Исследовательская работа по теме "Бесконечность"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средней общеобразовательной школы №42

Исследовательская работа

по теме

"Бесконечность и её роль в математике"

                                                                                          Облогин Данил Юрьевич

                                                                    ученик 10"А" класса МОУ СОШ №42

                                                                                                          Руководитель:

                                                                               Бондарь Галина Владимировна

                                                                                                 учитель математики

Комсомольск - на - Амуре

2017

СОДЕРЖАНИЕ

3 лист ......................................................................................... Вступление

4 лист ........................1 Раздел"История изучения , с чего всё началось"

5 лист .............. 2 Раздел"Актуальная и потенциальная бесконечность"

6 лист .................................................. 3 Раздел"Определения и свойства"

7 лист ........................ 4 Раздел"Математики изучавшие бесконечность"

12 лист ............................................ 5 Раздел"Арифметика бесконечного"

13 лист .................................................. 6 Раздел"Проблема континуума"

14 лист ...................................................................................... Заключение

15 лист .........................................................................Список источников

ВСТУПЛЕНИЕ

В данной исследовательской работе я задаюсь вопросом:  какова роль бесконечности в математике,? И что такое " Бесконечность"

Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям , в зависимости от области применения , будь то математика , физика , философия, теология или повседневная жизнь

Бесконечность чужда нашему непосредственному опыту ,и в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого , в применении к сущностям без пространственных границ.

Также бесконечность неразрывно связана с обозначением бесконечно малого , к примеру ,ещё Аристотель сказал :

"...всегда возможно придумать большее число , потому что количество частей на которое можно разделить отрезок , не имеет предела . Поэтому бесконечность потенциальна , никогда не действительна ; какое бы число делений не задали , всегда потенциально можно поделить на большее."

3

1.История изучения , с чего всё началось.

Первые ,кто задался вопросом бесконечности , были греческие математики. Главным из которых был Аристотель . Вообще Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности , разделив её на потенциальную и актуальную (под актуальной подразумевая реальность существования бесконечных вещей) (подробней на листе 5) и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа , а также указав на пять источников представления о ней:

• время
• разделение величин
• мышление

Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру , в теологии бесконечность бога не столько даёт количественное определение , сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.

После Аристотеля вопросом бесконечности задались немецкий математик Давид Гильберт ( подробнее на листе 9 )  и более подробно основатель, теории множеств немец, Георг Кантор ( подробней на листе 10  ).

4

2.Актуальная и потенциальная бесконечность

Как уже говорилось выше Аристотель разделил понятие бесконечность на потенциальную и актуальную .

Что же значат эти определения ?

Рассмотрим эти понятия на примере актуальной и потенциальной  возможности

Потенциальная возможность  - возможность которую можно исполнить .

Актуальная возможность - возможность которая произошла.

Теперь применим эти определения к бесконечности.

Потенциальная бесконечность – мы можем утверждать ,что существует  следующее число в последовательности больше предыдущего

 (Натуральные числа).

Актуальная бесконечность – если мы сможем назвать такое следующее число в последовательности больше предыдущего

(Натуральные числа)

Сейчас ведутся споры о существовании актуальной бесконечности , лично Аристотель считал ,что истина только потенциальная бесконечность.

5

3.Определения и свойства.

3.1 Определения

Определение бесконечности в словарях встречаются разные , вот некоторые из них.

1. Отсутствие конца , предела наличию каких–либо однородных объектов в пространстве или момента осуществления каких-либо процессов.
2. Пространство , не имеющее видимых границ , пределов.
3. Условная величина , которая больше любого наперёд заданного значения (Обозначается знаком  ∞ ).

3.2 Свойства бесконечности

1. Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел
2. Множество Целых чисел называется Дискретным 
3. Между любыми двумя рациональными числами всегда будет располагаться бесконечно много других рациональных чисел
4. Множество Рациональных чисел называется Непрерывным
5. Если мы можем указать следующее число в множестве , то оно имеет Плотность
6. Плотность делает бессмысленным понятие «следующего» рационального числа

6

                             4 Математики изучавшие бесконечность

4.1 Зенон Элейский  и его парадоксы

Зенон Элейский  (490-420 до н.э.) Греческий философ. О его жизни известно немногое, и о его трудах, включая его знаменитые парадоксы, мы знаем в основном из сочинений более поздних философов. Он был представителем Элейской школы, учеником Парменида  (515–450 до н. э.), который утверждал, что истинная реальность должна быть вечной и неизменной, постижимой лишь разумом и логикой. Согласно легенде, элейский тиран Неарх пытал и казнил Зенона за участие в заговоре против правительства.

                                            4.1.1 Парадокс движения

Для того чтобы Человек дошёл из точки А до точки B ему надо пройти середину этого пути ( С ) . В свою очередь ,чтобы пройти из А в С нужно пройти середину этого отрезка ( D ) . А чтобы пройти из А в D нужно пройти середину этого отрезка ( E )  и т.д. По данному парадоксу перемещение как такового не существует .Он доказывает ,что пространство(путь) бесконечно делимо

7

4.1.2 парадокс "Ахиллес и черепаха"

Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей , в противоположность черепахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой . Если они стартуют одновременно , то Ахиллес очевидно придёт к финишу первым .Все изменится , если дать черепахе небольшое преимущество , сколько бы мало оно ни было . В этих условиях Ахиллесу снова придётся пробежать расстояние , отделяющее его от черепахи. Однако за то время , пока он будет бежать , черепаха отойдёт ещё дальше , и Ахиллесу по-прежнему не сможет догнать её . Так как этот процесс повторяется бесконечно , он никогда не догонит черепаху.

8

4.2 Давид Гильберт , отель Гильберта.

Давид Гильберт ( 23 января 1862 - 14 февраля 1943 ) - немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числе теорию инвариантов и аксиоматику евклидовой геометрии. Он сформулировал теорию гильбертовых пространств, одну из основ современного функционального анализа

Давид Гильберт внёс весомый вклад создав "отель  Гильберта" , на котором построена Арифметика бесконечности ( подробнее лист 12) .

Отель Гильберта - это отель с бесконечным количеством номеров ( в каждом номере живёт 1 постоялец )  .

Разберём задачу , нам нужно заселить в этот отель 1 жителя , но все номера заняты .

Решение : Нужно переселить каждого жителя в номер  N + 1  ( где N старый номер )

Тоже самое можно сделать и со 100 новыми жителями  или с бесконечным множеством жителей ( переселить  N  ↔ 2N ) и т.д.

9

4.2 Георг Кантор и теория множеств

Гео́рг Ка́нтор — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.

4.2.1 Теория множеств

Принцип

Сравнение между собой двух множеств по числу элементов с помощью установления взаимно однозначного соответствия между элементами этих множеств.

Свойство

Если можно установить однозначное соответствие между элементами множества ‘A’ и элементами множества ‘B’ то они имеют одинаковую мощность ( количество элементов ).

4.2.2 Задачи

1) Георг Кантор решил проверить  мощность  какого множества больше множество натуральных чисел или множество целых чётных неотрицательных чисел . И оказалось ,что между числами этих множеств можно установить однозначное соответствие (следовательно мощности данных множеств равны)

10

2)  Сравнивая между собой множество натуральных чисел и множество степеней тройки , Георг Кантор снова смог установить однозначное соответствие между членами этих множеств . Тогда он подумал , что возможно все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. И тогда он начал сравнивать множество натуральных чисел и  множество точек на отрезке [0,1]

Долго мучаясь , Георг Кантор не смог установить однозначное соответствие между членами этих множеств .Но самое интересное , он обнаружил ,что множество точек на отрезке [0,1]  имеет большую мощность чем  множества всех натуральных чисел   ( На рисунке показано ,что существует точка ,которая будет отличаться от всех других точек ,между которыми можно установить однозначное соответствие ).

11

5 Арифметика бесконечного

Георг Кантор обозначил множество натуральных чисел   (алеф нуль) ,а множество большее по мощности множества натуральных чисел назвал "Континуум" и обозначил символом "С"  

5.1 Положения Арифметики бесконечности

1)  Любое количество натуральных чисел   +     =    

2)   + =

3)   +  С  =   С

4)  С + С = С

5)  *  =

6)  * С   =   С

7) С * С = С

12

6. Проблема континуума

Георг Кантор задался вопросом существует ли множество по мощности большее алеф нуль , но меньше континуума ?

Долгие годы этот вопрос был открыт . Но в 1963 году Американский математик Пол Джозеф Коэн* доказал ,что континуум-гипотеза недоказуема в системе аксиом теории множеств . ( то есть можно  считать ,что такое множество есть , или нету )

*Пол Джозеф Коэн— американский математик, профессор Стэндфордского университета. 

13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении своей исследовательской работы хотелось бы сказать ,что роль бесконечности в математике очень велика .  Она способна удивить  , ведь, работая только с конечными промежутками , мы никогда бы не задумались о том, что в множестве натуральных чисел и в множестве натуральных чётных неотрицательных чисел  одинаковое количество элементов  , ведь множество натуральных чётных неотрицательных чисел -  это часть множества натуральных чисел , и , по идее , оно должно иметь меньше элементов . Ясчитаю, что это удивительно.

Конечно же , понятие бесконечности как в математике , так и в других науках неоднозначно, и человечеству только предстоит  узнать всё о ней. До сих пор  не известно бесконечна ли галактика , вселенная и т.д.

Математике же придется  ещё доказать или опровергнуть существование актуальной бесконечности .

14

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1) Лекция Владимира Итенберга  по теме "Бесконечность"

                  2) Википедия

15