Исследовательская работа «Прогрессии сквозь призму времени».

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...   3

 Глава 1. Путешествие в глубину  веков…………………………………………   5

1.1 Первые задачи, связанные с понятием «прогрессия»……………………

1.2  Первые  упоминания в книгах о прогрессиях……………………………

1.3 Прогрессии в древней России……………………………………………..

Глава 2. Прогрессии в учебниках………………………………………………...

2.1  Прогрессии в первом учебнике математики  России…………………….

2.2 Задачи на прогрессии в учебниках 20 века……………………………….

2.3  Задачи на прогрессии в занимательных книгах по математике…………

Глава 3. Прогрессии в литературе………………………………………………..

      3.1 Прогрессии в поэзии………………………………………………………

      3.2  Прогрессии в литературных сюжетах…………………………………..

Глава 4. Прогрессии  вокруг нас………………………………………………….

4.1 Размножение инфузорий…………………………………………………….

4.2   Размножение мух…………………………………………………………...                                           

4.3 Размножение тли…………………………………………………………….

4.4  Размножение  одуванчика………………………………………………….

4.5 Назначение лекарственных препаратов……………………………………

Глава 5. Прогрессии и наука………………………………………………………

Глава 6. Прогрессии и финансы…………………………………………………..

6.1 Знаменитое завещание Бенджамина Франклина………………………….

6.2 Идеальная математическая  модель………………………………………..

6.3   Прогрессии и финансовые пирамиды…………………………………….

Выводы….…………………………………………………………………………..

Информационные ресурсы …………………………………………………………

Введение.

Наука математика – является  частью общечеловеческой культуры, наука эта древняя  и возникла она из практических нужд человека.  В ходе развития и совершенствования науки в математике стали появляться абстрактные понятия. Меня заинтересовал вопрос: понятие «прогрессия» является абстрактным или возникло и развивалось в практической деятельности человека?

Тема моей исследовательской  работы  «Прогрессии  сквозь призму времени».

Цель исследования: Выяснение истории возникновения понятия «прогрессия», его развития и практического применения в  разные эпохи 

Задачи исследования:

1. выяснить:   

- когда и в связи с какими потребностями человека появилось  понятие «прогрессия»;  

- какие учёные внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний;

2) Установить факты широкого применения интенсивного размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности,  в медицине, в фармакологии,  в сельском и коммунальном хозяйствах.

3.Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

4. Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Гипотеза Если понятие «прогрессия» возникло и развивалось исторически из практической деятельности человека, то существуют документы, подтверждающие это, в противном случае - это понятие носит абстрактный характер

Этапы работы над проектом

Глава 1. Путешествие в глубину  веков

1.1 Первые задачи, связанные с понятием «прогрессия»

В ходе социологического опроса, я установил, что 10% опрошенных считают, что прогрессии впервые стали применяться в15 веке, 25% - в17, веке, 25% в 20 веке, 40%- считают, что очень давно.

Работая с литературой, я установил, что около ста лет назад англичанин Ринд производя раскопки в Египте, обнаружил папирус, который был составлен за 2000 лет до н. э., но и этот папирус был списан с другого, еще более древнего, относящегося к третьему тысячелетию до н. э. Ученые, которым доступен язык египетских иероглифов, расшифровали текст папируса и прочли несколько задач. Папирусе Ринда содержит  такие  задачи:

1)10 мер ячменя разделить между десятью лицами так, чтобы доли этих лиц составляли арифметическую прогрессию, разность которой равна одной восьмой меры ячменя.

2) Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосьев ячменя, каждый колос ячменя, если посеять его зерна, дает 7 мер ячменя. Найдите сумму общего числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер.

В исследованиях вавилонских клинописных текстов эпохи Хаммурапи (XVIII век до н.э.) говорят о том, что и в древнем Вавилоне решение некоторых вопросов хозяйственного и научного характера приводило к геометрической прогрессии.                                                                     Найдена глиняная дощечка с клинописным текстом, расшифрованным одним англичанином- ассириологом. Этот текст рассказывает о том, какая часть лунного диска освещается солнцем в каждые из 15 дней от новолуния до полнолуния. Увеличение освещенной части диска в течение пяти дней подчиняется закону геометрической прогрессии с знаменателем 2, а в последующие 10 дней- закону арифметической прогрессии с разностью 16.

Пифагор и его ученики (IVв. до н.э.) рассматривали последовательности, связанные с  геометрическими фигурами.

Итак, 40% опрошенных были правы, действительно давно стало применятся понятие «прогрессия».

1.2  Первые  упоминания в книгах о прогрессиях    

• Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи  доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…  Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге  абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи.

"Книга абака" представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами. Сообщаемый в этой книге материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого трактата.

•  Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была выведена в первой половине XVII века несколькими математиками (среди них был французский математик Пьер Ферма)

На связь между прогрессиями обратил внимание Архимед.

• На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед.
•  В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика», который составил такую таблицу:

В социологическом опросе был вопрос: Укажите фамилии учёных, которые занимались  исследованием понятия «прогрессии» ? 10% назвали Архимеда, 20% Пифагора, 10%  Евклида, 60% - затрудняюсь ответить.

1.3 Прогрессии в древней России

 Встречаются прогрессии  в «Русской  правде» 11 век. «Вычислить приплод от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца ежегодно приносит одну овцу и одного барана».

Встречаются прогрессии  в «Русских математических рукописях»  XV-XVII веках. Вот одна из задач, с прогрессиями. «Было 40 городов, а во всяком городе по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 копей, а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей, ино много ли порознь будет?»

Глава 2 Прогрессии в учебниках

2.1  Прогрессии в первом учебнике математики  России

Значительное количество задач на  прогрессии имеется в первом учебнике в России «Арифметика»- Л.Ф.Магницкого (1703 год), который в течение полувека был учебником по математике на Руси, его называл «вратами учёности» М.В.Ломоносов. Прогрессии в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого включены в пятую часть книги «О прогрессиях и радиксах квадратных и кубических». Вот некоторые их них.

1. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определите, сколько весят все чарки. (162 лата).
2. Садовник продал первому покупателю половину яблок и ещё пол-яблока, второму- половину  оставшихся яблок и ещё пол-яблока, третьему- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока и т.д., седьмому половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока. После этого у него яблок не осталось. Сколько яблок было у садовника? (127)

3. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по  семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

75=16 807 мер ячменя, сумма -  19607      

4. Некий  человек продавал коня за 156 рублей.  После торгов, покупатель согласился купить коня на следующих условиях: «В каждой подкове по 6 гвоздей. За первый гвоздь полушку, за второй 2 полушки, за  третий гвоздь – копейку, и тако все гвозди купи. А коня возьми себе бесплатно.»

4 178 703¾ копеек  – новая цена коня.

2.2 Задачи на прогрессии в учебниках 20 века

В  архиве своей бабушки я нашел «Сборник алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз, 1949), в котором  двадцать задач на арифметическую прогрессию. Вот некоторые из них.

1. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий         15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?
2. Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела  встретятся?
3. Числа   градусов,    содержащихся   в       последовательных  внутренних   углах  некоторого многоугольника, составляют прогрессию,  разность которой 10; наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоугольнике сторон?

2.3  Задачи на прогрессии в занимательных книгах по математике

Я.И.Перельман автор большого количества занимательных книг, в которых тоже есть задачи на прогрессии. Вот  одна  из них. Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь  происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

 «В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?». Эту задачу можно решить логически и, применяя понятие прогрессии.

Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже  4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

      9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);

      9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);

      9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);

     10.00                          3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

      Анализируя задачи, легко заметить, что они все имеют практическое содержание.

Глава 3. Прогрессии в литературе

3.1 Прогрессии в поэзии

В «Евгении Онегине» мы читаем «…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…».  Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. 

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

• Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;… 
• Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б. Л. Пастернак. «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7.

3.2  Прогрессии в литературных сюжетах

Различные истории, связанные с начислением простых и сложных процентов, встречаются в ряде художественных произведений, в исторических  документах и преданиях. Вот некоторые примеры.

• В романе М.Е. Салтыкова – Щедрина  «Господа Головлёвы» есть такой эпизод. «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывает цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у  него теперь денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями».
• В этом же романе сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты 3000 рублей и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитаем, сколько денег готов был вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия.

        Если вести расчёт по сложным процентам, то Петя вернул бы бабушке

5400 (рублей).

Если вести расчёт по простым процентам, то Петя вернул бы бабушке

4800 (рублей).

Однако, не веря внуку, бабушка денег не дала!

• В новелле О.Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых. Вычислим, какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока.

Итак, S0 = 150 000, р = 15%, n = 10. По формуле сложных процентов имеем: S=S0*(1+)n  получаем S =150 000* (1+0,15)10= 606 833,6 франка.

Глава 4. Прогрессии  вокруг нас

В социологическом опросе на  вопрос  «Применяется ли  понятие «прогрессия» в а) медицине; б) в природе; г) технике;     д) физике;     е) банковском деле?»,  учащиеся дали о положительные ответы а)3чел.; б)5 чел; в)4чел.; г)6 чел.; д)15 чел.

Я исследовал этот вопрос.

4.1Размножение инфузорий

Летом инфузории размножаются бесполым способом деления пополам

Вопрос: сколько будет инфузорий после 15 размножения?      b15=2214= 32 768

4.2   Размножение мух                                           

Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.

4.3 Размножение тли

Всего за 5 поколений, т.е за 1-1,5 летних месяца  одна единственная тля может оставить около 300 млн  потомков, а за год её потомство способно покрыть поверхность Земного шара слоем толщиной почти 1м.

4.4  Размножение  одуванчика

 «Потомство одного одуванчика за 10 лет может   покрыть  пространство  в  15  раз больше суши земного шара».                                               К. А. Тимирязев

Задача на размножение одуванчика. «Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр  и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика  через 10 лет при условии, если он размножается  беспрепятственно по геометрической прогрессии?        [1012 км2]

б) Хватит ли этим растениям на  11-й год места  на поверхности  суши земного шара?»         [нет,  Sсуши = 148 млн км2]           

4.3 Размножение бактерий

Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны и функции бактерий в нашей жизни. Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить 281  474  976  710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.

Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока.

Поэтому следует проветривать классную комнату на каждой перемене

4.4 Применение интенсивного  размножения организмов

Размножение организмов в геометрической прогрессии используют:

а)    в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных

продуктов, при квашении, солении и др.);

б) в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.);

в) в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)

г) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен.)

4.5 Назначение лекарственных препаратов

Некоторые лекарственные препараты назначаю принимать по схеме.

Задача. «Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Такая задача встречается в КИМах  тестов ГИА.

Глава 5. Прогрессии и наука

Хочется привести несколько примеров применения прогрессий, которые должен знать каждый образованный человек.

5.1 Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.

2.  При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.
3.  Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
4.   Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности, в которой мы встречаемся с понятием «сложные проценты». Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.  
5.  Прогрессии на производстве

Директоры двух заводов А и В встретились на совещании. Из их беседы выяснилось, что оба завода выпустили за последний год одинаковые количества продукции, а именно по 1000 т металлических изделий. На совещание было решено добиваться дальнейшего роста продукции, причём был намечен ежегодный прирост на 40%.

Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после совещания его завод выпустил на 40% больше, в каждый последующий - на 40% больше, чем в первый.

 Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он выпустил на 40% больше, в каждый последующий - на 40% больше, чем в предыдущий. Результаты представлены на графике.  

Глава 6. Прогрессии и финансы

6.1 Знаменитое завещание Бенджамина Франклина. 

«Препоручаю 5000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручит её отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заём молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131 000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, а остальные 31 000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастёт до 4 061 000 фунтов, из коих 1 061 000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3 000 000 – правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов».

Мы видим, что, завещав всего 1 000 фунтов, Б.Франклин распоряжается миллионами.  Я проверил, не ошибся ли он в своих расчётах.

Процентная ставка равна р =5% годовых. Через 100 лет первоначально сумма S0= 1000 фунтов превратится в ≈ 131 501,06 фунтов. К концу второго столетия эта сумма превратилась в S2 = 31 501,6*(1,05)100 =4 142 422,7 фунтов, т.е.  расчёты показывают, что Б.Франклин действительно мог распоряжаться миллионами.

Через 200 лет, в 1991 году, Любимые города Бостон и Филадельфия получили примерно по $20 000 000. Франклин очень наглядно показал, что могут принести сложные проценты. Выгода сложных процентов в том, что “деньги, которые сделаны деньгами, делают деньги”.

6.2 Идеальная математическая  модель

Предположим, что Вы хотите оставить хорошее состояние своему праправнуку. В 2020 году  положите на депозит 1 рубль под 5% годовых. Вычислим,  в какую  сумму превратится этот вклад  через 2 000 лет.

По формуле сложных процентов при S0 = 1 р, n = 2 000 лет, р = 5% , имеем S = 1*(1+0,05)2000 =(1,05)2000 р.

Оценим это число. Известно, что 210 = =1024, 220 = 1 048 576, 222 = 4 194 304, 240 =1 099 511 627 776. Интересующая нас сумма 2142 = 240*240*240*222 = (1 099 511 627 776)3*4 194 304 рублей!

    Эта сумма превосходит все    денежные запасы мира!

По поводу решения этой задачи: нами рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Однако суть явления – рост величины вклада до колоссальных размеров при возрастании срока его хранения – эта модель показывает очень хорошо. 

        Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мир, рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Однако суть явления – рост величины вклада до колоссальных размеров при возрастании срока его хранения – эта модель показывает очень хорошо.  

Этот рост используется мошенниками.

6.3   Прогрессии и финансовые пирамиды

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам  по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. 

Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом –  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

Я хочу заметить, что в  2014 году россияне потеряли 2млр рублей, участвуя в таких мошеннических схемах, была  прекращена деятельность 250 пирамид, думаю. Буклет «Финансовые пирамиды»  будет полезен всем.

Глава7.  Легенды о прогрессии

7.1 Прогрессии о грустном

Абрамам де Муавр - английский математик   французского происхождения. Член  Лондонского королевского общества, Парижской и Берлинской академий наук

  Абрахам де Муавр обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов. Это — 27 ноября 1754 года. В это день он и умер. Вероятно, это легенда, но уж очень она грустная. Более интересна другая  легенда.

6.6 Легенда о шахматной доске

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение стольмудрой игры.         Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна,на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком

“ничтожной” для выполнения этой просьбы.

S64=264-1= 18 446 744 073 704 551 615 .Всего зерен 18 квинтиллионов

446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709 миллионов

551 тысяча 615.

Эти легенды отражают тот факт, что свойства прогрессий были интересны людям на протяжении всей истории.

Выводы

• Понятие «прогрессия» возникло и исторически развивалось из практической деятельности человека, это подтверждают  задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности.  «Математика как наука возникла и развивалась
• Прогрессии известны так давно, что нельзя точно определить, кто их открыл. В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, немецкие математики  М. Штифель, Н. Шюке  и  К. Гаусс.
• Много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых  учебниках по математике, в занимательных книгах по математике.
• Высказывние  «Математика не только царица, но и служанка  всех наук» Интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).
• Математика – это язык, на котором говорят все точные науки»

Информационные ресурсы

• Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович.  М.:Мнемозина, 2014г.;
• Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2015г ;
• Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2015г.;
• Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2015г.;
• Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990г.
• Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989г.
• http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm 
• http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op 
• http://festival.1september.ru/articles/568100/