Метод линейного сплайна

Международная конференция

«Образование. Наука. Профессия»

Секция: математика

Тема исследовательской работы:

«Рисуем с помощью графиков. Метод линейного сплайна»

Толстова Елена Сергеевна

 ученица 8 «Б» класса

ГБОУ СОШ № 8 им. С.П.Алексеева

Руководитель: Гриднева Анна Владимировна

учитель математики ГБОУ СОШ № 8 им. С.П.Алексеева

г. о. Отрадный

2017

Оглавление:

1. Введение;
2. Актуальность;
3. Мои цель и задачи;
4. Мои исследования:

4.1. построение графиков, содержащих модуль

4.2  построение графиков кусочно-заданных функций

4.3  построение линейного сплайна

     5. Мои творческие работы

     5. Заключение

     6. Список используемой литературы.

Введение.

   В курсе алгебры 7 класса я познакомилась с линейной функцией и ее графиком. На уроках алгебры  в одной координатной плоскости мы находили точки пересечения графиков функций, строили графики функций, содержащие модули, изображали множества точек, задаваемых неравенствами ( системами ).

   Порой при построении нескольких графиков различных функций и уравнений на одной координатной плоскости невольно «рисовались» интересные фигуры, орнаменты. Меня это очень заинтересовало.

   Я подумала, а не поставить ли мне перед собой обратную задачу: сначала нарисовать на координатной плоскости, а затем используемые линии и части плоскости закодировать на математическом языке с помощью формул функций.

   Признаюсь, что было непросто справиться с поставленной задачей, какие - то линии сразу удавалось записать языком формул, другие приходилось перерисовывать в соответствии с известными формулами, а некоторые графики соответствовали уравнениям только после преобразования последних. В процессе работы мне приходилось самостоятельно подбирать области определения функций и их графиков.

   Я - творческий человек, мне нравится что- то придумывать, создавать. Своей работой я хочу показать, что алгебра – это не только сложно, но и интересно. И с помощью графиков функций можно рисовать красивые рисунки.

Какую цель я преследую: освоить  метод линейного сплайна для построения функций, содержащих модуль.

Мои задачи:

1.  Изучить метод геометрических преобразований на примере графиков линейных функций.

2. Научиться строить графики, содержащие модуль.

3. Научиться строить графики линейного сплайна.

4. Применять изученные методы для «рисования» с помощью графиков

Построение графиков, содержащих модуль

   Графиком  называется множество точек координатной плоскости. У которых значения х и у связаны некоторой зависимостью и каждому значению х соответствует единственное значение у.

   Графический способ – один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации. Если известен график некоторой функции , то с помощью простейших преобразований (осевой и центральной симметрии) можно строить графики более сложных функций.

   Как построить график функции  и график функции , если известен график функции ?

   Чтобы ответить на этот вопрос, надо вспомнить определение модуля.

  Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки  а . Модуль  числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, для отрицательного числа – противоположному числу. Поэтому, рассматривая функцию , логично предположить, что если  , то значение должно быть заменено противоположным. Значит, можно получить следующий алгоритм.

 Правило 1.  График функции  получается из графика функции  следующим образом: часть графика , лежащая над осью Ох , сохраняется; часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

Пример.  Построю график функции .

1. Строю график функции  ( рис.1)

2. Часть графика, лежащую над осью Ох сохраняю.

3. Часть графика ( она выделена пунктиром), лежащую под осью Ох, отображаю симметрично относительно оси Ох. (рис.2)

4. Получаю график функции (рис. 3)

   Если рассматривается функция . То для отрицательных значений х значения у будут такими же. Как для положительных. им соответствующих.

Правило 2.  График функции  получается из графика функции  следующим образом: при график  сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Оу.

Пример 2.  Построю график функции .

1. Строю график функции . (рис.4)

2. Часть графика при  ( она выделена пунктиром) сохраняю. (рис.5)

3. Эту же часть отображаю симметрично относительно оси Оу. ( рис. 6)

Построение графиков кусочно-заданных функций

   Одно из основных  назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе. Но издавна ученые-естествоиспытатели выделяли два типа протекания этих процессов : постепенное (непрерывное) и скачкообразное. Так, при падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно. Становясь равной нулю или меняя напрваление при отскоке тела от земли ( например, если тело – мяч).

   Но раз есть разрывные процессы, то есть и способы их описания. Рассмотрим один из способов таких разрывов.

   Пусть функция  при  задается формулой , а при  - формулой , причем будем считать, что каждая из этих функций  и определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если , то функция  при  имеет скачок, если же , то «комбинированная» функция  разрывов не имеет.

   Если обе функции  и  - элементарные, то функция  называется кусочно-элементарной. Кусочно-элементарная функция может быть задана более чем двумя формулами.

   Вернемся к функции . Ее можно переписать по определению модуля :  и построить , учитывая эти условия.

С помощью этого метода можно строить графики функций, содержащие несколько модулей.

Метод линейного сплайна

   Пусть заданы  - точки смены в кусочно-элементарных функциях. Функция f , определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале и в точках смены формул не терпит разрыв.

   Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном. Ее графиком является ломаная с двумя бесконечными звеньями – левым ( отвечающим значениям ) и правым(отвечающим значениям ).

Пример 3.  Построю функцию .

Перепишу эту функцию, используя определение модуля.

1) Найду нули модуля  и .

2) Пусть , тогда , а .

 Подставлю полученные выражения  в выражение , .

Получаю  первое условие  при

3) Пусть , тогда , а . Подставлю полученные выражения  в выражение ,

.

Получаю второе условие  при.

4) Пусть , тогда  и .

.

Получаю последнее условие  при .

Итак, функцию  можно задать тремя формулами:

Графиком этой функции является ломаная, изображенная на рисунке 7

   Можно использовать этот метод для построения графиков функций . заданных несколькими формулами или строить графики функций, содержащих несколько модулей.

   Я использовала линейный сплайн для «рисования» с помощью графиков. У меня получилось два рисунка: «Котенок» и «Черепаха».

Котенок

Черепаха

Черепаха

Заключение.

   Таким образом, все мои задачи успешно выполнены. Я научилась строить графики сложных функций, содержащие несколько модулей, Узнала, что такое линейный сплайн и научилась использовать метод линейного сплайна для воплощения своих идей и фантазий. Я не хочу останавливаться на достигнутом, ведь я буду изучать новые функции, а значит смогу «рисовать» еще более интересные рисунки.

Литература

1. Факультативный курс по математике. 7 – 9 класс. Учебное пособие для средней школы . – М.: Просвещение, 1991 .

2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра 7 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.:Мнемозина. 2006

Котенок

Черепаха