Научно-исследовательская работа «Золотое свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника»

На данный момент я уже всерьез задумалась о выборе будущей профессии. Больше всего мне нравится профессия учителя математики. Я решила в 10 классе начать серьезную работу по подготовке к поступлению в КГУ на физико-математический факультет.
В моем классе учатся ученики с различным уровнем подготовки по математике. Они прибыли в 10 класс из различных школ Солнцевского района. Задачи по геометрии вызывают большие трудности. Как показывают результаты ЕГЭ, их решают совсем малый процент выпускников. Задания по стереометрии выполняют около 3%, а по планиметрии повышенной степени трудности 0,1%. Я бы хотела научиться решать задачи по геометрии и помочь в преодолении трудностей при их решении своим одноклассникам. Для этого нужно по каждой теме подобрать и решить определенный блок задач.
Актуальность моей работы в том, что без повторения теоретического материала по планиметрии невозможно решать задачи по стереометрии.
При повторении материала по геометрии за курс основной школы я поставила перед собой задачу: рассмотреть несколько способов доказательства теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника, которых нет в учебниках геометрии для основной и средней школы, и ее применение к решению задач.
Данное свойство биссектрисы описано в шестой книге «Начал Евклида», на греческом языке. Ранее упоминание Евклида об этой теореме, если следовать русскоязычным источникам, содержится в одном из первых русских учебников геометрии рукописи начала 17 в., составленной в 1625 году Елизарьевым и хранится в государственном историческом музее.
Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части пропорциональные прилежащим сторонам.
И так, приступим к доказательству теоремы.

Различные способы доказательства теоремы.

Дано:АВС,BD-биссектриса.
Доказать:
.
Доказательство:
1.Способ.
Рассмотрим отношение площадей ABD иBDC:
,
= ,

Проведём DNAB, DFBC.
Так как Dпринадлежит BD, то DN=DF- каждая точка, принадлежащая биссектрисе внутреннего угла, равноудалена от сторон этого угла.
,
,
, следовательно, .

2.Способ.

Проведем через точку E прямую параллельнуюNM до пересечения с DN.

По теореме опропорциональных отрезках=.

Рассмотрим NKE:

накрест лежащие углы при и секущейNE.

–соответственные углы при и секущей ND.

Так как NM биссектриса, то , отсюда NKE –равнобедренный.
NK=NE, а значит =.
3.Способ.

Проведем

Рассмотрим ∆ABKи ∆BCM:

Т.к. BD –биссектриса, то

ABKBCM по двум углам, из подобия треугольников следует

Рассмотрим AKDиCDM:

вертикальные углы,

AKDCDM по двум углам, из подобия следует
, получаем,что
,
.

Рассматривая различные способы доказательства теоремы, я решила сформулировать обратное предложение и попробовала его доказать.

Обратная теорема.

На стороне BCвзята точкаD так, что . Доказать, что AD является биссектрисой.
Дано:

Доказать:

AD ̶ биссектриса.

Доказательство.

Проведём высоты

По теореме синусов:

Т.к. по условию задачи , то

, отсюда следует, точка D равноудалена от сторон , а значит лежит на биссектрисе этого угла, следовательно, ADбиссектриса.

Применение свойства биссектрисы к решению задач.

Помимо доказательства теорем я подготовила задачи, которые предлагала решить своим одноклассникам.
1.Задача.
В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность, боковая сторона равна 5, основание 6.Найти радиус вписанной окружности.

Дано:, окружность(О,r)

АВ=ВС=5, АС=6.

Найти: r.

Решение:

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

Рассмотрим

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

DO-r

–прямоугольный, т.к. ВD в равнобедренном является высотой, медианой и биссектрисой.

-египетский треугольник.

BD=4, DC=3, BC=5.

BD=r+ OB,

OB=4-r,

5r=3(4-r),

5r+3r=12,

8r=12,

r=1,5.

Ответ:1,5.

С помощью этой задачи я хотела показать, что для нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник не обязательно запоминать формулы, можно лишь воспользоваться свойством биссектрисы внутреннего угла.

2. Задача.

Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 см. Найти периметр треугольника.

Дано:

,АВ=ВС,

АС=18 см, МС=12см,

АМ - биссектриса

Найти: P

Решение:

Р=АВ+ВС+АС,

ВС=АВ=ВМ+МС.

По свойству биссектрисы внутреннего угла:

Пусть ВМ=x, тогда

3x=2x+24,

x=24,

BM=24.

BC=AB=24+12=36 cм.

P=см.

Ответ: 90 см.

3. Задача.

В треугольнике АВС . Из вершины прямого угла проведена биссектриса CD, которая разделила гипотенузу на отрезкиAD=15, DB=20. Найти площадь .

Дано:

∆АВС,

CD-биссектриса,AD=15, DB=20.

Найти: S.

Решение.

АВ=AD+DB=15+20=35.

Пусть АС=x, а ВС=y, тогда по теореме Пифагора:

По теореме о биссектрисе внутреннего угла получаем, что

Составим систему уравнений и решим её.

=1225,

x==21,

y=.

S=,

S=.

Ответ:294.

4.Задача.

Треугольник АВС прямоугольный, с прямым углом С. Точка D лежит на стороне АС, а точка Е на АВ, причем , DE=DC, AE=15см, BE=20см. Найти периметр треугольника АВС.

Дано:

∆АВС,D

DE=DC, AE=15см,

BE=20 см,

Найти: P.

Решение.

По условию .

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE.

Т.к.CD=DEпо условию задачи, то является равнобедренным по определению, следовательно,

, значит СЕ - биссектриса .

Пусть АС=x, aBC=y, тогда по теореме Пифагора:

AB=35 см,

По теореме о биссектрисе внутреннего угла получаем, что

Составим систему уравнений и решим её.

=1225,

x==21,

y=.

P=21+28+35=84 см.

Ответ: 84 см.

В основной школе мы опирались на рисунки, но в старших классах пора уже доказать, что действительно, биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта задача для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике.

5. Задача.

В треугольнике DNCиз вершин его внутренних углов провели биссектрисы . Доказать, что биссектрисы углов пересекаются в одной точке.

Дано:

биссектриса.

Доказать:

Биссектрисы пересекаются в точке О.

Доказательство.

Обозначим DN=c, NC=a, DC=b.

По свойству биссектрисы внутреннего угла, следует

пересекаются в одной точке по обратной теореме Чевы.

Заключение.

На этом моя работа не заканчивается. В 10 классе я продолжу изучать эту теорему, подбирая задачи с учетом изученного материала по математике.Выполняя эту исследовательскую работу, я научилась из большого объема информации выбирать и систематизировать нужный материал, который был использован при решении задач. Эта работа способствует прочности усвоения теоретического материала, решение задач развивает логическое мышление. На примере данной теоремы я показала одноклассникам применение раннее изученного материалав основной школе. Я сделала вывод, что при изучении теорем, нужно рассматривать обратное предложение, которое может быть как верным, так и неверным. Сравнивая различные доказательстватеоремы, ученики учились анализировать и оценивать недостатки данного способа, выбирая наиболее удачный из них. Мы заметили, что первый мой способ даже проще того, который предложен восьмиклассникам в учебнике .

Список литературы.

Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7-9 класс. М.: Просвещение, 2015.
Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 10-11 класс.М.: Просвещение, 2008 .
Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы 10 класс.М.: Просвещение, 2009.
Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии 7-11 класс. Санкт-Петербург: НПО Мир и семья, 2001 .
Березин В.Н, Березина Л.Ю, Никольская И.Л. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике.М.: Просвещение, 2000 г.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Золотое_свойство_биссектрисы

Волшебная фортепианная музыка

Приключения Тома Сойера и Гекельберри Финна

Сочинение

Анатолий Кузнецов. Как мы с Сашкой закалялись

Сказка "Колосок"