ЕГЭ-тренинг (10-11 класс)

Задание 1. Вычислите без калькулятора, запишите решение 23 ∙ 16-0,5 ∙ 8.

Решение.  23 * 16-0,5 *  8 = 23 * (24)-0,5 * 23 = 26 * 2-2  = 24 = 16.

Ответ: 16.

Задание 2.  Решите уравнение  (х – 5)2 = (6 – х)2..

Решение.       (х – 5)2 = (6  – х)2;

              х2 – 10х + 25 = 36 – 12х + х2;

                               2х = 11;

                                 х = 5,5.

Ответ: 5,5.

Задание 3.   Найдите длину отрезка  АВ, если его концы имеют координаты  А(6; 4),              В(12; -4).

Решение.   АВ2  =  (хВ – хА)2 + (уВ – уА)2 = (12 – 6)2 + (-4 – 4)2 = 62 + (-8)2 = 36 + 64 = 100;  АВ = 10.

Ответ: 10.

Задание 4.   Найдите 23cosα,  если sinα = 0,6 и 0 < α < π/2.

Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством  sin2 α + cos2 α = 1.  cos2 α = 1 – sin2 α = 1 – 0,62 = 1 – 0,36 = 0,64 и cosα = 0,8 (α – угол первой четверти).                   23cosα = 23 * 0,8 = 18,4.

Ответ: 18,4.

Задание 5.   Найдите сумму 101 члена арифметической прогрессии, если её первый член равен 1,2, а пятый член равен 3,2.

Решение.     (ап) – арифметическая прогрессия,  а1 = 1,2;    а5 = 3,2;   S101 = ? Воспользуемся формулами ап = а1 + d(n – 1) и  Sn = (2a1 + d(n – 1)) * n.                                          Найдем  d:   d = (3,2 – 1,2) = * 2 = 0,5.                                                                                        Вычислим  S101:    S101 = (2 * 1,2 + 0,5 * 100) * 101 = (2,4 + 50) * 101 =  * 52,4 * 101 = = 26,2 * 101 = 2 646,2.

Ответ: 2 646,2.

Задание 6.   Запишите в виде степени выражение (23п – 1 *  (3п+1)2) : ((3п-1)2 *  8п+1).

Решение.   (23п – 1 *  (3п + 1)2) : ((3п – 1)2 *  8п + 1) = (23п – 1 * 32п + 2) * (32п – 2 * 23п + 3) = (23п – 1 : 23п + 3) * (32п + 2 : 32п – 2) = 2-4 * 34 =  = 5 = 5,0625.

Ответ: 5,0625.

Задание 7.   Пятьсот разделили на «половину». Сколько же получили?

Решение.        «Половина»   –  это .       500 :  = 500 * 2 = 1000.

Ответ: 1000.

Задание 8.   В треугольнике  АВС  проведена биссектриса  АL. Угол  АLC = 150о, угол АВС = 125о. Найдите угол АСВ.

Дано:   ∆ АВС,  АL – биссектриса        ВАС,  

            АLС = 150о,              АВС = 125о.

Найти:            АСВ.

Решение.

Пусть угол ВАL = углу LАС = х.

В   ∆ АВС  угол АСВ = 1800 – (1250 + 2х),  в ∆ ABL  угол АСВ = 1800 – (1500 + х).

Т. к. левые части данных равенств равны углу АСВ, тогда равны и правые части данных равенств. Отсюда имеем равенство  1800 – (1250 + 2х) = 1800 – (1500 + х).

                                                                            1250 + 2х = 1500 + х;

                                                                                          х = 250.

Угол АСВ = 1800 – (1500 + 250) = 1800 – 1750 = 50.

Ответ: 50.

Задание 9.   Два лыжника отправились от посёлка на прогулку до леса, находящегося в                  7 км  от места отправления. Один идёт со скоростью 15 км/ч, а другой  –  со скоростью                   10 км/ч. Дойдя до леса, первый с той же скоростью возвращается обратно.  На каком расстоянии от леса произойдёт встреча?

Решение.  Пусть на расстоянии х км от леса произойдет встреча.

                                    v (км/ч)                           t (ч)                             s (км)

1-ый лыжник                 15                                                           х + 7

2-ой лыжник                 10                                                           7 – х

По условию задачи лыжники до встречи были на прогулке одинаковое время.                                Составим и решим уравнение:    = .

                                                       10(х + 7) = 15(7 – х);

                                                       10х + 70 = 105 – 15х;

                                                        25х = 35;

                                                        х = ;

                                                        х = 1,4.

Ответ: 1,4 км.

Задание 10.   Иванов хочет взять в кредит 100000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Иванов взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 20000 рублей?

Решение.  Рассчитаем ежегодный платеж по кредиту на основе аннуитетной схемы.  Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a.                                       Составим таблицу погашения кредита.

Ответ: 8 лет.

Литература

1. Задача с экономическим содержанием в ЕГЭ по математике. Учебно-методическое пособие под. ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Ростов-на-Дону: Легион, 2015.
2. Шноль Д. Э. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В1. Арифметические задачи. Рабочая тетрадь / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. 3-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2012.
3. Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике.
4. Ященко И. В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / под ред. И. В. Ященко. М.: Издательство «Экзамен», 2016
5. Ященко И. В. И др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания /И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин – М.: МЦНМО, 2015
6.  https://www.statgrad.org/
7.  http://4ege.ru
8.  http://fipi.ru/
9.  http://alexlarin.net/
10. http://решуегэ.рф

     Проект «Познание и  творчество» доставляет мне массу удовольствия, и я узнала  много нового, выполняя задания номинации «ЕГЭ – тренинг». С большим энтузиазмом работала над экономическим заданием, задания  разнообразные, поэтому выполнять их интересно. Эти задания повышают мой умственный  потенциал и развивают логику и нестандартное мышление, помогают в подготовке к ЕГЭ. Я хочу  поблагодарить всех создателей этих заданий. Спасибо!

                                                                            Ланцева Влада  ГБОУ СОШ № 12 г. Сызрань