Комплексные числа

Слайд 1

Слайд 2

Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано Джероламо Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Слайд 3

Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a + b √−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i =√−1 предложил Эйлер (1777, опубл . 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius .

Слайд 4

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс , который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс

Слайд 5

Множества чисел R Q Z N С N  Z  Q  R  C

Слайд 6

Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷ , любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √ − 1

Слайд 7

Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi . i 2 = − 1 , i – мнимая единица . Число Re z называется действительной частью числа z , а число Im z – мнимой частью числа z . Их обозначают a и b соответственно: a = Re z , b = Im z . Определение : Числа вида a + bi , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными .

Слайд 8

Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа : C 1 ) Существует комплексное число, квадрат которого равен ( − 1 ) . С 2 ) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С 3 ) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – « мнимый »

Слайд 9

Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Вычитание ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i Умножение ( a + bi )  ( c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = ( a c − bd ) + ( b c + a d ) i Деление a + bi c + di a c + bd c 2 + d 2 = +  i bc − ad c 2 + d 2

Слайд 10

Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойство 1: Если z = a + bi , то z  z = a 2 + b 2 . Свойство 2 : z 1 + z 2 = z 1 + z 2 . Свойство 3 : z 1 – z 2 = z 1 – z 2 . Свойство 4 : z 1  z 2 = z 1  z 2 . Свойство 5 : z 1  z 2  z 3  …  z n = z 1  z 2  z 3  …  z n . Свойство 6 : z n = ( z ) n .

Слайд 11

Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ

Слайд 12

Спасибо за внимание Презентацию готовил ученик 11 А класса Костин Денис Под руководством учителя математики Давтян Р . А