Мир правильных многогранников

Слайд 1

Слайд 2

Нашим проектом расширяются представления о мире многогранников, показывается красота этой замечательной науки - стереометрии. Тема проекта: Мир правильных многогранников. Цель: Рассмотреть влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и гипотез. Показать связь геометрии и природы. Задачи: а) Выяснить какой вклад внесли математики в развитие теории многогранников. б)Рассмотреть как представлен мир многогранников в геометрии. в) Проанализировать области, в которых многогранники нашли свое приложение. г) Описать технологию изготовления правильных многогранников.

Слайд 3

Многогранники Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах

Слайд 4

Правильные многогранники Среди разнообразных форм многогранников выделяют правильные многогранники – те, которые построены из одинаковых многоугольников, причем в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. « Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэрролл – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук ».

Слайд 5

Пифагор Правильными многогранниками занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра.

Слайд 6

тетраэдр-огонь

Слайд 7

куб-земля

Слайд 8

октаэдр-воздух

Слайд 9

икосаэдр-вода

Слайд 10

додекаэдр-вселенная

Слайд 11

тетраэдр ( четырёхгранник – от греческого «тетра», т.е. четыре ). Его четыре гра­ни – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число гра­ней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, харак­терными для однородных многогран­ников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отде­ляется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетра­эдра также равны между собой.

Слайд 12

Куб, или гексаэдр (шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть) – са­мый общеизвестный и широко исполь­зуемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каж­дой вершине.

Слайд 13

Октаэдр (восьмигранник – от греческого «окта», т.е. восемь), составлен­ный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571-1630) в своём этюде «О снежинке» высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней».

Слайд 14

Икосаэдр (двадцатигранник – от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр – одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединя­ет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние тре­угольники.

Слайд 15

И за­гадочный додекаэдр (двенадцатигранник – от греческого «додека», т.е. двенадцать), со­ставленный из двенадцати правильных пя­тиугольников. В известном смысле додекаэдр пред­ставляет наибольшую привлекатель­ность среди тел, соперни­чая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит).

Слайд 16

Формула Эйлера Г + В = Р + 2 . Многогранник Число сторон грани Число граней, сходящихся в каждой вершине Число граней Число рёбер Число вершин Тетраэдр 3 3 4 6 4 Куб 4 3 6 12 8 Октаэдр 3 4 8 12 6 Икосаэдр 3 5 20 30 12 Додекаэдр 5 3 12 30 20

Слайд 17

Многогранники в живописи Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. ФАНТАЗИЯ НА ТЕМУ «ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ»

Слайд 18

Многогранники в архитектуре Многие строения в окружающем нас мире, в частности пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. Великая пирамида в Гизе -Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности.

Слайд 19

Космологическая гипотеза Кеплера Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников. Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр . Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. .Позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

Слайд 20

Икосаэдро- додекаэдровая структура Земли … Ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки… В. Макаров, В. Морозов.

Слайд 21

Общие указания по изготовлению моделей Первое, чему мы должны научиться, прежде чем строить модели многогранников, это точно и аккуратно вычерчивать нужные нам части. Следует помнить, что у выпуклых однородных многогранников все ребра имеют одну и ту же длину. Следовательно, все многоугольники, образующие один многогранник, должны иметь стороны одной длины. А, как легко заметить из чертежей, правильный десятиугольник (декагон), например, значительно больше правильного треугольника с такой же стороной. Это надо всегда иметь в виду при построении моделей и соответственно этому выбирать подходящий масштаб. При этом за единицу масштаба мы принимаем половину длины ребра многогранника. Это поможет нам представить себе размеры модели. Удваивая величину радиуса, вы получите диаметр описанной сферы, а его можно принять в качестве приближённого значения высоты тела.

Слайд 22

Общие указания по изготовлению моделей После того как вы со всеми необходимыми предосторожностями сделаете чертежи требуемых частей — правильных многоугольников, — лучше всего изготовить трафареты. Для этого наложите чертёж на лист картона или плотной бумаги и проколите оба листа в вершинах многоугольника тонким шилом (или любой достаточной тонкой и острой иглой). После этого соедините по линейке полученные проколы, воспользовавшись острым карандашом. Аккуратно и ровно вырежьте ножницами трафарет, оставляя поля, отстоящие от карандашной линии примерно на 0,5 см. Итак, трафарет готов.

Слайд 23

Развёртки правильных многогранников Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием так называемых развёрток. Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Слайд 24

Способ «плетения» Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё один способ, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги. Без применения клея модель приобретает жёсткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги. Тетраэдр .Вырежьте три полоски: белую, чёрную, красную. . Сложите белую полоску. Оберните её чёрной полоской. . Получим куб, у которого передняя и задняя грани белые, остальные – чёрные. . Третью полоску (красную) пропустите сзади куба в щель между белой и чёрной полосками, согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и чёрной полоской. . Согните и разогните каждую из полосок по пунктирным линиям, чтобы образовались сгибы – “овраги”. . Наложите цветную полоску на белую. . Сложите из белой тетраэдр так, чтобы цветной треугольник оказался внутри него, затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками. Куб

Слайд 25

Заключение Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников – «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников – «Тела Пуансо – Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин. При работе над рефератом «В мире правильных многогранников» мы прикоснулись к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедились, что истоки математики – в природе, окружающей нас.

Слайд 26

Спасибо за внимание!