ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЖИЗНЕННЫХ СИТУАЦИЯХ

.Министерство  образования и науки Российской Федерации

Управление образования Кудымкарского муниципального района

МОУ «Белоевская средняя общеобразовательная школа»

                                                Направление:

                                                  математика    

ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЖИЗНЕННЫХ СИТУАЦИЯХ

                                       Исполнитель:

                                                                            Велиева Сусанна ученица 8а класса

                                           Руководитель:

                                                         Власова Нина Павловна

                                                       учитель высшей категории                                                                                  

                                                                  2010

Оглавление.

 Введение…………………………………………………………………….   3

 Глава 1. О возникновении процента………………………………………   4                                                            

 Глава 2. Определение процента………………………………………….. .. 5

 Глава 3. Изучение экономических терминов……………………………… 6

 Глава 4. Процентные вычисления в жизненных ситуациях………….  …..7

4.1.Распродажа………………………………………………………… 8

4.2.Тарифы………………………………………………………………9

4.3.Штрафы…………………………………………………………….10

4.4.Голосование………………………………………………………..11

4.5.Банковские проценты……………………………………………...11

4.6.Сплавы и растворы…………………………………………………15

Заключение…………………………………………………………………… 18

Библиографический список…………………………………………………  19 Приложение……………………………………………………………………20

Практическая работа по теме «Бюджет семьи»……………………….21

Задачи для самостоятельного решения………………………………..23

2

Введение.

Тема моей  работы  «Процентные вычисления в жизненных ситуациях». Эта тема для меня очень актуальна и мною выбрана не случайно. Актуальность работы определяется необходимостью использования процентных вычислений в различных сферах современной жизни.

На факультативных занятиях по математике мы решаем задачи на проценты, и меня очень заинтересовали некоторые вопросы. Нужны ли мне знания о процентах?  Люди  каких профессий используют процентные вычисления в своей работе? Можно ли прожить в повседневной жизни без процентов?  Я решила сама ответить  на эти вопросы, написав исследовательскую работу. 

  Цель: научиться использовать процентные вычисления в различных жизненных ситуациях.

Задачи:

         - расширить знания о применении процентных вычислений в различных жизненно важных сферах деятельности;

• формировать математическую  грамотность;
• формировать  специальную  компетентность;
• содействовать развитию логического мышления, необходимого современному человеку, как в общекультурном плане, так и для профессионального становления;
• развить умения самостоятельно работать с различными источниками информации, решать творческие задачи.

         Объектом  исследования является процент.

          Предмет исследования:  задачи на процентные вычисления  тарифы, штрафы, распродажа, голосование, банковские проценты, смеси и сплавы.

            Моя работа относится к теоретическому  и прикладному исследованиям. Ценность прикладного  исследования заключается в том, что получены реальные результаты исследования бюджета семьи.

3

Дан компетентный ответ на конкретный поставленный вопрос: «Выгодно ли сегодня держать деньги в банке?»

          При работе над рефератом я  использовала  учебники по математике  школьной программе для 6-9 классов,  Дорофеева Г. В. «Процентные вычисления» - учебное пособие для старшеклассников. А также брала дополнительную литературу как  «Математика для абитуриентов», справочник по методам решения задач, обращалась к интернет - ресурсам.

4

Глава 1 . О возникновении процента.

                  Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «на сотню», «со ста» или «за сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

    По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584 г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.  

      Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В Париже в 1685 г. была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик напечатал знак %.

5

Глава 2. Определение процента.

      Сейчас проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств. Один процент – это по определению одна сотая: 1%=. Соответственно, p%=. Один процент от количества А – это, по определению, одна сотая часть количества А:

1% от А равен   А .Соответственно, p% от А равен А.

6

Глава 3. Изучение экономических терминов

           Для лучшего понимания условий задач я познакомилась с некоторыми экономическими терминами.

1) Слово, которое в переводе с греческого языка означает  « искусство ведения домашнего хозяйства». (Экономика)

2) Изменение цены акции на бирже. (Курс)

3) Дело, которое может принести хороший доход. (Бизнес)

4) Продажа особо редких и ценных товаров, когда желающих купить тот или иной товар много, и они соревнуются между собой за право покупки. (Аукцион)

5) Как называют хозяина банка? (Банкир)

6) Вложение денег, в какое – либо новое дело, от которого в будущем может быть получен доход. (Инвестиция)

7) Деньги, которые находятся в распоряжении одного или нескольких человек, предприятия или целой страны. (Финансы)

8) Надежно защищенное место, где хранятся деньги. (Банк)

9) Временная передача денег или товара в долг. (Кредит)

10) Договор двух или нескольких человек о совершении, какого – нибудь действия. (Сделка)

11) Стоимость вещи при обмене ее на другую. (Цена)

12) Правила, которым подчиняется все происходящее в природе и в обществе. (Законы)

13) То, что изготовляет мастер для продажи. (Товар)

14) Человек, работа которого состоит в том, чтобы организовывать выгодные дела. (Бизнесмен)

7

Глава 4. Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

В ходе работы я рассмотрела  некоторые виды задач на процентные вычисления, которые мы решаем в различных жизненных ситуациях:

1. Распродажа.
2. Тарифы.
3. Штрафы.
4. Голосование.
5. Банковские проценты.
6. Сплавы и растворы.

4.1.Распродажа

   Для решения задач  на распродажу, тарифы, штрафы я изучила по толковому словарю Даля значение таких слов, как тариф, штраф, экономия, прибыль, выгода, убытки. Задачи данного типа решают продавцы, бухгалтеры, экономисты, статисты, водители, нотариусы, менеджеры и др.

№1. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс. р. И выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?

Решение:   30 тыс. руб. ∙0,6=18 тыс. руб.

                    30 тыс. руб. + 18 тыс. руб.=48 тыс. руб.

                   48 тыс. руб.: 5= 9,6 тыс. руб.

                   48 тыс. руб.- 9,6 тыс. руб.=38,4 тыс. руб.

                   38,4 тыс. руб.-30 тыс. руб.=8,4 тыс. руб.

Ответ: 8,4 тыс. руб. прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета.

№2. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф?

8

Решение:       350∙0,4=140(руб.)

                        350-140= 210(руб.)

                      210∙0,05=10,50(руб.)

                      210-10,5=199,5(руб.)

                      350∙0,45=157,5 (руб.)

                     350-157,5=192,5(руб.)

Ответ: выгоднее купить этот шарф во втором  магазине.

№3. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит

художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

Решение:      213∙ 150=31950 (руб.)

                     213∙0,19=40,47 (руб.)

                     213-40,47=172,53( руб.)

                     172,53∙150=25879,5( руб.)

                     31950-25879,5=6070,5 (руб.)

Ответ: художественная студия сэкономит 6070,5 руб.

4.2.Тарифы

№1. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 к. за 1 кВт' ч. В  середине года он увеличился на 50%, а в конце года - еще на50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на - 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?

Решение: 40  +20  = 60 (коп.)

                 60+30= 90(коп.)

                  =2.25∙100=225

9

            225-100٪=125٪

Ответ: увеличился тариф более чем на 100%.

№2. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 р. В связи с инфляцией она возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость  проезда в автобусе?

Решение:   5∙2=10(руб.)

                 5+10=15 (руб.)

                 15:5=3(раза)

                 300℅:100%=3(раза)

Ответ: в 3раза повысилась стоимость  проезда в автобусе.

№3. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20% ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году?

Решение: Пусть в прошлом году тариф  был х рублей, тогда в этом году на 20℅

ниже, т.е.    х-0,2х=0,8х руб. тариф в этом году. А теперь найдем тариф, который ниже на 20%.   (0,8∙0,2)х+0,8х=0,96х руб. тарифы в прошлом году.

Ответ: нельзя утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году.

4.3.Штрафы

№1. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25% месячного оклада, и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. рублей. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?

Решение:    10 тыс. руб.∙0,25=2,5 тыс. руб.

                  10 тыс. руб.∙0,05=0,50 тыс. руб.

                  2,5 тыс. руб. +0,5 тыс. руб. =3 тыс. руб.

                    3 тыс. руб. ∙5=15 тыс. руб.

10

Ответ: 15 тыс. руб. он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев.

№2. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю?

Решение: 250∙0,04=10 (руб.)

                  10∙7=70(руб.)

                  250+70=320 (руб.)

Ответ: 320 руб. придется заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю

4.4.Голосование.

№1. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Решение:  550∙0,88=484 (учащихся)

                 484∙ =121∙3=363  (учащихся)

                  ∙100=66℅ (учащихся)

 Ответ: 66% учащихся школы ответил положительно.

№2. Собрание гаражного кооператива считается правомочным, если в нем приняли участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решённым, если за него проголосовали не менее 50% присутствовавших. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за положительное решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое принято решение?

Решение:

  = (коллектива) пришли на собрание;

   > , значит, собрание считается правомочным;

 (коллектива) проголосовали за положительное решение.

Ответ: пронято положительное решение.

11

4.5.Банковские проценты

 При решении задач  на  «банковские расчеты» я изучила такие понятия как  сложные проценты, абсолютный прирост, процентный прирост, кредит, вклад.

№1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год; через два года; через 6 лет?

Решение: 2000∙(1+0,12)=2000∙1,12=2240 (руб.) через год

               2240∙(1+0,12)=2240∙1,12=2508,8 (руб.) через 2 года

                2000∙(1+0,12)6=2000∙1,126 = 2000∙1,9738225=3947,65 (руб.) через 6 лет

Ответ: 2240 руб., 2508,8 руб., 3947,65 руб.

№2. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если он воспользуются вкладом «Накопление» С годовой процентной ставкой 16%. Проверьте, выполнит ли банк свое обязательство.

Решение:

Пусть Х руб. первоначальный  взнос.

                 Х∙(1+0.16)5=2,1003415∙х

                  = 2,100245≈ 2

Ответ: банк выполнил свое обязательство.

№3. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40 тыс. р. С обязательством возвратить кредит (с учетом 20% годовых) через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях: с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

Решение:

40000∙(1+0,2)3=69120(руб.)

12

40000∙(1+0,19)3=40000∙1,685159=67406,36

69120-67406,36=1713,64(руб.)

Ответ: на 1713,64руб. у Бориса долг окажется меньше.

№4. Цену на некоторый товар увеличили сначала на 30%, потом опять увеличили на 20%, а спустя некоторое время уменьшили на 50% . Выразите в процентах окончательное изменение цены по сравнению с первоначальной.

Решение: Пусть х руб. первоначальная цена товара, тогда 0,3х+х=1,3х руб. цена после первого увеличения;1,3х+1,3х∙0,2=1,56хруб. цена после второго повышения; 1,56х-1,56х∙0,5= ).78хруб. окончательная цена товара,78х: х=0,78=78%

100%-78%=22% на столько %уменьшилась первоначальная цена.

Ответ: на  22% столько уменьшилась первоначальная цена.

№6. Цена одного товара 2 раза повышена на одно и то же число процентов каждый раз. Другой товар, первоначальная цена которого была в 4 раза больше первого, был дважды уценён на то же самое число процентов. Найти проценты изменения стоимости товаров, если окончательная сумма их цен на 4,64% меньше их первоначальной суммарной стоимости.
Решение: С - цена первого товара; 4С - цена второго товара; х - количество процентов, на которое изменилась цена;
I год. С+0,01х∙С=С(1+0,01х)
II год С (1 +0,01х)+0,01х∙ С(1 +0,01х)=С ∙(1 +0,01х) ∙(1 +0,О1х)=С∙(1 +0,01х) 2 - это через два года, а если взять п лет, то С (1 + О,О1х)n - формула нахождения сложного процента.
II товар рассмотрим 1 и II год - 4С∙(1 + 0,О1х)2 
5С - совместная цена;
Итак, уравнение имеет следующий вид: С(1 + 0,О1х)2 + 4С(1 - 0,О1х)2 = 5С -
- 0,0464 ∙5С
С((1 + 0,О1х)2 + 4(1 — 0,О1х) 2) = 5С(1 - 0,0464)  / С

13

1 + 0,02х + 0,000 1х2 + 4 - 0,08х + 0,0004х2 + 5 - 4,768 = 0
Умножим обе части на 10 000
200х+х2-800х+4х2+23200 =0
х2-120х+464=0,  Д=12544
х1= 116 , х2=4
х = 116 не удовлетворяет смыслу задачи.
Ответ: 4%.

№7. Зарплата составляла 10 000 рублей в месяц, после двух последовательных повышений на одно и то же число процентов, она стала составлять 12 100 рублей. На сколько процентов каждый раз эта зарплата повышалась?
Решение: С(1 + 0,01х)n  , где С=10 000, п=2
10000(1 + 0,О1х)2 = 12100
(1 + 0,О1х)2 = 1 + 0,О1х =  ; ==> 1 + 0,0 1х = -, корень уравнения не удовлетворяет условию задачи, поэтому 1 + 0,0 1х = ;  0,01х=0,1;  х=10
Ответ: Каждый раз цена повышалась на 10 %.

№8. После двух последовательных снижений на одно и то же число процентов стоимость товара с 40 тысяч рублей снизилась до 32 тысяч 400 рублей. На сколько процентов снижалась стоимость товара каждый раз?
Решение: С1(1-) n =С2, где С1= 40000, С2=32400, п=2;
40000(1 - 0,О1х)2 = 32400;     (1 - 0,О1х)2 = ,       1 - 0,ОIх =
1-0,01х=           0,01х=0,1              х=10%
Ответ: 10%

14

№9. Вкладчик внёс в сбербанк на срочный вклад некоторую сумму денег. Через год сбербанк увеличил её на неопределённое число процентов от этой суммы, а вкладчик дополнительно внёс на свой счёт 75% от первоначальной суммы вклада. Ещё через год вклад с вновь начисленными процентами стал больше первоначального взноса на 89%. Сколько процентов годовых начисляет сбербанк по срочному вкладу?

Решение: Пусть С - сумма денег, которую внёс вкладчик под х% годовых, тогда С(1 +) - сумма денег через год, а С(1,75 +) + 0,75С = С(1 +) - сумма денег с вложенными деньгами. Ещё через год  С(1,75 +)∙ (1 +). По условию задачи  эта сумма денег стала на 89% больше первоначального взноса. Составляем уравнение: С(1,75 +) (1 +) = 1,89С, сократим на С, раскроем скобки  1,75+  +1,75∙  + 0,00001х2 = 1,89, приведем к общему знаменателю: х2 + 275х-1400 =0,      х=5
Ответ: 5%.

4.6.Сплавы и растворы.

            Рассмотрим задачи на растворы и сплавы. Для того чтобы задача была более понятна, можно сделать рисунок, иллюстрирующий условие или построить таблицу.

Термин смесь употребляется,  говоря о растворах и сплавах, независимо от их вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». «Чистое вещество» определяется в каждой задаче отдельно. Все остальные вещества относятся к примеси.

Основные этапы решения задач.

1. Выбор неизвестных величин.
2. Выбор «чистого вещества»
3. Отслеживание состояния смеси.
4. Составление уравнения.

15

В ходе рассуждения составляется таблица.

5. Решение уравнения.
6. Формирование ответа.

Задачи на  растворы и сплавы я решаю не только на уроках математики, но и на  уроках химии, физики. Такие задачи должна уметь решать любая домохозяйка.

№1. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй - 70% кислоты. Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 л 50-%-ного раствора соляной кислоты?

Решение:

Пусть х литров нужно взять первого раствора, чтобы получить 100 л 50-%-ного раствора соляной кислоты. За «чистое вещество» берем кислоту. Получаем уравнение:  0,2х+0,7(100-х)=0,5∙100

16

                    0,2х+70 - 0,7х=50

              0,5х=20

                       х=40(л)

                       100-40=60(л)

Ответ: 40 литров и 60 литров раствора нужно взять, чтобы получить 100 л  50-%-ного раствора соляной кислоты.

№2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы  получившийся новый сплав содержал 30% меди?      Решение:

Пусть х кг чистого олова необходимо прибавить к этому куску, чтобы  получившийся новый сплав содержал 30% меди  За «чистое вещество» берем медь. Получаем уравнение:   0,4∙15=0,3 (х+15);   6 = 0,3х + 4,5;   0,3х  = 1,5;   х=5(кг)

Ответ: 5 кг чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы  получившийся новый сплав содержал 30% меди.

17

Заключение

Выполняя работу, я  много нового и интересного узнала. Научилась

использовать процентные вычисления в различных жизненных ситуациях. Узнала, люди  каких профессий используют процентные вычисления в своей работе. Расширила свой словарный запас экономическими терминами. И поняла, что  жить современному человеку в повседневной жизни без процентов нельзя, как в общекультурном плане, так и в  профессиональном становлении.

Я надеюсь, что буду чувствовать себя комфортно при решении любых задач

 на проценты. А еще может быть, эта работа  поможет мне  в выборе будущей профессии.

18

Библиографический список.

1. Дорофеев Г. В. Процентные вычисления. Учебное пособие для старшеклассников.– М. : Дрофа, 2003.
2. Дорофеев Г. В. Математика. Алгебра. 9 класс, учебник для общеобразовательных учебных заведений – М.: Дрофа, 2000.
3. Кац  М. Проценты. Математика. – 2004. – № 22.
4. Ткачук В. В. Математика – абитуриенту– М: Просвещение , 1994.
5. Ципкин А. Г. Справочник по методам решения задач по математике: для средней школы– М. : Наука, 1989.

19

Приложение.

Практическая работа по теме «Бюджет семьи»

Расход:

Продукты питания: 3814 руб.      -   40,5%

Коммунальные услуги:1380 руб.  -   15%

Промышленные товары:3919 руб. –  41,5%

К/корма, крупы: 300 руб.                -  3%

Всего за месяц: 9413 руб.

Всего за год:112956 руб.

Приход:

Заработная плата: 144000руб.

Детские пособия: 9000 руб.

За дрова: 800 руб.

Газ: 40 руб.

Всего за месяц:13590 руб.

Всего за год: 13590∙12=163080 руб.

Продукция с личного подворья (за год)

Молоко:10800 руб.

Мясо:60 000 руб. (за год)

Всего:70800 руб.

С/ х продукция с личного огорода: (за год)

Картофель:10 000руб.

Капуста: 720 руб.

Огурцы:960 руб.

Помидоры:1200руб.

Морковь: 600руб.

Кабачки: 1500 руб.

Всего:14980 руб.

1

Вывод:

Приход  за год::248780 руб.

Расход за год:112956 руб.

Прибыль: 135824 руб.

Данные этого исследования, конечно, приближенные с большой погрешностью. В жизни бывают всякие непредвиденные расходы. С этими результатами я познакомила своих родителей. Они призадумались и решили взяться за строительство  нового дома.

2

Задачи для самостоятельного решения

Распродажи.

1. Зонт стоил 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре – еще на 10 %. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт? (275 руб. 40 коп.; на 23,5 %)
2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожай теряет до 15 % массы, а при транспортировке – до 10 %. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план? (не менее 1,3 т).
3. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24 %, а потом еще на 10 %. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 руб.? (примерно 195 руб.)
4. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс. руб. и выставил его на продажу, повысив цену на 60 %. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил цену на 20 %. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета? (8,4 тыс. руб.)
5. На весенней распродаже в одном магазине масляные краски для рисования по 213 руб. за коробку продавали на 19 % дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок? (примерно 6 тыс. руб.)
6. На весенней распродаже шарф стоимостью 350 руб. уценили на 40 %, а через неделю еще на 5 %. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45 %. В каком магазине выгоднее купить шарф?
7. Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал стоить 57 руб. На сколько процентов снижена цена?
8. При продаже товара за 1548 руб. получено 20% прибыли. Определить себестоимость товара.
9. В магазине партию товара сначала решили продавать на 10% дороже, чем предполагалось, но затем, в связи с отсутствием спроса, товар уценили на 10%.

3

 Какая цена выше: та, что предполагалась первоначально, или последняя?

       10.Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от первоначально назначенной цены и получил при этом 10 % прибыли. Сколько процентов прибыли предполагал получить магазин?

Тарифы

           11.В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составляет 3 руб. 15 коп. вместо 2 руб. 75 коп. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен в этом году на товары на 14,5 %? (да, соответствует). Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5 руб. 50 коп.?

         12.арифы мобильных телефонов зависят от системы оплаты. В 2000 году тарифы по системам К и М были одинаковыми, а в следующие три года последовательно либо увеличивались, либо уменьшались (см. табл.). Сравните тарифы в 2003 г.

     13.В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 коп. за 1 кВт/ч. В середине года он увеличился на 50 %, а в конце – еще на 50 %. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100 %, менее, чем на 100 %, более чем на 100% ? (более, чем на 100 %)

     14.Стоимость проезда в городском транспорте составляла 5 руб. В связи с инфляцией она возросла на 200 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда в транспорте? Можно ли ответить на поставленный вопрос, не зная стоимости проезда? (в 3 раза)    

4

           15.В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20 % ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20 % выше, чем в нынешнем году? (нет).

Штрафы

     16.Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 руб. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю? (320 руб.)

       17.За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25 % месячного оклада, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5 % месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. руб.. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков оплаты на 5 месяцев?

Сложные проценты

1. Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?
2. Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить через год 3,5 тыс. руб.?
3. Вкладчику на положенные в банк деньги начислили через месяц 15 тысяч рублей процентных денег. Не взяв их, а добавив еще 85 тысяч рублей, он оставил все деньги еще на месяц. По истечении второго срока вклад вместе с процентными начислениями составил 420 тысяч рублей. Какая сумма была положена первоначально?
4. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8 % годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 руб. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете год, через два года, через пять лет?

5

5. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 %. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?
6. Фермер взял кредит в банке под определенный процент. На следующий год банк повысил процент кредита втрое, поэтому фермер вернул 2/3 всей задолженности за первый год. Через два года долг фермера составил 64 % от первоначально взятой суммы. Сколько процентов берет банк за кредит на второй год?
7. Предприниматель внес в Стройбанк некоторую сумму под определенный процент годовых. Через год 2/5 накопленной суммы он пожертвовал на развитие школы. Банк увеличил процент годовых на 15 %, и еще через год накопленная сумма превысила первоначальный вклад на 13,3 %. Каков новый процент годовых?
8. Коммерсант перечислил некоторую сумму в коммерческий банк под определенный процент годовых. Через год он снял 1/3 от накопленной за год суммы. Процент годовых банка на следующий год был увеличен вдвое, поэтому еще через год накопленная сумма увеличилась на 68 % от первоначального вклада. Чему равен первоначальный процент годовых?
9. Арендатор получил кредит в банке. На следующий год банк повысил процент кредита втрое, поэтому арендатор по окончании второго года вернул долг, превышающий первоначальный кредит на 147 %. На сколько процентов больше стал процент годовых, который удерживает банк за кредит на второй год?
10. Вкладчик внес некоторую сумму в сбербанк под определенный процент годовых. Через год он взял половину суммы и переложил ее в коммерческий банк, процент годовых которого был в два раза выше, чем в сбербанке. Еще через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила первоначальную сумму на   4 %. Каков процент годовых в сбербанке?
11. После двух последовательных снижений объема производства выпуск продукции сократился в два раза. Определите процент сокращения производства.
12. После двух последовательных повышений зарплата достигла 15/8 относительно начальной. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было вдвое больше (в процентном отношении) первого?

6

          13.роизводительность завода А составляет 40,96 % производительности завода В. Годовой процент прироста продукции на заводе А на 30 % больше годового прироста продукции на заводе В. Каков годовой процент прироста продукции на заводе А, если на четвертый год работы завод А дает то же количество продукции, что и завод В?

13. . Выработка продукции предприятием за 1996 г. увеличилась на 20%, а за 1997 г. еще на 10%. На сколько процентов увеличилась выработка продукции за два года?
14. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на p%, а за следующий год она возросла на 10% больше, чем за предыдущий. На сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%?
15. . На фирме работает 50 человек. При этом 37 из них владеют акциями компании A, а 43 − акциями компании B. Сколько человек в процентах владеют акциями обеих компаний, если каждый работник фирмы владеет хотя бы одной акцией?
16. Для того, чтобы выплатить зарплату, 38 % от зарплаты в фонд социального страхования, закупить оборудование и выплатить 20 % от указанных затрат налог государству, предприятию требуется 20160 руб.. Если заработную плату увеличить на 10 %, а затраты на оборудование увеличить вдвое, то потребуется 25416 руб.. Сколько выплачивается зарплаты и сколько тратится на оборудование?
17. Объем строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда повысится на 20%?
18. В связи с введением рационализаторского предложения время, необходимое для изготовления некоторой детали машины, уменьшилось на 20%. На сколько процентов увеличилась производительность труда?
19.  Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%.
20. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?

7

       21. За 1 квартал завод выполнил 26% годового плана, а количество продукции, выполненное за II, III и IV кварталы, пропорционально числам 6.5 : 7.8 : 9.1. Определить, на сколько процентов перевыполнил завод план, если во II квартале завод дал продукции в 11/4 раза больше, чем в I.

          22.Виктор вложил на десять лет по 1000 р. на два разных счета – с 10% годовых и 20% годовых.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвертый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

      23.Если  некоторой суммы денег положить в один банк, а остальные во второй банк под другие проценты, то через год с годовыми процентами общая сумма денег увеличится до 315 тысяч рублей, а через 2 года до 801 тысячи рублей. Если в первый банк положить   начальной суммы. А остальные во второй банк, то через год общая сумма вклада с начисленными процентами составит 360 тысяч рублей. Какова была бы через 2 года общая сумма вкладов при втором варианте их размещения в банках?

Смеси, сплавы

1. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 30 % меди?
2. Морская вода содержит 5 % (по весу) соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 40 кг морской, чтобы содержание соли в смеси составляло 2 %?

8

3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько стали одного и другого сорта следует взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30 %.
4. Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
5. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве  был на 40 % меньше, чем процент содержания меди во втором сплаве. После как их сплавления вместе получили сплав, содержащий 36 % меди. Определите процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12 кг.
6. Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что, переплавив его с добавлением 3 кг чистого серебра, получили сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90 % серебра), а переплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получили сплав 840-й пробы.
7. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй 26,5% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаковое. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве?
8. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй 50 % меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго сплава, получили новый сплав, в котором оказалось 28 % цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в полученном новом сплаве?
9. Первый раствор содержит по массе 6 % вещества А, 16 % вещества В, 4 % вещества С, второй раствор соответственно – 15 %,  9 %,  10 %;  третий – 3 %, 5 %, 2 %. В каком отношении надо смешать эти растворы, чтобы получить раствор, содержащий 12 % А,  10 % В,  8 % С?
10. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в этом новом сплаве масса олова будет равна массе цинка.

9

11. Определите в процентах состав первоначального сплава.
12. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
13. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
14. Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было 40% меди?
15. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?
16. Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
17. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
18. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
19. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
20. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра?
21. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?
22. Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа.

10

23. Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового сплава, содержащего 10% олова?
24. Слиток сплава серебра с цинком массой в 3,5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток массой в 10,5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?
25. 5 л сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 л 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 л чистой воды. Какой жирности получилась смесь?
26. К 200 куб.см 15%-ного раствора соли добавили 300 куб.см 40%-ного раствора той же соли и 250 куб.см чистой воды. Каково процентное содержание соли в полученном растворе?
27. Из двух сплавов с 60%-ным и 80%-ным содержанием меди требуется получить сплав в 40 кг с 75%-ным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава следует взять для этого?
28. Нержавеющая сталь представляет сплав железа с хромом и никелем. Сколько хрома и сколько никеля надо сплавить с 67,6 кг железа, если хрома в сплаве должно быть 15%, а никеля в 30 раз меньше, чем хрома?
29. Сколько граммов 8%-ной серной кислоты можно получить из 200 г жидкости, содержащей 62% серной кислоты?
30. До какой массы надо выпарить 800 г 10%-ного раствора соли, чтобы довести ее содержание до 16%?
31. Сколько граммов воды надо прибавить к 50 г 35%-ной соляной кислоты, чтобы получить 10%-ную кислоту?

            Древесина только что срубленного дерева содержит 64% воды. Через неделю количество воды составило уже 48% от массы дерева. На сколько уменьшилась при этом масса дерева, если только что срубленное оно весило 7,5 ц. (Ответ дать с точностью до 0,1 ц)

32. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды.

11

После определенного времени он впитывает в себя еще некоторое количество воды и содержит уже 15% ее. На сколько увеличивается при этом масса 25,75 т только что добытого каменного угля?

33. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
34. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
35. Имеются 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
36. Имеются 2 золотосодержащих сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра?
37. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?
38. Кусок сплава железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа.

12