Диофантовы уравнения

VIII областная научно – практическая конференция

«Путь в науку»

Секция математики

       Линейные диофантовы уравнения

Научно-исследовательская работа

по математике

                                                                 Выполнена:  обучающимся 11 «б» класса

                                                                     МБОУ «Гимназия»

                                                                                      Тереховым Даниилом                         

                                            Научный руководитель -  учитель математики

                                                                         МБОУ «Гимназия»

                                                                             Терехова Надежда Анатольевна

г. Моршанск

2013

СОДЕРЖАНИЕ

    Введение_________________________________________________  3 стр

1. Основная часть

     1.1 Краткая историческая справка____________________________ 5 стр

     1.2 Линейные диофантовы уравнения_________________________  6 стр

2. Практическая часть

     2.1 Методы решения диофантовых уравнений__________________  8 стр

      2.2 Сборник задач_________________________________________ 13 стр    

   Заключение _______________________________________________ 14 стр

   Список литературы_________________________________________ 15 стр

ВВЕДЕНИЕ

На различных математических олимпиадах и в ходе подготовок к ним мне   встречались уравнения, которые решались необычными способами. Оказалось, что эти уравнения составляют целый класс уравнений и называются диофантовыми. К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражаются количеством предметов того или иного рода и поэтому являются натуральными или целыми неотрицательными числами.

Теория решения подобных уравнений является классическим разделом элементарной математики. В ней не приходится писать сложные и громоздкие формулы, а необходимо проводить аккуратные рассуждения, базирующиеся на определённых понятиях теории чисел и связанные в стройную логическую конструкцию.

Конкретные задачи такого рода были решены ещё в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий мыслитель Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах и, в сущности, описал общие методы их решения.

В школьных учебниках эта тема затрагивается вскользь, да и то лишь в 8-м классе и немного в 10, в то время как задачи, где требуется решать уравнения описанного типа, ежегодно предлагаются в заданиях С6 вариантов ЕГЭ.

Я заинтересовался этим и решил подробно изучить данный вопрос.

Цель исследования – систематизация способов решения линейных диофантовых уравнений.

Задачи моей работы:

- познакомиться с теоретическим блоком, связанным с личностью Диофанта-ученого и его математическими исследованиями;

- научиться решать уравнения в целых числах разных уровней сложности и классифицировать методы решений;

- в помощь учителю создать приложение, в которое будет входить подборка разных задач;

- в помощь учителю создать интерактивный тест в формате *.ppt, помогающий определить степень усвоения темы учениками;

После постановки задач и знакомства с теорией я выдвинул

 гипотезу моей работы: умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам и сдаче ЕГЭ, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.

 Объект  моего исследования:  линейные диофантовы уравнения.

Методы исследования:

• источниковедческий анализ литературы;
• математическая обработка данных;
• решение уравнений;
• классификация уравнений;
• обобщение.

Новизна моей работы заключается в создании приложения, в которое входит подборка задач на данную тему разного уровня сложности; подборка задач, способных описать жизненные ситуации; создание интерактивного теста по теме «Диофантовы уравнения» для использования на уроках математики.

Практическая значимость моей работы заключается в использовании ее на углубленных занятиях по математике, при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ.

Методической базой исследования моей работы явились труды математиков Н.Б.Васильева, В.Л.Гутенмахера, Г.Фалина, А.Фалина, А.Г.Корянова, А.А.Прокофьева, Ф.Ф. Лысенко и других.

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1  КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 

Диофант — древнегреческий математик из Александрии. О подробностях его жизни практически ничего не известно. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э. В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года.

Систематическое изложение теории известных к тому времени уравнений в целых числах дано Диофантом в его «Арифметике». «Арифметика» — труд Диофанта в 13 томах, из которых до наших дней дошло только 6.

                      Лист из Арифметики (рукопись XIV века).

                         В верхней строке записано уравнение: 

                                      .

Шесть греческих книг являются собранием 189 числовых задач, снабженных решениями.

В Европе интерес к «Арифметике» возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики», выполненный Баше де Мезириаком. Он считается первым европейским математиком, который дал полное решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными и вывел общий метод решения таких уравнений. Именно решение уравнений в целых числах я и буду рассматривать в своей научно-исследовательской работе.

1.2 ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

      Прежде всего, рассмотрим однородное линейное уравнение, т.е. уравнение вида: .

Теорема 1: Если числа и  взаимно простые, то уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z и описываются формулой: , где - «номер» решения.

Но чаще всего в олимпиадных задачах и задачах ЕГЭ встречаются общие линейные уравнения вида: .

        Рассмотрю основные теоремы, которые используются при решении данных уравнений.

Теорема 2: Если наибольший общий делитель  коэффициентов и  больше 1, а свободный член  не делится на , то уравнение  не имеет решений в целых числах.

       Теперь буду рассматривать только такие уравнения вида , в которых свободный член  делится на . После деления обеих частей уравнения на  мы получим уравнение того же вида, но уже со взаимно простыми коэффициентами при неизвестных.

Теорема 3:  Любое уравнение , где , имеет хотя бы одно решение в целых числах.

      Частное решение общего линейного уравнения можно найти различными способами, в частности методом подбора. Т.о., общее решение уравнения представляет собой сумму частного решения  этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения .

Теорема 4:  Если числа  и   - взаимно простые, то уравнение   имеет бесконечно много решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z и описываются формулой , где - «номер» решения, а - частное решение

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

       При решении текстовых задач,  решение которых находится в натуральных числах, можно использовать:

1. метод перебора;
2. отношение делимости;
3. выделение целой части;

Задача 1.   У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног?

                                      Решение:

       Пусть х – количество осьминогов, у – количество морских звезд, тогда

получаем уравнение .

Выразим у через х, , т.к у – натуральное число,  должно делится на 5, значит:

,

,  

Ответ: 3 осьминога и 3 звезды.

     Можно уменьшить число переборов с помощью неравенств.  

После выражения у через х накладываем условие на у > 0.

Тогда,

 Подставляя вместо х значения 1; 2; 3, получаем значения у = , из которых только 3 удовлетворяет условию задачи.

        На решении одной задачи я показал использование трёх методов решения уравнений в натуральных числах. В заданиях С6 ЕГЭ необходимо решить уравнение в целых числах, но так как это множество неограниченно, то выполнить перебор или оценку с помощью неравенства невозможно.

      Рассмотрю два основных метода: метод «спуска» и алгоритм Евклида на примере решения задачи 2.

Задача 2.  Решить в целых числах уравнение 79y  - 23x = 1.

Решение:

(метод «спуска»)

       Т.к. 79 и 23 взаимно простые числа, то уравнение имеет хотя - бы одно решение в целых числах.

       Выразим переменную, имеющую наименьший по модулю коэффициент , т.к. х – целое, то  - целое, тогда .

Продолжим .

Обозначим  

, пусть

Делая обратную подстановку, получим:

                                                                     , значит .     Ответ:

(алгоритм Евклида)

        Алгоритм Евклида заключается в последовательном делении наибольшего коэффициента на наименьший и предыдущий делитель на предыдущий остаток, нахождении наибольшего общего делителя двух чисел.

Т.о. получилась последовательность               

Из (3) выразим остаток , из (2): , тогда  .

Из (1) выразим остаток   и подставим в последнее равенство . Сопоставляя с исходным уравнением , получим частное решение данного уравнения . Применяя теорему 4, получим общее решение .

Проанализировав эти два метода решения, на мой взгляд, проще метод «спуска». Попробую подтвердить своё предположение:

Задача 3. [4, стр 24] (С6, 2012г)

    Решите в целых числах уравнение .

Решение:

Числа 127 и 52 взаимно простые, следовательно уравнение имеет решение.

;

Пусть  тогда

,

,

.

Выполняя обратную подстановку, получим  

       Получили решение данного уравнения: , , где .

Если нужно найти частное решение, то нужно вместо  подставлять целые числа, например, , тогда .

     Я рассмотрел решение уравнений из заданий ЕГЭ и олимпиад. Для доказательства своей гипотезы, рассмотрю обычную бытовую задачу.

Задача 4. [1, стр 13] (Социологический факультет, 2005 г)

      Фирма продавала чай в центре города по 7 рублей, а кофе по  10 рублей за стакан; на вокзале – по 4рубля и 9 рублей соответственно. Всего было продано за час 20 стаканов чая и 20 стаканов кофе, при этом выручка в центре и на вокзале оказалась одинаковой. Сколько стаканов кофе было продано в центре?

Решение:

Запишем условие задачи с помощью таблицы

Т.к. по условию выручка одинакова, то составим уравнение:

      Т.к. 19 и 11 взаимно простые, то уравнение имеет хотя - бы одно решение. Данное уравнение решается в натуральных числах, причём х и у не превышает значение равное 20.

Возвращаясь к исходной переменной, получим

       Т.к.  то при р=1, х=5, у=15.

Ответ:  5 стаканов.

2.2 СБОРНИК ЗАДАЧ

1. [1, стр 9] (Филологический факультет, 1969 г) Остаток от деления некоторого натурального числа n на 6 равен 4, остаток от деления n на 15 равен 7. Чему равен остаток от деления n на 30?             Ответ: 22

2. [2, стр 11] Решите уравнение: 3х – 4у = 1 в целых числах.

                                                           Ответ:

3. [2, стр 12] (ЕГЭ 2010) Найдите все целые решения уравнения

 113х + 179у = 17, удовлетворяющие неравенствам .

                                                       Ответ: х = 35; у = -22.

4. [2, стр 2] Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны? Укажите все решения.       

                        Ответ: 12 контейнеров по 130 кг и 9 контейнеров по 160 кг.

5. [2, стр 1] В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения.

                             Ответ: 1 кролик и 7 фазанов, 2 кролика и 5 фазанов,

                                          3 кролика и 3 фазана, 4 кролика и 1 фазан.

6.   Задача о возрасте Диофанта

До наших времен дошла одна из эпиграмм Палатинской Антологии:

         Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень

         Мудрым искусством его скажет усопшего век.

         Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

         И половину шестой встретил с пушком на щеках.

         Только минула седьмая, с подругою он обручился.

         С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

         Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

         Отнят он был у отца ранней могилой своей.

         Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

         Тут и увидел предел жизни печальной своей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  Я изучил информацию о  диофантовых уравнениях и закрепил теорию практикой решений задач.  Благодаря алгоритмам и методам, которые я узнал из теории, я научился довольно быстро решать диофантовы уравнения. Помимо этого, я пришёл к выводу, что многие линейные уравнения, могут описывать довольно простые жизненные ситуации. Таким образом, я доказал поставленную в начале работы гипотезу о том, что умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.

      Но все, же главное практическое применение моей работы — использование ее при подготовке учеников к олимпиадам, на которых так любят давать диофантовы уравнения.   Ведь подобные уравнения развивают логическое мышление, повышают  уровень математической культуры, прививают навыки  самостоятельной исследовательской работы в математике.

 В своей работе я опирался на важные математические теории и алгоритмы, изученные ранее. При решении уравнений и задач, сводящихся к диофантовым  уравнениям, применяются: метод перебора, отношение делимости, выделение целой части, метод «спуска», алгоритм Евклида.

Я выполнил цель и все поставленные мною задачи:

- познакомился с теоретическим блоком, связанным с личностью Диофанта-ученого и его математическими исследованиями;

-  научился решать линейные диофантовы уравнения

-  классифицировал методы решений;

- сделал выводы;        

- в помощь учителю создал приложение, в которое поместил подборку разных задач;

- в помощь учителю создал интерактивный тест в формате *.ppt, помогающий определить степень усвоения темы учениками;

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линейные диофантовы уравнения / Г.Фалин, А.Фалин. — М.: Чистые пруды, 2008. — 32 с.
2. Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) / А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев. – М.: 2012, 66 с.                  
3. Делимость целых чмсел . Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ. /Н.Б.Васильев. В.Л.Гутенмахер – М., Изд. ОЛ ВЗМШ, 2005г., 38 с
4. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2013: учебно-методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012. – 416 с.
5. www.wikipedia.org/Диофант
6. www.alexlarin.narod.ru