Математика - царица наук (9-11 класс)

Задание 1.  При каком значении а прямая у = а расположена выше оси Ох?

Решение.  Прямая у = а параллельна оси абсцисс и расположена выше оси Ох при а > 0.

Ответ:  а > 0.

Задание 2. Вычислите  lg 0,001 + 5.

Решение.    lg 0,001 + 5 =  lg 10-3 + 5 = -3 * lg 10 + 5 = -3 + 5 = 2.

Ответ: 2.

Задание 3.   Решите уравнение  4х – 1 = 64.

Решение.      4х – 1 = 64;     4х – 1 = 43;     х – 1 = 3;        х = 4.

Ответ: 4.

Задание 4.   Найдите значение выражения sinα ∙ tgα - 9cosα при α = 0.

Решение.      При α = 0      sinα ∙ tgα - 9cosα =  sin 0 * tg 0 – 9cos 0 = 0 * 0 – 9 * 1 = – 9.

Ответ:  – 9.  

Задание 5.  Чему равна наименьшая сумма, слагаемые которой и сама сумма  – простые натуральные числа?

Решение.  Число называется простым, если оно имеет два делителя единицу и само себя.

2 + 3 = 5;      2, 3, 5 – простые числа.

Ответ: 5.

Задание 6.   Чему равен показатель степени, которая равна выражению  а7,5 ∙ (а2,5) -3 : а-1.

Решение.    а7,5 ∙ (а2,5) -3 : а-1 = а7,5 * а-7,5 : а-1 = а7,5 – 7,5 – 1 = а-1.

Ответ: -1.

Задание 7.  Найдите наибольшее значение функции у = sinх – 3.

Решение.      Е(sinх) = [-1; 1];      E(sinх – 3) = [-4; -2].                                                                        Наибольшее значение функции у = sinх – 3 равно -2.

Ответ: -1.

 Задание 8.   Высоты AH и BK равнобедренного треугольника  ABC  с основанием  BC пересекаются в точке  O  так, что BO = 5, а OK = 3. Найдите площадь треугольника BKC.

Дано:  ∆АВС – равнобедренный, ВС – основание,                                                                                                                 АН и ВК  – высоты,  АНВК = О, BO = 5, OK = 3.                                                                                   Найти: S(∆ABC).

Решение.

                              А

                                       К

                       O                                  

В                         Н                             С                                                                                                            

∆ВКС ∼ ∆ВНО по двум углам, т. к. ∠ КВС – общий, ∠ ВКС =  ∠ ВНО = 900,                              

 отсюда    =  =  или   =  = .                                                                             =  или  2ВН2 = 40,     ВН2 = 20  и ВН = 2.                                                                                        В  ∆ВНО, где  ∠ ВНО = 900, по теореме Пифагора  ВО2 = ВН2 + ОН2.                                                              Отсюда   ОН2 = 52 – (2)2 = 25 – 20 = 5, т. е. ОН = .                                                                                 =  или   = ,  КС =  = 4.                                                                                             S(∆ABC) = КС * ВК =  * 4 * 8 = 16.

Ответ: 16.

Задание 9.   Сложное задание можно сделать простым, если учесть, что вместо  *  надо поставить простое число и равенство будет верным.                                                                                   *  +  * + 1747 = 1759  -  *  -  *.   Какое число потребуется?

Решение.         *  +  * + 1747 = 1759  -  *  -  *.                                                                                                  Пусть данное простое число равно  а, тогда имеем уравнение относительно а.                                                      а + а + 1747 =  1759 – а – а;      4а = 1759 – 1747;        4а = 12;      а = 3.

Ответ: 3.                                                      

Задание 10.   Летом скорость катера против течения составляет 0,6 скорости по течению. Весной течение становится на 1 км/ч  быстрее. Поэтому скорость катера против течения в 2  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость катера в стоячей воде.

Решение.  Пусть х км/ч скорость катера в стоячей воде, у км/ч скорость течения летом.

  Летом                                          v (км\ч)                        

По течению                                    х + у

Против течения                              х – у, что составляет 0,6 скорости по течению

По условию задачи составим уравнение:  х – у = 0,6(х + у).

(у + 1) км/ч скорость течения весной

Весной                                            v (км\ч)                        

По течению                                  х + (у + 1)

Против течения                            х – (у + 1), в 2  раза медленнее, чем по течению

По условию задачи составим уравнение:  2(х – у – 1) = х + у + 1.

Составим и решим систему уравнений:      х – у = 0,6(х + у),

                                                                         2(х – у – 1) = х + у + 1;

х – у = 0,6х + 0,6у,                   0,4х = 1,6у,          х = 4у,                    х = 4у,           х = 12,

2х – 2у – 2 = х + у + 1;            3у =  х – 3;           3у = 4у – 3;             у = 3;             у = 3.

Ответ: 12 км/ч.

«Принимаю участие в проекте «Познание и творчество»  третий год. Из заданий  данного тура мне больше понравились геометрическая  задача и задача со степенями. Идеи для решения заданий № 5, 7, 9 и 10 я обсуждала с учителем, родителями, использовала  литературу, интернет. Считаю, что конкурсные математические задачи позволяют использовать знания в нестандартных ситуациях. Спасибо организаторам конкурса за интересные задания!»

                                                               Жилина Валерия ГБОУ СОШ № 12 города Сызрани

Литература

1. https://www.statgrad.org/
2.  http://4ege.ru
3.  http://fipi.ru/
4.  http://alexlarin.net/
5. http://решуегэ.рф