Другая геометрия

Опубликовано ПРОКОПЕНКО ОЛЬГА ИВАНОВНА вкл 04.05.2016 - 14:10
ПРОКОПЕНКО ОЛЬГА ИВАНОВНА
Автор: 
Дятлов Максим, Науменко Виктор

Проект по математике

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл opisanie_proekta.docx152.01 КБ
Файл pasport_proekta.docx19.27 КБ

Предварительный просмотр:

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ

 «АМУРСКИЙ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КВАЛИФИКАЦИЙ»

(ГПОАУ АМФЦПК)

ПРОЕКТ

ТЕМА: «Другая геометрия»

АВТОРЫ: студенты 2 курса группы 39 – 40  Дятлов Максим, Науменко Виктор

Куратор проекта: преподаватель Прокопенко Ольга Ивановна

Начало работы: февраль 2016 года

Завершение работы: апрель 2016 года

Белогорск 2016

Содержание

  • Введение                                                                                        3 стр

  • История развития геометрии                                                        3 стр

  • Геометрия Лобачевского                                                               5 стр

  • Модели неевклидовой геометрии                                                 7 стр

  • Модель Клейна                                                                               7стр

  • Модель Пуанкаре                                                                           8 стр

  • Риманова геометрия                                                                       8 стр

  • Применение геометрии Лобачевского в реальной жизни         9 стр

  • Заключение                                                                                     10 стр

  • Список использованной литературы                                            12 стр

       В школе и центре мы изучаем геометрию Евклида. А живем мы, в какой геометрии? Неевклидова геометрия - это другая геометрия, отрицающая Евклидову? Как развиваются, неевклидовы геометрии? Кто и когда их придумал? Именно эти вопросы мы хотели раскрыть в своем проекте.

Много веков геометрия казалась наукой постоянной. Но в тоже время, ученых всех времен интересовало доказательство или опровержение V постулата Евклида, одного из основных для его геометрии. В XIX веке Николай Иванович Лобачевский одним из первых доказал возможность существования геометрии, отличной от Евклидовой. Его идеи привели к революции в геометрии. Геометрия Евклида описывает пространство приближенное, идеальное. Геометрия Лобачевского более точная, она учитывает кривизну пространства-времени.

История развития геометрии

                 Геометрия - одна из древнейших наук. Она возникла на Востоке,  имея своей задачей простейшие измерения и вычисления. Эта «детская» геометрия была воспринята греками, но потребовалось свыше трех столетий (VII – IV вв. до н.э.), чтобы она сложилась в цельную научную дисциплину. Каждое предложение геометрии, установленное путем логического вывода, было завоеванием, освобождением от ненадежных результатов эксперимента, примером начала философии.

Основные принципы построения науки впервые были сформулированы Аристотелем. Он считал, что доказывая то или иное утверждение, необходимо опираться на ранее доказанные. Из этого следует, что существуют  утверждения, с которых начинается построение науки. Такие утверждения называются аксиомами ( с греч. – достойный доверия) и не требуют доказательств.

Основываясь на этих положениях, Евклид в III в. до н.э. создал свой труд «Начала» (13 книг), в котором изложил массив греческой геометрии в строгой логической последовательности. «Начала» Евклида вытеснили все предшествовавшие руководства по геометрии, дошли до эпохи Возрождения в греческих списках и арабских переводах. В XIII в. был сделан их первый латинский перевод с арабского. Их изложение было не легким, но до конца XVIII в. «Начала» остаются единственным  источником основ геометрического познания. Веками поддерживалась вера в непререкаемые достоинства Евклида по существу содержания, по логической системе построения «Начал». Геометрия Евклида признавалась самым незыблемым творением научной мысли.

Первым неевклидовым геометром, вероятно, можно считать самого Евклида. Его нежелание использовать «несамоочевидный» пятый постулат следует хотя бы из того, что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату. С первого века до н.э. до 1820 математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными                                                                               допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга»

или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности». Ближе всех подошел к цели иезуит, логик и математик Дж.Саккери (1667–1733), который начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери (рис. 2), т.е. с четырехугольника BCED, у которого BC = DE, а углы при вершинах C и E прямые. Заметив, что углы при вершинах B и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле (и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической. http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/31cae6bb-4257-430a-6fe9-e49debc65c26/4668_002.gif 

К.Гаусса (1777–1855) принято считать одним из величайших математиков всех времен. Он первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Я.Бойяи (1802–1860) и русскому Н.И.Лобачевскому (1793–1856).

          В 1854 Б.Риман (1826–1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет). В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.

Ф.Клейн (1849–1925) первым увидел, как избавить сферическую геометрию от одного из ее недостатков – того, что две лежащие в одной плоскости «прямые» (два больших круга на сфере) имеют не одну общую точку, а две. Так как для каждой точки существует одна-единственная точка-антипод (диаметрально противоположная точка), а для любой фигуры существует ее дубликат из точек-антиподов, мы можем, ничем не жертвуя, но многое приобретая, абстрактно отождествить обе точки такой пары, объединив их в одну. Таким образом, можно изменить смысл термина «точка», условившись впредь называть «одной точкой» пару диаметрально противоположных точек. Иначе говоря, точки так называемой «эллиптической» плоскости представлены на единичной сфере парами точек-антиподов или диаметрами, соединяющими точки-антиподы. Вся эллиптическая прямая замкнута, как окружность, но, поскольку каждая из ее точек представлена двумя точками-антиподами на единичной сфере, полная длина эллиптической прямой равна половине длины окружности большого круга, т.е. ее полная длина равна p.

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/31cae6bb-4257-430a-6fe9-e49debc65c26/4668_004.gif

До XIX века учёные тщетно пытались доказать этот постулат методом от противного. Их результаты не приводили к логическому противоречию с установленными ранее предложениями, а вступали в разительное противоречие с тем, что доступно глазу. Одни геометры отчаялись одолеть теорию параллельных линий, а другие приходили к заключению, что постулат о параллельных линиях вовсе нельзя доказать, что его отрицание не ведет к противоречию, а является основой новой геометрической системы, отличной от геометрии Евклида.

Окончательный ответ о недоказуемости пятого постулата был дан Николаем Ивановичем Лобачевским.

Геометрия Лобачевского

Основные положения

Геометрия Лобачевского – одна из неевклидовых геометрий, отличающаяся от евклидовой за счет V постулата(аксиомы параллельности), которая заменяется на аксиому параллельности Лобачевского: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), своей первой печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что пятый постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации (модели).

Лобачевский строил свою геометрию, опираясь на основные геометрические понятия и свою аксиому, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Отправной точкой доказательств служила теория параллельных линий, потому что в ней заключается отличие геометрии Лобачевского от Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий. Они образуют абсолютную, общую геометрию. Основываясь на теорию параллельных развивались другие разделы, такие как тригонометрия и начала аналитической геометрии.

Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского.

Через точку P, не лежащую на данной прямой R, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R.

Угол между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных (называемый углом параллельности) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0.

Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется. Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a, Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a)

\theta = \Pi(a) = 2 \operatorname{arctg}~e^{-\frac{a}{q}}, где q — некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского.

Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.

Сумма углов всякого треугольника меньше pi и может быть сколь угодно близкой к нулю.\delta = \pi-(\alpha + \beta + \gamma), где \alpha, \beta, \gamma — углы треугольника, пропорциональна его площади.

S = q^2 \cdot \deltaИз формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число:  \pi q^2 .

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В геометрии Лобачевского число pi не отношение длины окружности к её диаметру.

В геометрии Евклида нулевая кривизна пространства, а в геометрии Лобачевского отрицательная. Что же такое кривизна?

Кривизна — собирательное название ряда количественных характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов (кривая от прямой, поверхности от плоскости и т.д.)

Модели неевклидовой геометрии

Модели геометрии Лобачевского доказали, что она непротиворечива так же, как и геометрия Евклида.

Сам Лобачевский основал свою аналитическую геометрию, то есть сделал первую модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Клейна и других.

Псевдосфера

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского сходна с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (псевдосфере). …Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Но эта модель является локальной интерпретацией геометрии, неспособной отобразить всю плоскость Лобачевского.

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/5e514709-44ef-47d1-c68f-0309accc0017/79256.jpg

Модель Клейна

В 1871 году Клейном была создана первая полноценная модель плоскости Лобачевского. Плоскость -  внутренность круга, прямая — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движение»  - любое преобразование круга в самого себя, переводящее хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями.  Любое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости - есть утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь не выполняется, так как через точку P, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, b, b').

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/5e514709-44ef-47d1-c68f-0309accc0017/79257.jpg

Модель Пуанкаре

В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга  в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/5e514709-44ef-47d1-c68f-0309accc0017/79258.jpg

Также существуют другой вид неевклидовой геометрии: сферическая, в которой кривизна пространства положительная и которая изучает геометрические фигуры на поверхности сферы.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики.

Риманова геометрия, многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Риманова геометрия получила своё название по имени Б. Римана, который заложил её основы в 1854.

         Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого, будучи приближённо евклидовой в малом, точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрическим свойствам. Поэтому внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как Риманова геометрия двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.

       Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Римановой геометрии. В основе Римановой геометрии лежат три идеи. Первая идея — признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, — была впервые развита Н. И. Лобачевским. Вторая — это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности.  Третья идея — понятие об n-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й половине 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи  ввёл общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства и перенёс на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.

  После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат Римановой геометрии и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Решающее значение имело применение Римановой геометрии в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Римановой геометрии и её разнообразных обобщений. В настоящее время Риманова геометрия вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального характера.

Применение геометрии Лобачевского в реальной жизни

В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для прокладывания дальних маршрутов, вычисления траектории полета, в современной физике и во многих других естественных науках.

Теория относительности – теория, описывающая универсальные пространственно-временные свойства физических процессов. Галилео Галилей, а впоследствии и Исаак Ньютон считали, что если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым. То есть одинаковые опыты протекают одинаково и при разных пространственно-временных условиях. При таком принципе справедлива геометрия Евклида(пространство трехмерное, кривизна пространства-времени не учитывается и скорость движения не сравнима со скоростью света(мала)). До открытия электродинамики, то есть до XIX века, этот принцип мог считаться верным, так как необходимые условия соблюдались(изучаемые тела двигались на малых по сравнению со скоростью света скоростях, у изучаемого пространства кривизна была нулевая). В электродинамике, открытой как раз в XIX веке, скорости движения частиц были гораздо больше. Назрела необходимость переосмысления принципа относительности.

Бернхард Риман, а за ним и Кингдон Клиффорд предположили, что некоторые физические явления обусловлены кривизной пространства, то есть одинаковые явления в разных условиях (при различной кривизне) могут протекать по-разному.

Эта гипотеза нашла окончательное обоснование в теории относительности Эйнштейна, в которой пространство было уже четырехмерным (четвертой мерой являлась кривизна пространства-времени) и соответственно эта теория не могла существовать без геометрии Лобачевского. Аксиомы Лобачевского выполнялись.

При помощи теории относительности были объяснены законы движения небесных тел, явление гравитации, возникновение черных дыр, движение частиц и многое другое. И все это было бы невозможно без геометрии Лобачевского.

                В последние годы  значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. В связи с этим можно говорить о конце романтического периода в истории геометрии Лобачевского, когда основное внимание исследователей было обращено на ее осмысление с точки зрения оснований геометрии вообще. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского.

Заключение

В процессе работы  рассмотрена история развития неевклидовой геометрии и  основные положения геометрии Лобачевского.  Доказана её непротиворечивость, указаны некоторые сферы её применения в реальной жизни: в физике (в частности астрономии и космонавтике)  и многих других естественных науках. Работа  показывает существование геометрии, отличной от Евклидовой, ее суть и развитие.

Изучая литературу, мы поняли, что из неевклидовой геометрии пошел новый научный замысел. В прежние времена одна научная теория сменяла другую, стирая прежнюю. Теперь стала действовать другая схема: теория, объясняющая явления по существу, но все же с дефектами в отдельных пунктах, заменяется более общей, содержащей параметры, при частных значениях которых она возвращается к установившейся. На основе идей Н.И. Лобачевского геометрия разрослась в огромное здание, в котором, изучаемая нами, геометрия Евклида составляет основной камень в его фундаменте. Неевклидова геометрия почти полностью решила задачу обоснования геометрии Евклида и дала схему обоснования всякой дедуктивной науки. Неевклидова геометрия получила применение в анализе и теории функций – одном из основных вопросов теории познания. Она в широком смысле составляет базу важнейших учений современной физики. Развитие неевклидовой геометрии продолжается.

Изучая математические идеи Лобачевского, мы многое узнали  об этом Человеке. Он был глубоким, стойким, необычайно трудолюбивым. Его научный и человеческий подвиг вызывает уважение.

В наших планах – создать проспект «Другая геометрия», который бы показал многообразие геометрии. Продуктом нашего проекта стал видео – фильмы о Лобачевском и Римане. Поставленная перед проектом цель достигнута.

       Список использованной литературы

  1. Александров П. С. Что такое неевклидова геометрия. – М.: УРСС, 2007.
  2. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983
  3. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. – М: Гостехиздат, 1955.
  4. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. – М.: Изд-во «Знание», 1984.
  5. Клайн М. Математика. Поиск истины. – М.: «Мир», 1988.
  6. Сосов Е.Н. Геометрия Лобачевского и её применение в специальной теории относительности. – Казань: 2012.
  7. Интернет ресурсы:

http://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/096/980.htm

https://ru.wikipedia.org/wiki/Риманова_геометрия

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/4569/РИМАНОВА

http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/127573/Риманова

https://ru.wikipedia.org/wiki/Неевклидова_геометрия

https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/31cae6bb-4257-430a-6fe9-e49debc65c26/1001545A.htm

http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/67.html

http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/NEEVKLIDOVA_GEOMETRIYA.html

http://www.pm298.ru/lobachevski10.php

https://ru.wikipedia.org/wiki/Лобачевский,_Николай_Иванович

http://old.kpfu.ru/news/medal/lobachv.htm

http://ria.ru/spravka/20121201/912875559.html

http://all-biography.ru/alpha/l/lobachevskij-nikolaj-lobachevsky-nikolai

http://www.kzn.ru/old/page2453.htm


Предварительный просмотр:

Паспорт проекта

  1. Название проекта:   Другая геометрия
  2. Учебный предмет, в рамках которого разрабатывается проект:      математика
  3. Вид проекта (по виду деятельности):   творческий, информационный.
  4. Цель проекта: Выяснить существует ли геометрия, отличная от Евклидовой.
  5. Задачи:

а. Изучить научно – популярную литературу по данному вопросу.

б. Овладеть методами поиска, выделять смысловую основу и оценивать достоверность информации;

в. Выяснить, Неевклидова геометрия - это другая геометрия, отрицающая Евклидову?

г. Формирование навыков работы с программами MS Jffise Word? MS Offise PowerPoint? MS Offise Publisher, киностудия.

  1. Проект направлен на формирование следующих компетенций:

Личностных:

  • готовность к самостоятельной, творческой, ответственной деятельности;
  • умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность со сверстниками;
  •  способность  к  самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;
  • развитие креативности,  активности и находчивости.

Метапредметных:

  • владение навыками познавательной, исследовательской и проектной деятельности;
  • умение  определять цели деятельности, осуществлять планирование, контроль и   коррекцию своей деятельности;
  • владение навыками продуктивного общения и взаимодействия в процессе работы;
  • умение искать, критически оценивать и интерпретировать информацию, полученную из различных источников;
  • формирование учебной и общепользовательской компетентности  в области использования ИКТ.

Предметных:

Геометрия

  •  умение работать с геометрическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики;
  • развитие пространственных представлений.

Информатика

  • формирование информационной культуры, навыков соблюдения техники безопасности;
  • умение соблюдать авторские права, навыки безопасной  работы в Интернете;
  •   умение преобразовывать и представлять информацию.

Основополагающий вопрос: Существует ли геометрия, отличная от той, которую мы изучаем в школе.

Проблемные вопросы: Если существует «Другая геометрия», то, что у нее общего и чем она отличатся, от привычной нам. Кто ее придумал.

Учебные вопросы: Изучить историю жизни и работы Лобачевского и  Римана. Ознакомиться с положением геометрии Лобачевского, доказательством её непротиворечивости, рассмотреть сферы её применения в реальной жизни.

                Мы изучаем геометрию Евклида. А живем мы, в какой геометрии? Неевклидова геометрия - это другая геометрия, отрицающая Евклидову? Как новые геометрические идеи повлияли на развитие естествознания? Как развиваются неевклидовы геометрии? Ответы на эти вопросы мы не получаем на уроках геометрии, поэтому возник этот проект.

  1. Предполагаемые продукты проекта: видео – фильмов о Лобачевском и Римане.
  2. Этапы работы над проектом.

1). Постановка проблемы. Определение целей проекта и названия. Выяснив проблему, сформулировали основополагающий вопрос. Определили цели. Сформулировали проблемные вопросы. (1 неделя)

2). Планирование времени проекта. Составляется план работы и примерное время для каждого пункта плана. (2 дня)

3). Поиск информации по проекту.  Занимались поиском информации по теме проекта. (1 месяц)

4). Подготовка к оформлению результатов. Проанализировали  информацию и выбрали способ её представления и подготовили её к оформлению. (2 недели)

5) Оформление результатов. Подготовка  видео – фильмов. (1 неделя)


Сказка "Морозко"

Гном Гномыч и Изюмка. Агнеш Балинт

Швейня

Простые летающие модели из бумаги

Что общего у травы и собаки?