Исследовательская работа "Совершенные числа"

ВВЕДЕНИЕ

Цель: исследование совершенных чисел.

Задачи: Выяснить, что такое совершенные числа;                                                                             Научиться находить совершенные числа;                                                          

 Познакомиться с историей открытия совершенных чисел;                                          

 Изучить свойства совершенных чисел.

Актуальность: До сих пор люди ищут и не могут пока найти ответы на многие вопросы, связанные с совершенными числами. И в наши дни  люди ищут эти числа.

Гипотеза:  совершенные числа — одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.

        Мой любимый школьный предмет – математика. Мне интересно решать задачи, я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах по этому предмету. Но когда мы изучали тему «наибольший общий делитель», мне показалось, что это скучноватое и однообразное занятие - работать все время по одному и тому же  алглритму. Но когда я сказала об этом нашему учителю матаматики, она ответила, что делители - это одно из самых интересных и даже загадочных понятий в математике, нужно лишь почитать кое-что за границами учебника. Я решила последовать ее совету и очень скоро убедилась в  том, что это действительно так. Я узнала очень много нового и интересного, открыла для себя загадочный мир совершенных чисел, решила много интересных задач. И эта тема перестала быть для меня скучной, так как за сухими цифрами и числами я увидела гармонию, красоту и совершенство. Так родилась моя исследовательская работа.

 ГЛАВА I.  ЧТО ТАКОЕ СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

        С древних времен люди, изучая  натуральные  числа, придавали некоторым из них особые, порой магические свойства. Кроме этого, античные математики  считали важным  вместе с каждым числом рассматривать все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными. При этом если сумма всех собственных делителей оказывалась  меньше числа, его назвали недостаточным, а если больше, то избыточным. Так, для  числа 10 сумма делителей 1 + 2 + 5 = 8 < 10, поэтому 10 – число  «недостаточное», для числа 12    1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12, значит, 12 – «избыточное» число. А у числа 6 сумма собственных делителей  равна самому  числу: 1 + 2 + 3 = 6. Такие числа древние ученые особенно ценили и назвали их совершенными. 

ГЛАВА II.  ПОИСК СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

        В поиске совершенных чисел я сначала  решила пойти по пути античных математиков и проверила первые 100 натуральных чисел. Вот что у меня получилось (рис.1):

                                                                                                                                  Рис.1

Из таблицы видно:

1.Больше всего среди них   недостаточных чисел.
2.Среди первых 100 чисел совершенными оказались только числа 6 и 28.

Очень долгое время  были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. И только спустя несколько столетий  Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде выражения 2 p–1 * (2 p – 1), где (2 p – 1)   –   простое число, является совершенным числом, – эта теорема теперь носит его имя.

         Попробуем,​ воспользовавшись этой формулой,  повторить путь первооткрывателей совершенных чисел (табл 1).

                                                                                                                                            Таблица.1

                ГЛАВА III.  ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

                Таким образом, я нашла еще 3 совершенных числа. Но я пользовалась калькулятором, поэтому сделала это достаточно быстро. А вот математикам древности было гораздо сложнее -  достаточно сказать, что пятое совершенное число 33550336 (р = 13)  было найдено спустя более тысячи лет после четвертого! Да и в последующие пять веков совершенные числа собирались буквально «по крупицам». Нахождение каждого из них было событием в мире математики. В чем же дело?

        Проблема оказалась в числах 2p– 1 (их называют числами Мерсенна). Вычислить любое из них совсем нетрудно, но выяснить, является ли оно простым – это выходило далеко за пределы человеческих сил. Так,  в 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) занимался поисками тринадцатого свершенного числа для p= 257. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, чтобы выяснить, является ли простым число  2257– 1, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.С этого времени, когда людям на помощь пришла счетная электронная машина и более современные компьютерные технологии, поиск совершенных чисел пошел гораздо быстрее. Но даже на сегодняшний день  известно всего лишь 49 простых чисел Мерсенна и соответствующих им совершенных чисел Самым большим известным совершенных числом является число 274207281 – 1 , найденное 7 января 2016 года  Кертисом Купером (англ). Оно содержит 22 338 618 цифр.

 Вот что я узнала об истории открытия некоторых из них (табл. 2):

                                                                                                                           Таблица. 2

ГЛАВА IV. СВОЙСТВА СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

                 Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал: Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны... Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

В чем же их красота? Может быть, в том, что они обладают рядом таинственных и вместе с тем замечательных свойств. Некоторые из них я проверила:

1. Все совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел:

28 = 13 + 33;

496 = 13 + 33 + 53 + 73;

8 128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

2. Все совершенные числа  являются треугольными (рис 2,3).          

6 = 1 + 2 + 3;

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7;

496 = 1 + 2 + 3 + …. + 30 + 31

Рис.2                                                  Рис.3

3. Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, равна 2.

+ + + = 2;

+ +  + + += 2;

4. Сумма всех цифр совершенного числа, кроме 6, равна 1:

28.                            2 + 8 = 10,   1 + 0 = 1;                                                                                    496.                          4 + 9 + 6 = 19,   1 + 9 = 10,   1 + 0 = 1;                                                             8128                         8 + 1 + 2 + 8 =  19,   1 + 9 = 10,   1 + 0 = 1;                                                   33550336                 3 + 3 + 5 + 5 + 0 + 3 + 3 + 6 = 28,   2 + 8 = 10,   1 + 0 = 1

ЗАКЛЮЧЕННИЕ

        Вот почти и все, что за 2 тысячелетия люди узнали об этих, на первый взгляд, обычных, но как оказалось действительно удивительных числах. Но даже столь немногое вызывает уважение. Не  зря им дано такое название — они его полностью оправдывают.

В выполнения данной работы я:

1. узнала, какие числа называются совершенными;
2. выяснила, какими свойствами обладают совершенные числа и проверила некоторые из них;
3. нашла 5 первых совершенных чисел;
4. познакомилась с историей открытия  совершенных чисел.                                                  Я убедилась в своем  предположении.   Совершенные числа — действительно одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.  До сегодняшнего дня остаются без ответа два важных вопроса: существует ли нечетное совершенное число и существует ли наибольшее четное совершенное число? До сих пор не найдено ни одного нечетного совершенного числа, но вместе с тем и не доказано, что такого числа не существует. И до сих пор люди занимаются поиском простых чисел Мерсенна  и  соответствующих им совершенных чисел.  В Интернете  в 1996 году запущен специальный проект распределённых вычислений GIMPS по поиску простых чисел Мерсенна, в котором может  принять участие любой желающий.

Список литературы

1.http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html

2.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE   

3.http://www.arbuz.uz/z_sov1.html

4.http://kvant.mccme.ru/1991/05/sovershennye_chisla.htm