Исследовательская работа по теме "Бесконечность", выполнил ученик 10 класса
Вложение | Размер |
---|---|
oblogin_beskonechnost.docx | 230.08 КБ |
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средней общеобразовательной школы №42
Исследовательская работа
по теме
"Бесконечность и её роль в математике"
Облогин Данил Юрьевич
ученик 10"А" класса МОУ СОШ №42
Руководитель:
Бондарь Галина Владимировна
учитель математики
Комсомольск - на - Амуре
2017
СОДЕРЖАНИЕ
3 лист ......................................................................................... Вступление
4 лист ........................1 Раздел"История изучения , с чего всё началось"
5 лист .............. 2 Раздел"Актуальная и потенциальная бесконечность"
6 лист .................................................. 3 Раздел"Определения и свойства"
7 лист ........................ 4 Раздел"Математики изучавшие бесконечность"
12 лист ............................................ 5 Раздел"Арифметика бесконечного"
13 лист .................................................. 6 Раздел"Проблема континуума"
14 лист ...................................................................................... Заключение
15 лист .........................................................................Список источников
ВСТУПЛЕНИЕ
В данной исследовательской работе я задаюсь вопросом: какова роль бесконечности в математике,? И что такое " Бесконечность"
Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям , в зависимости от области применения , будь то математика , физика , философия, теология или повседневная жизнь
Бесконечность чужда нашему непосредственному опыту ,и в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого , в применении к сущностям без пространственных границ.
Также бесконечность неразрывно связана с обозначением бесконечно малого , к примеру ,ещё Аристотель сказал :
"...всегда возможно придумать большее число , потому что количество частей на которое можно разделить отрезок , не имеет предела . Поэтому бесконечность потенциальна , никогда не действительна ; какое бы число делений не задали , всегда потенциально можно поделить на большее."
3
1.История изучения , с чего всё началось.
Первые ,кто задался вопросом бесконечности , были греческие математики. Главным из которых был Аристотель . Вообще Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности , разделив её на потенциальную и актуальную (под актуальной подразумевая реальность существования бесконечных вещей) (подробней на листе 5) и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа , а также указав на пять источников представления о ней:
Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру , в теологии бесконечность бога не столько даёт количественное определение , сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.
После Аристотеля вопросом бесконечности задались немецкий математик Давид Гильберт ( подробнее на листе 9 ) и более подробно основатель, теории множеств немец, Георг Кантор ( подробней на листе 10 ).
4
2.Актуальная и потенциальная бесконечность
Как уже говорилось выше Аристотель разделил понятие бесконечность на потенциальную и актуальную .
Что же значат эти определения ?
Рассмотрим эти понятия на примере актуальной и потенциальной возможности
Потенциальная возможность - возможность которую можно исполнить .
Актуальная возможность - возможность которая произошла.
Теперь применим эти определения к бесконечности.
Потенциальная бесконечность – мы можем утверждать ,что существует следующее число в последовательности больше предыдущего
(Натуральные числа).
Актуальная бесконечность – если мы сможем назвать такое следующее число в последовательности больше предыдущего
(Натуральные числа)
Сейчас ведутся споры о существовании актуальной бесконечности , лично Аристотель считал ,что истина только потенциальная бесконечность.
5
3.Определения и свойства.
3.1 Определения
Определение бесконечности в словарях встречаются разные , вот некоторые из них.
3.2 Свойства бесконечности
6
4 Математики изучавшие бесконечность
4.1 Зенон Элейский и его парадоксы
Зенон Элейский (490-420 до н.э.) Греческий философ. О его жизни известно немногое, и о его трудах, включая его знаменитые парадоксы, мы знаем в основном из сочинений более поздних философов. Он был представителем Элейской школы, учеником Парменида (515–450 до н. э.), который утверждал, что истинная реальность должна быть вечной и неизменной, постижимой лишь разумом и логикой. Согласно легенде, элейский тиран Неарх пытал и казнил Зенона за участие в заговоре против правительства.
4.1.1 Парадокс движения
Для того чтобы Человек дошёл из точки А до точки B ему надо пройти середину этого пути ( С ) . В свою очередь ,чтобы пройти из А в С нужно пройти середину этого отрезка ( D ) . А чтобы пройти из А в D нужно пройти середину этого отрезка ( E ) и т.д. По данному парадоксу перемещение как такового не существует .Он доказывает ,что пространство(путь) бесконечно делимо
7
4.1.2 парадокс "Ахиллес и черепаха"
Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей , в противоположность черепахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой . Если они стартуют одновременно , то Ахиллес очевидно придёт к финишу первым .Все изменится , если дать черепахе небольшое преимущество , сколько бы мало оно ни было . В этих условиях Ахиллесу снова придётся пробежать расстояние , отделяющее его от черепахи. Однако за то время , пока он будет бежать , черепаха отойдёт ещё дальше , и Ахиллесу по-прежнему не сможет догнать её . Так как этот процесс повторяется бесконечно , он никогда не догонит черепаху.
8
4.2 Давид Гильберт , отель Гильберта.
Давид Гильберт ( 23 января 1862 - 14 февраля 1943 ) - немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числе теорию инвариантов и аксиоматику евклидовой геометрии. Он сформулировал теорию гильбертовых пространств, одну из основ современного функционального анализа
Давид Гильберт внёс весомый вклад создав "отель Гильберта" , на котором построена Арифметика бесконечности ( подробнее лист 12) .
Отель Гильберта - это отель с бесконечным количеством номеров ( в каждом номере живёт 1 постоялец ) .
Разберём задачу , нам нужно заселить в этот отель 1 жителя , но все номера заняты .
Решение : Нужно переселить каждого жителя в номер N + 1 ( где N старый номер )
Тоже самое можно сделать и со 100 новыми жителями или с бесконечным множеством жителей ( переселить N ↔ 2N ) и т.д.
9
4.2 Георг Кантор и теория множеств
Гео́рг Ка́нтор — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.
4.2.1 Теория множеств
Принцип
Сравнение между собой двух множеств по числу элементов с помощью установления взаимно однозначного соответствия между элементами этих множеств.
Свойство
Если можно установить однозначное соответствие между элементами множества ‘A’ и элементами множества ‘B’ то они имеют одинаковую мощность ( количество элементов ).
4.2.2 Задачи
1) Георг Кантор решил проверить мощность какого множества больше множество натуральных чисел или множество целых чётных неотрицательных чисел . И оказалось ,что между числами этих множеств можно установить однозначное соответствие (следовательно мощности данных множеств равны)
10
2) Сравнивая между собой множество натуральных чисел и множество степеней тройки , Георг Кантор снова смог установить однозначное соответствие между членами этих множеств . Тогда он подумал , что возможно все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. И тогда он начал сравнивать множество натуральных чисел и множество точек на отрезке [0,1]
Долго мучаясь , Георг Кантор не смог установить однозначное соответствие между членами этих множеств .Но самое интересное , он обнаружил ,что множество точек на отрезке [0,1] имеет большую мощность чем множества всех натуральных чисел ( На рисунке показано ,что существует точка ,которая будет отличаться от всех других точек ,между которыми можно установить однозначное соответствие ).
11
5 Арифметика бесконечного
Георг Кантор обозначил множество натуральных чисел (алеф нуль) ,а множество большее по мощности множества натуральных чисел назвал "Континуум" и обозначил символом "С"
5.1 Положения Арифметики бесконечности
1) Любое количество натуральных чисел + =
2) + =
3) + С = С
4) С + С = С
5) * =
6) * С = С
7) С * С = С
12
6. Проблема континуума
Георг Кантор задался вопросом существует ли множество по мощности большее алеф нуль , но меньше континуума ?
Долгие годы этот вопрос был открыт . Но в 1963 году Американский математик Пол Джозеф Коэн* доказал ,что континуум-гипотеза недоказуема в системе аксиом теории множеств . ( то есть можно считать ,что такое множество есть , или нету )
*Пол Джозеф Коэн— американский математик, профессор Стэндфордского университета.
13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении своей исследовательской работы хотелось бы сказать ,что роль бесконечности в математике очень велика . Она способна удивить , ведь, работая только с конечными промежутками , мы никогда бы не задумались о том, что в множестве натуральных чисел и в множестве натуральных чётных неотрицательных чисел одинаковое количество элементов , ведь множество натуральных чётных неотрицательных чисел - это часть множества натуральных чисел , и , по идее , оно должно иметь меньше элементов . Ясчитаю, что это удивительно.
Конечно же , понятие бесконечности как в математике , так и в других науках неоднозначно, и человечеству только предстоит узнать всё о ней. До сих пор не известно бесконечна ли галактика , вселенная и т.д.
Математике же придется ещё доказать или опровергнуть существование актуальной бесконечности .
14
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1) Лекция Владимира Итенберга по теме "Бесконечность"
2) Википедия
15
«Течет река Волга»
Как нарисовать китайскую розу
Пустой колос голову кверху носит
Повезло! Стихи о счастливой семье
Иван Васильевич меняет профессию