Проектная работа о различных способах умножения. Содержит как исторические сведения по теме, так и самостоятельно полученные результаты исследования.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 572.5 КБ |
![]() | 95.5 КБ |
Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям
Яков Трахтенберг
математик, педагог
Актуальность темы
Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла.
Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
Я хочу остановиться на способах умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.
Цель исследования
Изучить способы умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша и бумаги
Задачи исследования
Вывод исследования
Существуют способы быстрого умножения двухзначных чисел на 22, 33, 44, …, 99; умножение на число оканчивающееся на 5; умножение на 25, 50, 75, 125, 37 и много других способов.
Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами.
Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления.
Метод скоростного вычисления
Якова Трахтенберга
Уроженец Одессы Яков Трахтенберг, профессор математики, свой метод скоростного умножения изобрел в застенках немецкого концлагеря. В 1950г. он основал математический институт в Цюрихе, где учились и дети, и взрослые. Его назвали «школой для гениев». Обучающиеся быстро осваивали математику и добивались успехов во всех предметах. Уровень их интеллекта значительно превышал средние показатели. Интенсивная игра чисел улучшала память и внимание. Я хочу привести несколько способов скоростного умножения Трахтенберга.
1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не
превышает 10
72 х 11 = 7 (7+2) 2 = 792; 35 х 11 = 3 (3+5) 5 = 385;
2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10
94 х 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034; 78 х 11 = 7 (7+8) 8 = 858.
3. Умножение любого многозначного числа на 11
24579 х 11 = 270369 9673421 х 11 = 10407631
4. Умножение многозначного числа на 111, 1111 и т.д.
1342 х 11 = 14762
1). Последняя цифра в числе 1342 – 2.
Ее следует записать как первую пока цифру для ответа – 2.
2). Каждая следующая цифра прибавляется к соседу справа.
Для числа 1342 добавляем цифру 4 к 2, и мы можем написать вторую цифру ответа – 6. Получаем уже число – 62.
Далее. Прибавляем 3 к 4, чтобы получить третью цифру – 7,
получаем вместе число 762.
И, наконец, прибавляем 1 к 3, получаем четвертую цифру – 4
и число 4762. Теперь осталось сделать последний шаг.
3). Первая цифра предложенного числа 1342 становится левой
(первой) цифрой ответа – 14762.
Примеры:
24 х 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2)
24 х 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3)
72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)
Прием перекрестного умножения
при действии с двузначными числами.
Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком»
Пример: 24 х 32 = 7684
Последовательно производим следующие действия:
1. 4 х 2 = 8 – это последняя цифра
результата.
2. 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16. 6 –
предпоследняя цифра в ответе, единицу
запоминаем.
3. 2 х 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.
Ответ – 768.
Некоторые способы умножения Луки Пачоли.
1. Умножение чисел 987 и 1998 методом «Ревность, или решётчатое умножение»
Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. Вверху таблицы запишем число 987, а слева снизу – 1998. В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в нижнем ∆, а единицы – в верхнем ∆. Цифры складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа сверху налево от таблицы. Ответ в обратном порядке.
Ответ – 1972026.
Умножение чисел 1998 и 987 методом «Маленький замок»
Одно число записывается под другим.
Затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинают с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей.
Ответ – 1972026
Умножение чисел 987 и 1998 методом «Русским крестьянским способом»
В России среди крестьян был распрстранен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2. Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжает до тех пор, пока слева не останется 1. Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся
числа в правом столбце.
Ответ – 1972026
Метод умножения «сеткой»
Этот метод умножения я обнаружил в Интернете на сайте «Хайтек».
В первоисточнике не были указаны ни автор, ни название этого метода, ни время его появления.
Меня заинтересовал этот способ умножения, я дал ему свое название. Именно благодаря этому способу темой моего проекта стали методы умножения без калькулятора.
В Интернете были указаны только 2 примера умножения с помощью пересекающихся прямых:
Я провел самостоятельное исследование и определил способ решения еще нескольких примеров:
Все примеры, приведенные для показа метода умножения «сеткой»
придуманы и решены мною самостоятельно.
Алгоритм:
1. Рисуем линии сверху вниз и слева направо в соответствии с множителями, отделяя разряды друг от друга.
2. Начиная с правого нижнего угла считаем точки пересечения по областям, перенося десятки в следующий разряд по часовой стрелке.
3. Ответ записываем против часовой стрелки.
4. Нуль обозначается пунктиром. Пересечение с нулем не имеет числового значения.
5. Запятая обозначается волнистой линией.
23 х 123 = 2829 102 х 123 = 12546
Примечание:
При умножении дроби на число запятая переносится от пересечения диагонали и волнистой линии в ответ, а затем считаются точки по диагонали
1,02 х 123 = 125, 46 1,2 х 2,3 = 2,76
0,2 х 1,3 = 0,26
Примечание:
При умножении двух десятичных дробей учитывается горизонтальная волнистая линия, как запятая в ответе.
Жатайская муниципальная средняя общеобразовательная школа №2
УМНОЖЕНИЕ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА
Выполнил: ученик 6 «В» класса ЖМСОШ №2 Кочетов Юрий
Руководитель: учитель математики Иванюта Е.Н.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение ………………………………………………………………………..3
2. Умножение без калькулятора ………………………………..........................4
2.1. Прием перекрестного умножения при действии с
двузначными числами .……………………………………………………. 4
3. Выводы исследования …..…………………………………………….……...12
4. Список литературы …………………………………………………………..13
Введение.
Каждый человек входит в этот мир
с феноменальными способностями к вычислениям
Яков Трахтенберг,
математик, педагог.
Актуальность темы
Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла.
Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
Цель исследования
Изучить способы умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.
Задачи исследования:
1. Изучить прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами;
2. Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ»;
3. Рассмотреть метод умножения «сеткой», предложенный в Интернете на сайте «Хайтек». Расширить круг примеров, решенных указанным способом.
4. Познакомиться с методом скоростного вычисления Якова Трахтенберга.
Умножение без калькулятора.
2.1. Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами
Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».
Пример: 24 х 32 = 7684 2 4
I X I
3 2
Последовательно производим следующие действия:
1. 4 х 2 = 8 – это последняя цифра результата.
2. 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16.
6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.
3. 2 х 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.
Ответ – 768.
2.2. Старинные способы умножения
За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.
Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения. На мой взгляд, самые интересные из них – «ревность или решетчатое умножение» и «маленький замок».
Рассмотрим эти способы при решении одинаковых чисел 987 и 1998 и сравним полученные результаты.
Умножение чисел 987 и 1998 методом «Ревность, или решётчатое умножение». (Приложение 1)
Последовательность действий.
Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.
Вверху таблицы запишем число 987, а слева снизу вверх – 1998.
В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы – в верхнем. Цифры складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа и слева от таблицы.
Ответ – 1972026.
Умножение чисел 1998 и 987 методом «Маленький замок».
Последовательность действий.
Одно число записывается под другим как при умножении столбиком.
Затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинают с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей.
Полученные числа складывают между собой.
Ответ – 1972026.
Сравним результаты, полученные при умножении чисел 987 и 1998 этими двумя способами. Ответы равны 1972026.
Мы видим, что данные старинные способы умножения действительно очень сложны и требуют обязательного знания таблицы умножения.
Умножение чисел 987 и 1998 методом «Русским крестьянским способом».
В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.
Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.
Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.
Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.
Ответ – 1972026.
Этот способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов умножения Луки Пачоли. Но он также очень громоздкий.
Этот метод умножения я обнаружил в Интернете на сайте «Хайтек».
Там не были указаны ни автор, ни название этого метода, ни время его появления.
Меня заинтересовал этот способ умножения, я дал ему свое название. Именно благодаря этому способу темой моего проекта стали методы умножения без калькулятора.
В Интернете были указаны только 2 примера умножения с помощью пересекающихся прямых:
Умножение двузначного числа на двузначное;
Умножение трехзначного числа на трехзначное.
Я провел самостоятельное исследование и определил способ решения еще двух примеров:
Умножение двузначного числа на трехзначное;
Умножение трехзначных чисел с нулем в одном из них.
Умножение дроби на число.
Умножение дроби на дробь.
Все примеры, приведенные для показа метода умножения «сеткой»
придуманы и решены мною самостоятельно.
Умножение двузначных чисел.
23 х 14 = 322
Последовательность работы.
Рисуем по диагонали. Первый множитель 23 рисуем сверху вниз прямыми линиями, отделяя десятки от единиц. Число 14 рисуем снизу вверх перпендикулярными прямыми, также отделяя десятки от единиц.
Считаем точки пересечения прямых, начиная с крайней правой области. Последняя цифра в ответе – 2 (количество точек пересечения – 12, 2 пишем, 1 в уме).
Количество точек пересечения 2 областей, расположенных друг над другом – 11, к последней 1 прибавляем 1, первую 1 запоминаем). Предпоследняя
цифра в ответе – 2.
Количество точек пересечения левой области – 2, прибавляем 1, получаем 3, это первая цифра в ответе. Полученный ответ – 322.
23 х 45 = 1035 Последовательность работы.
Рисуем по диагонали. Первый множитель 23 рисуем сверху вниз прямыми линиями, отделяя десятки от единиц. Число 45 рисуем снизу вверх, также отделяя десятки от единиц.
Считаем точки пересечения прямых, начиная с крайней правой области. Последняя цифра в ответе – 5 (количество точек пересечения – 15, 5 пишем, 1 в уме).
Количество точек пересечения 2 областей, расположенных друг над другом – 22, к последней 2 прибавляем 1, 2 запоминаем). Предпоследняя цифра в
ответе – 3.
Количество точек пересечения левой области – 8, прибавляем 2, получаем 10, это первые цифры в ответе. Полученный ответ – 1035.
Умножение трехзначных чисел.
232 х 121=28072 Последовательность работы.
Рисуем по диагонали. Первый множитель 232 рисуем сверху вниз прямыми линиями, отделяя сотни, десятки и единицы. Число 121 рисуем снизу вверх.
Считаем точки пересечения прямых, начиная с крайней правой области. Последняя цифра в ответе – 2.
Количество точек пересечения 2 областей, расположенных друг над другом – 7. Предпоследняя цифра в ответе – 7.
Количество точек пересечения трех областей – 10. Третья цифра с конца в ответе –
0, единицу запоминаем.
Количество точек пересечения двух следующих областей – 7, прибавляем 1, получаем предпоследнюю цифру в ответе – 8.
Количество точек пересечения крайней левой области – 2. Это первая цифра в ответе. Полученный ответ – 28072.
Умножение двузначного числа на трехзначное.
Решения примера данного типа не было, я доработал его самостоятельно.
Алгоритм.
1. Рисуем линии сверху вниз и слева направо в соответствии с множителями отделяя разряды друг от друга.
2. Начиная с правого нижнего угла считаем точки пересечения по областям перенося десятки в следующий разряд по часовой стрелке.
3. Ответ записываем против часовой стрелки.
4. Нуль обозначается пунктиром. Пересечение с нулем не имеет числового значения.
5. Запятая обозначается волнистой линией.
152 х 22 = 3344 (Последовательность работы такая же, как и в предыдущих примерах)
В трехзначном числе рисуем сверху вниз сотни, десятки, единицы, отделяя их друг от друга.
В двузначном числе рисуем снизу верх десятки и единицы.
Складывая точки пересечения прямых, начиная с крайней правой области, получим ответ – 3344.
Умножение трехзначных чисел с нулем в одном их них.
Примечание: Решение примеров и принятые далее обозначения мною разработаны самостоятельно. При умножении дроби на число запятая переносится от пересечения диагонали и волнистой линии в ответ, а затем считаются точки по диагонали. При умножении двух десятичных дробей учитывается горизонтальная волнистая линия, как запятая в ответе.
102 х 123 = 12546
Последовательность работы.
Рисуем так же, как при умножении двух трехзначных чисел, но линию, обозначающую ноль, рисуем пунктирной линией. Это воображаемая линия, точек пересечения на ней не существует.
При сложении точек пересечения, учитываем только точки пересечения прямых линий.
Ответ – 12546.
Умножение дроби на число. Умножение дроби на дробь
1,02 х 123 = 125, 46 1,2 х 2,3 = 2,76
Умножение дроби на дробь с нулем в целой части
0,2 х 1,3 = 0,26
Уроженец Одессы Яков Трахтенберг, профессор математики, свой метод скоростного умножения изобрел в застенках немецкого концлагеря.
В 1950г. он основал математический институт в Цюрихе, где учились и дети, и взрослые. Его назвали «школой для гениев».
В его школе дети быстро осваивали математику и добивались успехов во всех предметах. Уровень их интеллекта значительно превышал средние показатели.
Интенсивная игра чисел улучшала память и внимание.
Я хочу привести несколько способов скоростного умножения Трахтенберга.
1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
72 х 11 = 7 (7+2) 2 = 792;
35 х 11 = 3 (3+5) 5 = 385;
2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
78 х 11 = 7 (7+8) 8 = 7(13)8 = 858.
94 х 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034;
3. Умножение любого многозначного числа на 11
1342 х 11 = 14762
1). Последняя цифра в числе 1342 – 2.
Ее следует записать как первую пока цифру для ответа – 2.
2). Каждая следующая цифра прибавляется к соседу справа.
Для числа 1342 добавляем цифру 4 к 2, и мы можем написать
вторую цифру ответа – 6. Получаем уже число – 62.
Далее. Прибавляем 3 к 4, чтобы получить третью цифру – 7,
получаем вместе число 762.
И, наконец, прибавляем 1 к 3, получаем четвертую цифру – 4
и число 4762.
Теперь осталось сделать последний шаг.
3). Первая цифра предложенного числа 1342 становится левой
(первой) цифрой ответа – 14762.
Пример: 1889 х 11 = 20779
5482 х 11 = 60302
Также легко этим способом можно умножить на 11 любое многозначное число.
Пример: 24579 х 11 = 270369
9673421 х 11 = 10407631
4. Умножение на число 111, 1111 и т.д, зная правила умножения двузначного числа на число 11
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Пример:
24 х 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2)
24 х 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3)
При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.
72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)
Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.
Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.
61х 11111111 = 677777771
Эти вычисления можно легко произвести в уме.
5. Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна 10 или больше 10
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.
Примеры:
48 х 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328.
В этом случае к первой цифре надо прибавить 1. Получим 5.
Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.
56 х 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216
67 х 1111 = 6(6+7)…7 = 6(13)…7 = 74437
Мною рассмотрены лишь некоторые приемы скоростного умножения, разработанные Я. Трахтенбергом. Тем, кто заинтересуется работой этого выдающегося ученого-математика, я советую познакомиться с книгой ……
Выводы исследования.
Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.
Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Умножение без калькулятора - тренировка памяти и математического мышления.
Список литературы.
1. Калиничева Т. Вычисление без калькулятора //Лицейское и гимназическое образование. – 2007. - №7. – С. 23-27.
2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994. – С. 142-144.
3. Филиппов Г. А. Устный счет – гимнастика для ума //Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». – 2007. – Вып. 3 (15). – С. 18-29.
4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.
Лиса-охотница
Рождественские подарки от Метелицы
Украшаем стену пушистыми кисточками и помпончиками
Космический телескоп Хаббл изучает загадочную "тень летучей мыши"
Снежная книга