Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №182

Математика гармонии

Предметная область: математика и музыка

Работу выполнила:

Бурцева Елизавета Сергеевна, 10 класс

Руководитель:
Тимошенко Дарья Михайловна,

ГБОУ СОШ №182

Санкт-Петербург, 2017

Оглавление

Введение        3

Первые доказательства        4

Нахождение нот с помощью математических формул        5

Пифагорейский строй        7

Диатонический строй        10

Математическое решение        11

Мелодия как математическая модель        12

Задачи        12

Заключение        14

Список использованной литературы.        15

Введение

Математика – царица наук. Она охватывает почти все сферы деятельности человека, и творчество не является исключением из этого списка. Конечно, данный тезис требует аргументов и обоснования, так как множество людей считают, что искусство – это нечто, идущее от сердца, от души. Бесспорно, создание шедевра невозможно без вдохновения и без труда композитора. Однако только этого будет недостаточно. Мелодия – это не что иное, как математическое выражение, которое будет являться верным лишь при условии выполнения строгих правил и законов.  Музыка неразрывно связана с математикой. Однажды Готфрид Вильгельм Лейбниц^[1] сказал: «Музыка есть таинственная арифметика души; Она вычисляет, сама того не подозревая».

Для современного научного прогресса характерен симбиоз наук. Математика – точная наука, относящаяся к техническому профилю. Музыка – отрасль культуры. Если принять за истину, что музыка – есть скрытая математика, то занимаясь ей ребенок может не только получить эстетическое воспитание, но и развивать свои интеллектуальные способности. В этом и заключается актуальность моей работы.

Гипотеза: музыка – точная наука, базирующаяся на математике.

Цель исследовательского проекта: провести взаимосвязь между музыкой и математикой.

Для доказательства моей гипотезы необходимо выполнить следующие задачи:

1. Выяснить, были ли попытки связать музыку и математику ранее, и когда была выдвинута первый раз подобная гипотеза.
2. Наглядно показать, что музыка не могла бы существовать без математики.
3. Рассмотреть мелодию, как математическое выражение.
4. Провести аналогию между математическими задачами и задачами из музыки.
5. Узнать современные гипотезы о связи двух наук

Методы исследования:

1. Изучение документов
2. Математический анализ
3. Анализ музыкального произведения
4. Создание математической модели

Первые доказательства

В античные времена происходила дифференциация семи свободных искусств на две группы - тривиум и квадривиум^[2]. К первой группе относили диалектику, риторику и грамматику, ко второй – арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Факт того, что музыка располагалась в одной группе с точными науками, говорит о том, что еще в древние времена люди задумывались о связи музыки с математикой.

В пифагорейской школе было найдено еще одно доказательство, которое пифагорейцы считали главным. Последователи этой школы изучали музыку с помощью однострунного инструмента, называемого монохордом. Они поочередно зажимали струну на разных ее участках, а затем попарно сравнивали звуки. В своих опытах они записывали разные соотношения длин струн, представленные небольшими числами. Например, зажав струну ровно посередине, они получали интервал, равный октаве, длина струн в таком случае записывалась, как 2:1. Зажав струну на треть от ее конца, они получили квинту, длина такой струны записывалась в соотношении 3:2. Зажав струну на четверть от ее конца, пифагорейцы получили кварту, соотношение длин – 4:3. В современной теории музыки эти интервалы называются чистыми. На тот момент пифагорейцы могли лишь утверждать, что они являются приятными на слух и вызывают эстетическое удовольствие. Они заметили, что если длины струн соответствуют, то звуки будут приятны на слух. Именно это они считали главным доказательством связи двух наук.

Учитывая данный факт, можно сделать вывод, что еще с древности человек задумывался о связи музыки и математики. Уже тогда формировались первые догадки и доказательства.

Позднее свои труды этой теме посвящали такие ученые, как Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Даниил Бернулли и другие.

Нахождение нот с помощью математических формул

Для того, чтобы провести еще одну линию связи между музыкой и математикой необходимо ввести такое понятие, как частота. Частота — физическая величина, характеристика периодического процесса, равна количеству повторений или возникновения событий в единицу времени. Рассчитывается, как отношение количества повторений или возникновения событий к промежутку времени, за которое они совершены. Частота 1 Гц означает, что в единицу времени тело совершает одно повторение. Известно, что нота ля настраивается на частоте 440 Гц, это сделано из соображений удобства и выбрано произвольно. Данный стандарт был установлен в 1939 году на Международной конференции в Лондоне. В разных точках земного шара музыканты настраивали свои инструменты на немного отличные друг от друга значения^[3].

Зная теперь такое понятие, как частота, снова обратимся к страницам истории. Как уже говорилось ранее, пифагорейцы анализировали не отдельные ноты, а отношения между ними. И для обозначения расстояния между нотами они использовали понятие интервала. Интервал (от лат. intervallum — промежуток, расстояние; разница, несходство) в музыке — соотношение между двумя звуками определённой высоты. 

        Интервалы можно представить также, как соотношение частот нот. Такое соотношение позволяет найти один неизвестный звук через другой известный, подобно нахождению противолежащего катета через синус угла и гипотенузы. То есть ноту, которую необходимо построить мы можем просто высчитать.

Построим квинту (3:2) от ноты ля, обозначив искомую ноту за F2, а ля – F1.

По формуле: F2= F1*

Получается F2= 440* =660, то есть приблизительно частота ноты ми.

И действительно, этот интервал охватывает пять ступеней.

Данным методом можно вычислить и ноту F3, которая на кварту ниже, чем F2.

Построим кварту вниз от ноты ми.

По формуле: F3=F2*

Получается F2=660* =495, то есть приблизительно частота ноты си, которая образует с ми такой интервал, как кварта.

Задача решена верно.

Возможность высчитать одну ноту через другую есть еще одно доказательство невозможности существования музыки без математики, а значит и ее подвластности строгим математическим законам.

Пифагорейский строй

Еще одно изобретение, связанное с именем Пифагора – Пифагорейский строй. Как уже говорилось ранее, Пифагор утверждал, что все должно основываться на простых числах, а потому в основе его строя лежали всего два интервала, выраженные соотношениями простых чисел – квинта и октава. Несколько последовательных квинт дадут нам все необходимые ноты, которые мы потом сможем перенести в нужные нам октавы.

Для удобства начнем с ноты до. Пользуясь методом, приведенном в прошлом пункте, отложим шесть квинт вверх и шесть квинт вниз.

Частота ноты до приблизительно равна 262 Гц, то есть:
Дано:

F1= 262Гц

Квинта = 3:2

Найти: F2, F3, F4, F5, F6, F7

F2=262*=393(соль)
F3=393* =590 (ре)

F4=590* =885 (ля)

F5=885* =1328 (ми)

F6=1328* =1992 (си)

F7=1992* =2988 (фа-диез)

А теперь отложим шесть квинт от ноты до вниз.

Дано:

F1= 262Гц

Квинта = 3:2

Найти: F'2, F'3, F'4, F'5, F'6, F'7

F'2=262* =175 (фа)

F'3=175* =117 (си-бемоль)

F'4=117* =78 (ми-бемоль)

F'5=78* =52 (ля-бемоль)

F'6=52* =35 (ре-бемоль)

F'7=35* =23 (cоль-диез)

Таким образом, мы получили 12 нот^[4], которые в современной теории музыки составляют кварто-квинтовый круг.

Далее необходимо посчитать относительную частоту всех нот, которые мы получили.

До=1

Соль=1* =

Ре= + )/2= (Был сдвиг на одну октаву)

Ля= *=

Ми=(*)/2=  (Был сдвиг на одну октаву)

Си=  *()=

Фа=1**2=

Си-бемоль=**2= (Был сдвиг на одну октаву)

Ми-бемоль= * =

Ля-бемоль =*2= (Был сдвиг на одну октаву)

Ре-бемоль = =

Cоль-бемоль = **2=  (Был сдвиг на одну октаву)

Однако на самом деле на квинту выше си должен находится фа-диез, который, как сначала можно было подумать, должен совпадать с соль-бемоль, но это не один и тот же звук, разница между ними называется пифагорейской коммой. Построив 12 нот, мы замечаем, что первая нота и последняя отличаются друг от друга не на некоторое небольшое значение. Это и есть пифагорейская комма (ПК), которая вычисляется по формуле:

, где ƒ – частота, взятая за основу

Можно заметить, что отличие - почти четверть полутона. Оно вызвано тем, что дробь, соответствующая квинте, несовместима с дробью, соответствующей октаве. Чтобы это показать, попробуем найти такие показатели степени х и у, которые позволят их связать:

Из последнего выражения следует, что нам необходимо найти такое число, которое являлось бы степенью как числа два, так и числа три. Согласно основной теореме арифметики^[5], которая гласит, что любое положительное число можно однозначно представить в виде произведения простых множителей, такого не может быть. Данное выражение противоречит этой теореме. А значит можно сделать вывод, что не существует хроматического строя без пифагорейской коммы.

Обобщим все, что мы узнали о Пифагорейском строе: он строится от одной главной ноты, путем откладывания от нее цепочки чистых квинт, что вызывает математические затруднения, а также несовместимость некоторых интервалов, а именно терций и квинт. Такой интервал как терция, равный трем ступеням, можно построить с помощью цепочки из четырех квинт и получить соотношение 81:64, в простом же соотношение терция записывается как 5:4, приведя к общему знаменателю, мы можем сравнить два этих отношения. Как мы видим, соотношения интервалов не совпадают, а значит терция здесь не является чистой. Пифагорейский строй имеет чистые квинты в ущерб терциям.

 и

Диатонический строй

Но люди не остановились в поисках “идеального” строя. Появился такой строй, как диатонический. Его устройство сложнее, нежели у пифагорейского. Исходной нотой являлась нота до, от нее были построены чистая кварта (4:3) – фа, и квинта (3:2) – соль. Частота ноты до условно обозначалась за единицу. Затем от нот до, фа и соль откладывались чистые терции (5:4) – ми, ля и си соответственно. Оставалось лишь получить одну ноту – ре, которая была отдалена от ноты соль ровно на одну квинту. Музыка, написанная в диатоническом строе, принадлежит к тональной, где есть главная нота – тоника или тональны центр, а остальные выстроены в иерархию к ней. Каждая нота имеет свое предназначение.

Однако и здесь оказалось не без изъянов. В этом строе есть несовместимости некоторых интервалов - октав, кварт, и квинт. Также в таком строе музыканты столкнулись с проблемами транспонирования произведения из одной тональности в другую. Они заметили, что произведение, написанное, например, в тональности до-мажор, сыгранное на инструменте, настроенном от ноты ре, будет звучать фальшиво и совсем не похоже на то, что хотел написать автор. Для наглядности рассмотрим квинту ре – ля, если взять их частоты, то получаем соотношение – 40:27, но мы уже знаем, что чистая квинта – это 3:2. Следовательно, такой интервал не является чистым.

 и

* =

Математическое решение

Наконец возникла идея, что для создания “идеального” строя необходимо разделить октаву на 12 равных интервалов, которые в свою очередь должны разбиваться на 12 равных полутонов.

Первым эту идею предложил Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, еще в XVI веке. Он вычислил, что соотношение частот этих полутонов равнялось 18/17. Упорядочиванием 12 таких интервалов получались малые октавы и квинты, соотношение частот для которых равнялось 1,9855… и 1,4919… соответственно. Решение данной задачи невозможно было бы без математики:

Представим за х отношение частот звуков последовательных интервалов так, чтобы 12 полутонов давали октаву, то есть:

х12=2=>

Значение х, равное 1,059463094…, позволяет получить идеальную октаву.

В данном случае не идет речи ни о какой пифагорейской комме, ибо она равномерно распределяется по всему строю.

Такой строй назвали равномерно темперированным. Вне зависимости от выбора тонального центра, окраска произведения не меняется, так как все интервалы равны между собой.

Данная задача была решена никак иначе, как с помощью математики. А значит, мы нашли еще одно доказательство подчинения музыки строгим математическим законам.

Мелодия как математическая модель

 Если музыка подчиняется математике, значит мелодия – это математическое выражение. В таком случае можно построить математическую модель.

Каждая нота в произведении находится на своей ступени в зависимости от тональности. Для наглядного примера я использую “Прелюдию До-мажор” Иоганна Себастьяна Баха. Исходя от тональности, отсчет ведется от ноты до.

До – I (1)

Ре – II (2)

Ми – III (3)

Фа – IV (4)

Соль – V (5)

Ля – VI (6)

Си – VII (7)

Получаем

35135133513513/26246242624624/25245242524524/35135133513513/36366363636636

Основные тона располагаются на устойчивых ступенях, номера которых – 1, 3, 5

Складываем устойчивые ступени в каждом такте, получаем:

54, 0, 0, 54, 18 – числа, кратные 18.

Можно сделать вывод, что музыка заключает в себе математическую закономерность, то есть музыкальное произведение представляет собой некую математическую модель.

Саму же нотную запись мелодии мы можем назвать функцией, для которой ось абсцисс будет являться осью высоты звука (h), а ось ординат – длительностью (t):

Задачи

В музыке часто появляются задачи, сравнимые с задачами из математики. Давно известно, что ритм – это основополагающая музыки, ведь появился он еще раньше, чем мелодия.

Частый ритмический прием, особенно в церковной музыки, - это канон^[6].

В геометрии существуют задачи замощения плоскости, в нашем случае мы хотим покрыть всю “звуковую плоскость” во время исполнения канона.

Для того, чтобы найти правильный метод решения этой задачи, мы должны учитывать:

- общее число артикуляций (а)

- число голосов (N)

- смещение голосов (d)

Должны выполняться условия:

- число а должно делиться на число N нацело

- нужно покрыть а артикуляций с помощью N голосов. Так как все голоса эквиваленты, структура должна состоять из а/N единиц

- голоса смещаются относительно друг друга на эту единицу.

Зададим числа: а=4 (артикуляции) и N=2 (голоса). Смещение равно 4/2=2 артикуляции.

Теперь к нам на помощь приходит комбинаторика, позволяющая перечислить все возможные варианты ритмических структур:

Это задача является наглядным примером необходимости математики в теории музыки.

Заключение

Как мы видим, многие музыкальные законы базируются на законах математики. В музыке все логично, строго и не так просто, как кажется на первый взгляд. Проведя данное исследование, я еще раз убедилась о неразрывности музыки и математики. Все, что известно в современной теории музыки было создано с помощью расчётов, а не выдумано для гармоничности звучания. Сама же мелодия является математической моделью, обладающей рядом закономерностей. Мы выяснили, что музыка не может существовать без математики. На многие вопросы мы бы не смогли дать ответ без нее. Математика используется при анализе музыки и описывает множество ее аспектов. Умеющий наслаждаться математикой помимо тех эмоций, которые дарит музыка, получают удовольствие и от ее математической составляющей. “Музыка – скрытая работа ума, не сознающего, что он занят вычислениями,” -  Готфрид Вильгельм Лейбниц.

В наше время люди продолжают исследовать связь музыки и математики. В этом направлении работают современные американские ученые Клифтон Каллендер, Ян Куинн и Дмитрий Тимошко. Будучи музыкантами и математиками одновременно, они смогли сформулировать подход, названный ими «геометрической теорией музыки» и позволяющий перевести абстрактный язык музыкальной гармонии в более конкретные геометрические образы.

Каждая нота - логарифм частоты ее звука. Руководствуясь этим, они сгруппировали аккорды в зависимости от числа входящих в них нот. Каждую из таких групп они организовали в соответствии с определенной математической структурой и расположили в комплексном геометрическом пространстве наподобие осей координат в классической Декартовой системе. В данном случае речь идет о неевклидовых пространствах. Разные группы аккордов «порождали» разные пространства.

Таким образом, благодаря математике можно сделать огромный прорыв в музыке, открыть совершенно новое, а музыка в свою очередь приносит пользу как культурная составляющая и “витамин” для интеллекта. «Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса» — Альберт Эйнштейн

Список использованной литературы.

1. Хавьер Арбонес  и Пабло Милруд «Мир математики», № 12 «Числа – основа гармонии. Музыка и математика»,

Издатель, учредитель, редакция: ООО «Де Агостини», Россия

Место издания: Россия, г. Москва.

Объем: 111 страниц.

2. Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki

Статьи: канон, частота, Готфрид Вильгельм Лейбниц.