«Решение алгебраических текстовых задач на движение методом подобия»

«Решение алгебраических текстовых задач на движение

методом подобия»

Введение.

Математика проникает почти во все области деятельности человека. Тесную связь геометрии и алгебры нельзя игнорировать. Французский математик София Жермен писала: «Алгебра-не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия-это просто алгебра, воплощенная в фигурах». Решение задач -это сердцевина, смысл и внутренняя пружина самой математики. В данной работе рассматривается решение некоторых алгебраических задач методами, основанными на наглядной геометрической интерпретации, то есть с привлечением знаний геометрии, а именно подобия треугольников. Понятие подобия, является одним из важных понятий геометрии. Оно имеет большое образовательное и практическое значение. Подобие используется при определении расстояний до недоступных предметов, в устройствах различных измерительных инструментов и приборов. Проблема: где же еще можно применить эти важные моменты? Объект исследования-алгебраические задачи на движение. Предмет исследования- применение метода подобия при решении задач на движение. В основу работы была положена следующая гипотеза: если применить метод подобия при решении задач на движение, то можно в разы сократить время на их решение.

Цель: рассмотреть метод подобия в решении задач на движение.

Задачи: 

• Изучить и проанализировать естественнонаучную литературу, информацию в сети Интернет, которая описывает метод подобия при решении текстовых задач;
• Рассмотреть решение задачи на движение различными способами;
• Показать преимущество геометрического метода;
• Подобрать задачи на движение и составить сборник

Методы исследования:

•  Поиск, анализ и синтез различных источников информации: статей, книг, Интернет-ресурсов;
• решение алгебраических задач геометрическим способом, а также обобщение их в сборник;

 Актуальность темы состоит в необходимости интеграции алгебры и геометрии, а также в применении знаний геометрии в жизни. Новизна данной работы заключается в подборе, составлении и решении задач по теме исследования, а теоретическая и практическая значимость работы состоит в использовании на факультативах, а также для подготовки к олимпиадам и экзаменам, ведь при решении заданий во время тестирования, безусловно, имеет значение не только его правильность, но и быстрота решения.

Глава 1. Теоретические моменты.

1. Различные способы решения текстовых задач. 

В современной математике существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический.  Можно решить задачу схематическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем, графическим способом – т.е. решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Дадим краткую характеристику некоторых методов решения текстовых задач, которые наиболее часто встречаются в школьном курсе математики.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Алгебраический метод. В науке данный метод трактуется как метод буквенных вычислений. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для её решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Геометрический метод. Он состоит в том, что логическое доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением, иногда доказательство или решение видно из наглядной картины.

 Геометрическое представление (геометрическая модель) условия текстовой задачи возникают на основе геометрических знаний и геометрической интуиции. Построение и использование геометрических моделей в процессе решения текстовых алгебраических задач основаны на законах геометрии. Отсюда и название «геометрический метод».

Будем понимать геометрический метод, как метод, состоящий из двух приемов: конструктивного и конструктивно- аналитического .

Конструктивный прием предполагает выполнение всех построений чертежными инструментами на миллиметровой бумаге в клетку с использованием масштаба. Ответ задачи получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей, и находится он путем измерений длин отрезков или других элементов чертежа.

Конструктивно-аналитический прием позволяет выполнить чертеж схематически, от руки. Решение задачи в этом случае осуществляется аналитически: либо арифметическим путем с использование чертежа, либо путем составления уравнения, которое основывается на точных геометрических соотношениях (равенства, подобия, равновеликости и др.).

Таким образом, для решения алгебраической задачи геометрическим методом необходимо:

1. построить геометрическую модель задачи: решающую или вспомогательную (геометрическая модель задачи называется решающей, если она позволяет получить ответ задачи без аналитических выкладок, в противном случае – вспомогательной).
2. найти ответ задачи: если модель решающая, то ответ «снимаем» с чертежа, в случае вспомогательной геометрической модели надо:

      а) составить числовое выражение или уравнение (систему уравнений), неравенство (систему неравенств), используя геометрические соотношения полученных фигур;

     б) найти значение числового выражения или уравнения, неравенства (системы уравнений или неравенств);

     в) исследовать полученные решения: выяснить, удовлетворяют ли корни уравнения (системы уравнений), решения неравенства (системы неравенств) условию и требованию задачи, исчерпывают ли они все решения задачи и т.д.^[1]

2. Основы метода подобия                                                                

         Рассмотреть или вспомнить вопросы подобия треугольников, признаки подобия треугольников без труда можно в учебниках для общеобразовательных школ.

«Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника соответственно равны сторонам другого».

Первый признак: «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Второй признак: «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны».

Третий признак: «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны».

В рассматривается большое количество задач на построение, на доказательство, на вычисление отношений и на решение.^[2]

В (приложении 1) приведены некоторые задачи на подобие треугольников. 

3. Задачи на движение.

Системы уравнений, которые составляются на основании условий задач на движение, как правило, содержат такие величины, как скорости движущихся объектов, расстояние, время, ускорение, а также скорость течения воды (движение по реке).

Решая подобные задачи для различных типов движения нам необходимо определить некоторые особенности.

Для равномерного движения по прямой будут характерны следующие особенности:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь  определяется по формуле , где  - скорость,  - время.
2. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е. происходят без затрат времени. При этом скорость (если задана в условии) также меняется мгновенно.
3. Скорость считается всегда величиной положительной.
4. При движении объекта по течению реки, скорость течения которой равна , а собственная скорость объекта в стоячей воде равна , скорость объекта относительно берега будет равна . При движении объекта против течения реки, его скорость относительно берега будет равна , при этом должно выполняться неравенство .
5. Когда в условии задачи говорится о движении плотов, то можно считать, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки.

        Исследовав типы задач для различных типов движения можно разделить их на две группы –

•  задачи на движение в одном направлении, 

        В задачах на движение в одном направлении за неизвестную величину x чаще всего, наиболее рационально принимать наименьшую из величин или то, что необходимо найти. При этом не стоит забывать о том, что нам необходимо указать дополнительное условие, т. е. например, если это скорость, то она не может быть отрицательной или равной нулю. При решении задач с большим количеством информации целесообразно использовать таблицы:

        После отбора информации из условия задачи и представления её в виде таблицы, составляем систему уравнений или неравенств, т. е. составляем два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравниваем их.

        После нахождения неизвестных или нужной комбинации неизвестных, отбираем решения, подходящие по смыслу задачи.

        Делаем вывод и записываем ответ на вопрос задачи.

•  задачи на встречное движение и движение туда и обратно

        Обычно часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг к другу. Пусть расстояние между точками A и B равно s. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v1 и v2. Пусть C - точка встречи

 В случае движения навстречу друг другу имеет: AC=v1 t, BC=v2 t, где t - время, которое они двигались. Сложим эти два равенства: AC+BC=(v1+v2 )t.Так как AC+BC=AB=s, то время, через которое они встретятся, равно:  t=S/(v1+v2 ). Если же, например, первое тело начало движение на t1 раньше, чем второе, то AC=v1 (t+t1 ) и t=(s-v1 t1)/(v1+v2 ), где s1=v1 t - расстояние, пройденное первым телом до начала движения второго.(приложение 2)^[3]

      Глава 2. Практическая часть

1. Решение одной задачи разными способами. 

Расстояние между городами А и В равно 900 км. Два поезда одновременно отправляются, один из А в В, другой из В в А. Они встречаются   в пункте С. Первый прибывает в город В через 4 часа после встречи со вторым, а второй прибывает в А через 16 часов после встречи с первым поездом. Определите расстояние АС.

РЕШЕНИЕ1:

А______900км.________В. Пусть х км. расстояние АС, время до встречи-t ч.

А_________С__________В

1 поезд: все время t+4; Cкорость V=; расстояние АС=×t

2 поезд: все время t+16; скорость V=; расстояние АС=×16.

Расстояние АС одно и то же, значит

×t=×16.

900t(t+16) = (t+4)×900×16

 t(t+16) = (t+4)16

t2+16t = 16t+64

t2=64

t=8 и t=-8, так как время величина положительная, то время до встречи равно 8 ч.

AC=

Ответ: 600 км.                                                                                                                                   

  РЕШЕНИЕ 2: Построим графики зависимости движения поездов.

AE- график движения 1-го поезда; BF- график движения 2-го поезда; С-точка встречи поездов.

Рассмотрим треугольники CDE и CNA, у них углы DCE и NCA равны как вертикальные; DEC  и CAN накрест лежащие при параллельных прямых и секущей, значит треугольники подобны по двум углам.

 (1)

Треугольник CDB подобен треугольнику CNF так же по двум углам.

 (2)

Из (1) и (2) следует, ;

; t2=4×16; t=2×4=8, также t=-8 не удовлетворяет условию задачи, т.к. время выражается положительным числом.

Рассмотрим треугольники ABFи NCF, у них угол  F –общий и треугольники прямоугольные. Треугольники подобны, значит ;

 Ответ: расстояние АС=600 км.

2. Решение задач с применением метода подобия  

Задача 2: Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 20 км, выехал велосипедист, а через 15 мин вслед за ним со скоростью 15 км/ч отправился другой велосипедист, который догнав первого, повернул назад и возвратился в А за 45 мин до прибытия первого велосипедиста в В. Найдите скорость первого велосипедиста. РЕШЕНИЕ (приложение 3).

             Глава 3. Итоги социального опроса.

Исследуя данную тему меня заинтересовало, а как обстоят дела с решением задачи на движение у моих одноклассников, у старшеклассников, выпускников? Пользуются ли они какими-то методами решения задач кроме изучаемого алгебраического метода? Предложила ответить на следующие вопросы;

1. Нравиться ли вам решать алгебраические текстовые задачи на движение?
2. Испытываете ли вы затруднения при решении задач?
3. Слышали ли когда-нибудь о методе подобия при решении задач?

Опрос проводился среди 25 учащихся. Результаты представлены в (приложении 4)

В результате анкетирования выявлено, что малой части опрошенных нравиться решать задачи, проблема с решением задач на движение возникает практически у всех. Метод подобия не знаком никому.

Заключение

Данная работа на тему «Решение алгебраических текстовых задач на движение методом подобия» посвящена исследованию возможности решения задач методом подобия и преимущества геометрического решения в его наглядности, так как чертёж помогает глубже понять условия задачи.

Целью исследования было рассмотреть метод подобия в решении задач на движение. В основу работы была положена следующая гипотеза: если применить метод подобия при решении задач на движение, то можно в разы сократить время на их решение. В ходе исследования необходимо было выяснить, действительно ли метод подобия применим к решению текстовых алгебраических задач на движение, и что его наглядность очевидна. Были рассмотрены несколько задач, для которых подобрано решение и алгебраическим и геометрическим методами. Сравнили эти решения и попробовали применить данные способы для решения подобных задач. Применение геометрических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач. Считаю, что гипотеза подтвердилась.

 Разобранные задачи, знакомство с широким спектром применения метода подобия актуально сегодня, и думаю не потеряет актуальности в будущем. 

Я. И. Перельман в своей работе «Занимательная алгебра»  заметил: «Истинное знание математика состоит в умении так распоряжаться математическими средствами, чтобы избирать всегда самый прямой и надежный путь, не считаясь с тем, относится метод решения к арифметике, алгебре или геометрии». В ходе исследования было подобрано, и решено большое количество алгебраических задач геометрическими способами. Большинство из них приведены к общему случаю. Рассматривая и анализируя различные источники информации, мы пришли к выводу, что алгебраические задачи, которые можно решать при помощи геометрических интерпретаций, очень часто встречаются, как на ЕГЭ, так и на вступительных экзаменах в ВУЗы, на олимпиадах по математике и в школьных учебниках. Мы убедились, что геометрия делает решение задачи наглядным, более простым, а, следовательно, интересным. Таким образом, цель работы достигнута. Видны перспективы дальнейшего исследования в данной области.  Было бы интересно выяснить, применение этого метода, например, при решении задач на работу,  смеси, сплавы.

Литература.

1. Альтшулер Л. Графики в текстовых задачах. Журнал «Квант», рубрика «Практикум абитуриента».
2. Атанасян Л.С.  Геометрия 7 – 9. Учебник для 7 – 9 классов средней школы. М., «Просвещение», 2011.
3. Генкин Г. З. Геометрические решения алгебраических задач// Математика в школе. -2001. - №7. – с.61-66.
4. Ерина Т.М., Алгебра. Текстовые задачи. М.АСТ АСТРЕЛЬ, 2004.  
5. Изимов Д. В. Геометрические и графические методы решение текстовых задач // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2015. – Т. 25. – С. 201–205.
6. Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008
7. Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов при решении алгебраических задач.
8. Филимонов В.А. , Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992
9. А.В. Шевкин. Текстовые задачи в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2011г.

Журнал «Математика» №7-8 2014г.

http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

Социальная сеть работников образования nsportal.ru [Электронный ресурс]. – http://nsportal.ru/npo-spo/obrazovanie-i-pedagogika/library/vkr-reshenie-tekstovyh-zadach-algebraicheskim-metodom