Применение формулы расстояния от точки до прямой при решении задач с параметрами

Министерство образования и науки Республики Бурятии

Закаменское районное управление образования

МАОУ «Закаменская СОШ №1»

Республиканская научно-практическая конференция

«Шаг в будущее»

Секция «Алгебра»

Применение формулы расстояния

от точки до прямой при решении задач с параметрами

/ Научно-исследовательская работа /

Выполнила: Дарима Будаева, ученица 10 класса

        Руководитель: Зомонова Л.Г., учитель математики

2016

Рецензия

на исследовательскую  работу  «Применение формулы расстояния от точки до прямой при решении задач с параметами», выполненную  

ученицей 10 класса МАОУ «Закаменская СОШ №1»

Будаевой Даримой

 В данной работе ученица изучила один из графических методов решения задач с параметрами через формулу расстояния от точки до прямой и показала преимущество этого метода.

 Поставленная цель в целом достигнута: проделана большая работа по изучению соответствующей литературы, по подбору задач, которые можно решить этим методом.  Автор в своей работе обосновала и показала достоинство предложенного метода в его наглядности и простоте. Актуальность данной темы не вызывает сомнений, поскольку традиционно решение заданий с параметрами являются для учащихся всегда одним из трудных материалов алгебры и начала анализа. Ведь алгебраические методы оказываются для них громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат, что не допустимо в условиях сдачи экзаменов в форме ЕГЭ, когда время ограничено. Данный  способ, безусловно, экономит время.

Проделанная работа имеет практическую ценность в плане приобретения умений   нестандартно подходить к решению любой задачи.

В процессе выполнения работы ученица  проявила самостоятельность, использовала поисковый метод. Изучила справочную и учебную литературу, провела самостоятельное исследование.

Кроме того, в ходе освоения метода решения задач с параметрами формируются исследовательские навыки, развиваются представления о роли вычислений в человеческой практике, развивается вычислительная культура.

Рассмотренные в работе задачи, могут послужить материалом для использования на уроках и подготовки к выпускным экзаменам.

                 Руководитель: ___________   (Зомонова Л.Г., учитель математики)

Введение

Наряду с различными заданиями по курсу алгебры и началам анализа, а также геометрии контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена содержат задачи с параметрами. Задача с параметрами часто оказывается для многих самой трудной задачей, поскольку приемы и способы решения таких задач в школьной программе практически не рассматриваются. Умения решать задачи подобного типа  требует наличия определенной математической культуры.

Поэтому я поставила  перед собой задачу изучить данную тему, попробовать  научиться  решать такие задания. Решению задач с параметрами посвящено большое количество учебно-методической литературы и имеется множество способов решения. В данной работе  приводится лишь один из способов решения таких задач. Это -  применение формулы расстояния от точки до прямой. Данный метод, используемый для решения заданий с параметрами, в некоторых случаях является довольно  рациональным, значительно упрощает решение и  ведет к более быстрому получению ответа

    Актуальность темы:

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе алгебры методов решения задач.
2. Приобретенный опыт решения задач с параметрами будет способствовать развитию уровня логической культуры.
3. Изучение данной темы помогает более глубоко и качественно подготовиться к  ЕГЭ по математике

 Цель работы:

Рассмотреть различные задачи с параметрами  и  изучить  метод их решения через формулу расстояния от точки до прямой.

Задачи:

• подбор и изучение соответствующей литературы;
• изучить метод применения формулы расстояния от точки до прямой при решении задач с параметрами  и показать преимущество этого способа;

Объект исследования  -  задачи с параметрами, предлагаемые на ЕГЭ

Предмет исследования – метод решения задач с параметрами.

Методы исследования:  

• изучение справочной и учебной литературы;
• анализ полученной информации.

1. Что такое параметр?

Параметр – математическая величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. Переменные  a, b, c, …., k, которые при решении заданий считаются постоянными, называются параметами, а сами задания называются заданиями, содержащими параметры.

Первое, что нужно сделать с уравнением с параметрами – это привести его к более простому виду. Решая такие задания нужно обращаться к его текстовой части с целью выполнения сформулированного там условия. Проще говоря, решить задачу с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они?

Можно выделить следующие задачи с параметрами.

1. Уравнения (неравенства), которые надо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
2. Уравнения (неравенства), для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значений параметра.
3. Уравнения (неравенства), для которых требуется найти все значения параметра, пр которых указанные уравнения или их системы имеют заданное число решений.
4. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

2. Формула расстояния от точки до прямой

При решении некоторых задач уровня С Единого государственного экзамена можно пользоваться формулой для нахождения расстояния от точки до прямой.

Расстояние от точки А до прямой

есть длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. Она определяется по формуле

Докажем это утверждение. Прежде всего покажем, что вектор перпендикулярен прямой . Пусть В и С -  точки, принадлежащие этой прямой. Тогда

Поскольку

то вектор перпендикулярен прямой

Пусть AH – перпендикуляр к данной прямой и его основание – точка H – имеет координаты  (рис. 1).

                                    Рис. 1

Тогда . Этот вектор коллинеарен вектору , значит,

откуда . Точка Н  принадлежит прямой. Имеем:

Искомое расстояние

Итак, расстояние от точки А до прямой

3. Применение формулы расстояния от точки до прямой

при решении задач с параметром

При решении задач в данной работе необходимо помнить уравнение прямой и окружности.

Уравнение прямой.

Покажем применение это формулы к решению некоторых задач С5 ЕГЭ.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Решение. Если , то первое уравнение системы на координатной плоскости задает окружность  радиуса   с центром в точке  

Если , то первое уравнение системы задаёт окружность  радиуса  с центром в точке

Второе уравнение системы , или  – уравнение прямой.

Система будет иметь единственное решение, если прямая является касательной к окружности, то есть когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (рис. 2).

Заметим, что  не является решением системы, при этом  для любых значений а.

                                      Рис. 2

Пусть . Расстояние от центра  окружности до прямой  равно 2. Применяя формулу (1), получим:

Имеем:

Откудаили  .

Очевидно, что  не удовлетворяет условию. Значит, .

Убедимся в том, что система

имеет единственное решение.

Пусть . Расстояние от центра  окружности  до прямой  равно 2. Применяя формулу (1), получим:

откуда  или

Поскольку  не удовлетворяет условию, то  . Аналогично предыдущему случаю убеждаемся, что система

имеет единственное решение .

Ответ.

Пример 2. При каких значениях параметра а система уравнений

имеет ровно три решения?

Решение.

Уравнение

на координатной плоскости задаёт окружность радиуса  с центром
 – угол с вершиной  стороны угла: I, II.

Рассмотрим три случая.

Случай 1. Система имеет три решения, если расстояние от центра окружности до стороны I угла, лежащей на прямой  равно радиусу окружности, а расстояние от центра окружности до стороны II угла, лежащей на прямой , меньше радиуса окружности (рис. 3).

                         Рис. 3

Воспользовавшись формулой (1), получим систему:

Имеем:

откуда

Случай 2. Система имеет три решения, если расстояние от центра окружности до стороны I угла, лежащей на прямой , меньше , а расстояние от центра окружности до стороны II угла, лежащей на прямой  равно  (рис. 4).

                              Рис. 4

Воспользовавшись формулой (1), получим систему:

Имеем:

откуда

Случай 3. Точка  принадлежит окружности, а расстояния от центра окружности до сторон I и II, принадлежащих прямым

соответственно, меньше  (рис. 5).

                        Рис. 5

Имеем: откуда . Полученное значение  удовлетворяет ранее полученным неравенствам

Ответ.

Литература

1. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. – М. : Национальное образование, 2011. – 92 с. – (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).
2. Диагностические работы по математике: http://mathege.ru/or/ege/Main.