Серединный перпендикуляр

Слайд 1

Слайд 2

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему

Слайд 3

А В а Прямая а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Слайд 4

Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку

Слайд 5

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка А В а

Слайд 6

Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему А В а

Слайд 7

Доказательство теоремы Дано: прямая m – серединный перпендикуляр к отрезку AB ; точка «О» - середина АВ Док-ть: 1)АМ=ВМ 2) N лежит на прямой m А В О М m А В О N m 1) 2)

Слайд 8

Доказательство: 1) Если точка М совпадает с точкой О, то равенство АМ=ВМ верно, т.к. О – середина отрезка АВ. Пусть М и О – различные точки. П / у треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам (ОА=ОВ, ОМ – общий катет), поэтому АМ=ВМ, ч.т.д. А В О М m

Слайд 9

2) Если N – точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой m . Если же точка N не лежит на прямой АВ, то треугольник ANB р / б, т.к. AN=BN . Отрезок NO – медиана этого треугольника, а значит, и высота. Таким образом, NO перпендикулярен AB , поэтому прямые ON и m совпадают, т.е. N – точка прямой m . Теорема доказана А В О N m

Слайд 10

Следствие

Слайд 11

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

Слайд 12

Для доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. А В m n С О р

Слайд 13

В самом деле, если предположить противное, т.е. что m // n , то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой m , была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n , а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n , что невозможно.  А В m n С О р

Слайд 14

По доказанной теореме ОВ=ОА и ОВ=ОС. Поэтому ОА=ОС, т.е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m. n и p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. А В m n С О р

Слайд 15

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ 