свойства………………………………….…….4

Вывод канонического уравнения параболы……………………………………..………….5

Заключение……………………………………………………………………………………6

Литература ………………………………………………………………………………...…..7

Введение

Парабола является кривой, представляющей собой геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса параболы и другой заданной прямой. Эта кривая, а также соответствующий ей в трёхмерном мире эллиптический параболоид, играют важную роль во многих физических процессах, в связи с чем нашли широкое применение и распространение во многих инженерных, технических и др. устройствах, в архитектуре. Первыми описали параболу античные греческие учёные, в рамках труда о конических сечениях. Наиболее значимым является  «оптическое свойство» параболы - пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Из- за этого парабола  нашла  самые различные применения в различных оптических устройствах.

Практическое применение параболы находят  не только в математике и геометрии. Например, приборы, использующие параболу в оптической системе  - это нагреватели, параболические солнечные батареи. Парабола является траекторией многих космических объектов, и используется как идейная составляющая во многих космических проектах. Парабола применяется в медицине, как нагреватель. Широкое применение парабола нашла в радиоэлектронике – в виде спутниковых антенн. В массовой культуре парабола показывается в некоторых научно-фантастических фильмах, как составная часть устройства. Параболические зеркала применяются для зажигания Олимпийского огня, в коническом источнике света в компьютерной графике, где  «прожекторный» (англ. spotlight) источник света использует квадратичное затухание света. Кроме того, сам контур такого типа источника света ограничен двумя конусами, в связи с чем граница сечения пространства, освещаемые источником света, представляют собой конические сечения, в том числе и параболу.

Методы исследования: анализ учебной  литературы; 

Кривые второго порядка. Парабола

Кривыми второго порядка  на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Надо иметь в виду, что все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы—буквой р. Величину p называют параметром параболы.

     В соответствии с изложенным в  п° 100 говорят, что парабола имеет    . эксцентриситет  =1.

Пусть дана какая-нибудь парабола (вместе с тем мы считаем заданным параметр р). Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, оси которой расположим специальным образом по отношению к данной параболе. Именно, ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно к директрисе и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 61). Выведем уравнение данной параболы в этой системе координат.

Каноническое  уравнение  параболы и ее свойства

y

                                                                                         Для вывода уравнения параболы выберем декартову

                                                                                          систему координат так, чтобы ее началом была середина

               d                     M(x,y)                                   перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

                                                                                       су, а координатные оси располагались параллельно и

                              r                                                          перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

                                                           x                                       равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

  D     O         F                                                                                         поскольку

                                                               Алгебраическими                                        преобразованиями это уравнение можно привести к виду:  y² = 2px ,                                                                 (*)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

 Свойства параболы

1)       Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2)       Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Парабола расположена в полуплоскости x>0.

    Вывод канонического уравнения параболы

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через r - расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

 . (1)

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (1) заменить переменные r и d их выражениями через текущие координаты х, у. Заметим, что фокус F имеет координаты  ; приняв это во внимание и применяя формулу (2) п° 18. находим:

 (2)

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты  ; отсюда ииз формулы (2) п° 18 получаем:

 (3),

(при извлечении корня мы взяли  со своим знаком, так как  - число положительное; это следует из того, что точка М(х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть х >  , откуда  Заменяя в равенстве (1) г и d их выражениями (2) и (3), найдем:

 (4)

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы в назначенной системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М(х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на данной параболе.

Желая получить уравнение параболы в более простом виде, возведем обе части равенства (4) в квадрат; получим:

(5)или (6)  Уравнение (6) выведено нами как следствие уравнения (4). Легко показать ,что уравнение (4) в свою очередь может быть выведено, как следствие уравнения (6).В самом деле ,из уравнения (6) очевидным образом (обратным ходом) выводится уравнение (5); далее, из уравнения (5) имеем:

Остается показать, что , если x,y удовлетворяют уравнению (6), то здесь можно набрать только знак плюс. Но это ясно так как из уравнения (6) следовательно,  поэтому  есть число положительное. Мы приходим к уравнению (4).  Поскольку каждое из уравнений (4) и (6) есть следствие другого, они эквивалентны.  Отсюда заключаем что уранение (6) является уравнением параболы. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Уравнение .,определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат , есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой. В выбранной системе фокус F имеет координаты   , а уравнение директрисы имеет вид ,X=или =0

Пусть  — произвольная точка параболы. Соединим точку Μ с F. Проведем отрезок ΜΝ перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ΜΝ. По формуле расстояния между двумя точками находим:

        Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т. е.

6.Заключение

Парабола является эффективным инструментом в руках инженера, с помощью неё возможно решение широкого спектра технических задач в различных устройствах и приборах. Парабола является лишь геометрической кривой, но имеет массу приложений из-за её необычных свойств.

Вывод канонического уравнения параболы   

7.литература

1. М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, А.Д. Кутасов, Математика Для Техникумов/ Геометрия, «издательство Наука», 1989 г.

2. http://forstu.info/
3. http://a-geometry.narod.ru/
4. http://studopedia.ru/
5. http://www.studfiles.ru/
6. http://mathland.narod.ru/