Исследование логарифмов

Слайд 1

Слайд 2

МОУ "СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов" города Всеволожска. Исследовательскую работу провели ученики 11 Б класса: Бочарова Анастасия Калантарова Мария Малаев Никита Руководитель проекта: Егорова Людмила Алексеевна.

Слайд 3

Логарифмическая функция Начнем с того, что сравним между собой логарифмическую функцию и показательную так как они между собой взаимосвязаны. Показательная функция Логарифмическая функция 1. D(y)=(- ;+ ) 1. D(y)=( 0 ;+ ) 2. E(y)=(0;+ ) 4. Убывающая 3. Ни четная, ни нечетная 5. Нулей не имеет 6. При x>0 ; 0< <1 При x<0; >1 7. y= непрерывна 2. E(y)=(- ;+ ) 4.Убывает на промежутке ( 0 ;+ ) 3. Ни четная, ни нечетная 5. Проходит через ( 1;0 ) 6. При x>0; x (- ;+ ) при х <0 не существует 7.у= x непрерывна y= , где 0

Слайд 4

х у 0 х у 0 Показательная функция y= , где 0

Слайд 5

Показательная функция Логарифмическая функция 1. D(y)=(- ;+ ) 1. D(y)=( 0 ;+ ) 2. E(y)=(0;+ ) 4. Возрастающая 3. Ни четная ни нечетная 5. Нулей не имеет 6. При x>0 ; >1 При x<0; 0< <1 7. y= непрерывна 2. E(y)=(- ;+ ) 4.Возрастает на промежутке ( 0 ;+ ) 3. Ни четная ни нечетная 5. Проходит через ( 1;0 ) 6. При x>0; x (- ;+ ) при х <0 не существует 7.у= x непрерывна y= , где a>1 у= x , где a>1

Слайд 6

х у 0 х у 0 Показательная функция y= , где a>1 Логарифмическая функция у= x , где a>1

Слайд 7

Решение логарифмических уравнений Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Рассмотрим 4 тип а уравнений 1. log a x =b 2. log a f(x) = log a g(x) 3. log h (x) f(x) = log h (x) g(x) 4. log 2 a x+log a x+c = 0

Слайд 8

log a x = b Если a > 0, a ≠ 1, уравнение при любом действительном b имеет единственное решение x = a b . К примеру уравнение : log 2 x = 3 X= =8 Ответ: 8 Также существуют и другие виды таких уравнений, в которых для успешного решения нужно пользоваться некоторыми свойствами логарифмов.

Слайд 9

log a f(x) = log a g(x ) Уравнение log a f(x) = log a g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще) f(x)=g(x) f(x )>0 f(x )=g(x) g(x )>0 К примеру уравнение: log 3 ( 5+x )= log 3 ( 5-x ) 5+x=5-x 5-x>0 х = 0 X<5 Ответ: 0 Аналогично 1 примеру, существуют и другие виды таких уравнений, в которых для успешного решения нужно пользоваться некоторыми свойствами логарифмов.

Слайд 10

log h (x) f(x) = log h (x) g(x ) Уравнение log h (x) f(x) = log h (x) g(x ) аналогично 2 примеру и равносильно одной из систем f(x )=g(x) h(x )>0 h(x )≠1 f(x )>0 f(x)=g(x) h(x)>0 h(x)≠1 g (x)>0 К примеру уравнение: l og (2-x) ( 9-x )= log (2-x) ( 9+x ) 9-x=9+x 2-x>0 2-x≠1 9-x>0 x=0 x <2 x≠1 x <9 Ответ: 0 Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений ( ОДЗ ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения.

Слайд 11

log 2 a x+log a x+c=0 Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. К примеру: log 2 9 x+log 9 x- 2 =0; t=log 9 x t 2 +t-2=0 t=-2 или t=1 log 9 x=-2 log 9 x=1 x=9 -2 x=9 Ответ: 9 ; 9 -2

Слайд 12

Исключения Также существуют такие уравнения, которые невозможно решить такими способами, но их можно решить при помощи графика. К примеру: log 2 x=1-x При решении простым способом у нас получится: x= Поэтому решим данное уравнение графически. х у 0 Итого одно решение. Ответ: 1

Слайд 13

Логарифмические неравенства Это такие неравенства, в которых переменная величина находится под знаком логарифма. Мы рассмотрим 2 способа решения таких неравенств на примере (x+2)<1 Способ 1: Традиционный. В исходном неравенстве произведем замену 1= , тогда (x+2)< . Найдем ОДЗ неравенства X +2 > 0 >0 1 X>-2 -1;0;1 На ОДЗ данного неравенства основание логарифма ( ) может быть: 0 < < 1 или > 1, значит надо рассмотреть 2 случая

Слайд 14

0 < < 1 ; тогда функция убывает и неравенство равносильно системе: 0 < < 1 х+2 > -1 1 ; тогда функция возрастает и неравенство равносильно системе: > 1 х+2 < х > 1 x <1 (x-2)(x+1) -1 -1 1 2 x (- ;1) (2;+ ) Накладываем решения обоих случаев на ОДЗ и получаем ответ. Ответ: x (- 2 ; - 1) ( - 1 ; 0 ) (2;+ )

Слайд 15

Способ 2: метод рационализации Метод рационализации позволяет в определенных случаях свести логарифмическое неравенство к рациональному (которое решается методо м интервалов). Суть метода: если f(x) - монотонно возрастающая функция, то разность f(a)-f(b) совпадает по знаку с разностью a-b . Как работает эта идея при решении неравенств? Пусть имеется неравенство: > 0; Тогда исходное неравенство равносильно неравенству На области определения f(x) и g(x)

Слайд 16

(x+2)< 1 Перейдем в исходном неравенстве к любому постоянному основанию, например 10. <1 Для применения метода рационализации в правой части должен быть 0, Значит переносим единицу влево и вносим в дробь. В силу монотонного возрастания функции y= lgx можно применить метод рационализации. 0 x+2>0 >0 0 x>-2 |x|>1 Решением данной системы является x (- 2 ; - 1) ( - 1 ; 0 ) (2;+ ) , что мы и пишем в ответ.

Слайд 17

Польза метода рационализации Метод рационализации избавляет нас от необходимости рассматривать 2 случая. Чем сложнее неравенство, тем более ощутимыми становятся преимущества метода рационализации.

Слайд 18

Подведем итоги: В данной презентации мы рассмотрели, что из себя представляет логарифмическая функция и сравнили ее со степенной, рассмотрели виды и способы решения логарифмических уравнений а также неравенств.