Исследовательская работа "Логарифмы в музыке"

Слайд 1

Презентация по дисциплине: «Математика» на тему: «Логарифмы в музыке» Выполнила ученица 10 «А» класса: Журавлева Анна Руководитель: Кусей Л.А. Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1 имени Героя Советского Союза Петра Владимировича Масленникова ст.Архонская»

Слайд 2

Цели: «…Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть, Набор передовых логарифмов?» ( Э. Брил, «Ода экспоненте » ) Расширить представление о логарифмической функции, применение ее свойств в нестандартных ситуациях; Развить интерес к истории математики и ее практическим приложениям.

Слайд 3

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию», - встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы. Связь логарифмов с музыкой

Слайд 4

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Джон Непер (1550—1617) Йост Бюрги (1552—1632)

Слайд 5

Термин « логарифм» ( logarithmus ) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – «отношение» и ariqmo – «число» , которое означало «число отношений» . Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales - «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts – «числам естественным». log

Слайд 6

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».

Слайд 7

Пифагор был не только великим математиком, но и хорошим музыкантом. Он установил, что приятные сочетания звуков соответствуют определённым соотношениям между длинами колеблющихся струн или расстояниями между дырочками свирели, и создал первую математическую теорию музыки.

Слайд 8

И хотя музыканты не любят «проверять алгеброй гармонию», они всё время имеют дело с математикой, так как современная гамма основана на логарифмах. Вот отрывок из статьи известного русского физика А.А. Эйхенвальда : «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Правда, Пифагор нашёл какие-то соотношения между звуковыми колебаниями - но ведь как раз пифагорова - то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой. Представьте же себе, как неприятно был поражён мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам современного рояля, он играет собственно говоря, на логарифмах».

Слайд 9

Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. В новом 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов . Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке Восторжествовала темперация (от лат. соразмерность). Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 1 /12 , которые соответствуют полутонам. С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них : Октава Септима Секста Квинта Кварта Терция Секунда

Слайд 10

Положим, что ноте “до” самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте “до” первой октавы будут соответствовать 2 п колебаний в сек., а ноте “до” третьей октавы - 2 m · п колебаний в сек. И так далее. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой N mn = n · 2 ( 12 v2) p Логарифмируя эту формулу получаем: lg N mp = lg n + m lg2 + p ( lg2 )/12, lg N mp = lg n + ( m + p /12) lg2 Принимая частоту самого низкого “до” за единицу ( n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2, имеем log 2 N mp = Севастьян Бах Прелюдия Фуга “до – минор”.

Слайд 11

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства». Г. Нейгауз, пианист