Решение двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Городское научно-практическое соревнование школьников

«Юниор-2012»

Секция «Математика»

Решение двух линейных уравнений

с двумя неизвестными

2. Содержание

1. Титульный лист ……………………………………………………..1

Содержание ………………………………………………………....2

Введение ……………………………………………………………..3

Теоретическая часть ……………………………………………..…4

Практическая часть ………………………………………………….6

Вывод………………………………………………………………….12

2. Список литературы …………………………………………………13

4. Введение

        Слово “алгебра” происходит от арабского слова “альджабр”, означающего “совмещение сломанных костей”. Оно было использовано в названии книги  Мухаммада бен Мусы около 1200 лет тому назад и подразумевало соединение частей уравнения.

С помощью алгебры мы решаем математические задачи и разбираемся в разнообразных проблемах, связанных с числами.

        Пользуясь алгебраическими методами, ученые решают задачи и делают предположения  о возможных результатах  экспериментов.

        В алгебре часто используются уравнения, которые являются своего рода математической фразой, показывающей, как одна вещь соотносится с другой.

В 7 классе рассматриваются системы уравнений и различные способы их решения.

        Я решил рассмотреть способ, которого нет в углублении - это метод определителей. Существуют определители второго, третьего, четвертого и т.д. порядка. В моей работе рассмотрим способы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с параметром, которые другим методом решить сложно.

5. Теоретическая часть

        Систему уравнений можно решать способом сложения, подстановки, графическим способом, но если система содержит параметры, то ее можно  решить еще одним способом – методом определителей.

Цель моей работы: рассмотреть этот способ.
а1х+b1y=c1,

a2х+b2y=c2

где а1,b1,c1,а2,b2,c2 – некоторые числа и а12 +b12≠0,а22+b22≠0,

называется системой двух линейных уравнений с двумя не известными.

        Одним из основных методов решения данной системы является метод Крамера  или метод определителей. По коэффициентам системы составляем три определителя.

        ∆ - называют главным определителем системы.

        ∆x – определителем неизвестного x.

        ∆y – определителем неизвестного y.

1. Если главный определитель системы  отличен от  нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам: x=∆x/∆, y=∆y/∆.
2. Если определитель системы равен нулю,  а хотя бы  один из определителей неизвестных отличен от нуля: ∆=0, ∆x≠0; ∆=0, ∆y≠0 то  система имеет единственное решение.
3. Если же равны нулю  как главный определитель системы, так и каждый из определителей неизвестных: ∆=∆x=∆y=0, то система имеет бесконечное множество решений.  

Практическая часть

Пример 1:  Найдите  все значения параметра а, при которых система:

2х + 3у = 10

ах – 5у = 15

        имеет единственное решение.

        Данная система имеет единственное решение при условии ∆ ≠ 0, так как:

то система имеет единственное решение при а ≠ - 3 1 .

                                                                                                        3

Пример 2:  Найдите все значения параметра м, при которых система:

  мх – 3у = 12

 2х – 4у = 10

         не имеет решений,

3.         то данная система не имеет решений, если

то есть при м = 1,5.

Пример 3:  Найдите все значения параметра b, при которых система:

  3х + bу = 1,5

2х + у = 1  

        имеет бесконечно много решений, поскольку 32 + b2 ≠ 0; 22 + 1 ≠ 0 и

то данная система имеет  бесконечно много решений при условии:

        то есть при b = 1,5.

Пример 4: Найдите все значения а, при которых система

7x-2ay=5,

      (4-5a)x-4ay=7

Не имеет решений.

Чтобы данная система не имела решений, необходимо, чтобы Δ=0 и Δх ≠0 или Δy ≠0

Δ=-20а-10а2=0

 а(2+а)=0

2а+а2=0 при а=0 или а=-2

При а=0 Δ=0, Δх=0, Δy=29≠0

При а=-2 Δ=0, Δх=12≠0

Значит при а=0, а=-2, система не имеет решений

Пример 5: Сколько решений в зависимости от параметра а имеет система уравнений с двумя переменными:

y=6x+3,

y=-ax+2.

Решение:

         6x-y=-3

        -ax-y=-2

                                        Δ=0             -6-a=0; a=-6

Если а≠-6, то система имеет единственное решение

x=  Δх =  1

y=-12-3a        

Если а=-6, а Δх=1(Δх≠0), то система не имеет решений.

Ответ: При а=-6 нет решений

           При а≠-6 единственное решение

Пример 6: Пересекаются ли прямые y=4x+a и y=ax -2, если а больше  –2 ?

y=4x+a

y=ax-2

Решение:

  4х-y=-a

  ax-y=2

Ответ: Прямые y=4х+а и y=ax-2  пересекаются при всех а> -2, кроме  а=4

Пример 7:  При каком значении параметра а абсцисса точки пересечения прямых y=x+2 и y=ax -4 положительна ?

y=x+2

 y=ax-4

Решение:  

  x-y=-2

  ax-y=4

 Чтобы абсцисса х была положительной, ордината тоже должна быть положительной    

   6    >0,       2a+4>0,        a>1,        a>-2,         Ответ: a>1.

 a-1             a-1

Пример 8:  При каком значении параметра а пересекаются прямые:

а) 5x+ay=2 и 10x -3y=3;

                                                 б) ax+3y=2 и 8x+6y=5.

 Решение:

  5х+ay=2

  10x-3y=3

Так как прямые могут пересекаться только в одной точке, то система должна иметь единственное решение.

Ответ: при а≠-1,5 прямые пересекаются

ах+3у=2

8х+6у=5

Ответ: При а≠4 прямые пересекаются.

Пример: 9  При каком значении параметра а пересекаются прямые

х+ау=3

3х-6у=7

Решение: Прямые пересекаются, если система:

х+ау=3

3х-6у=7

Имеет единственное решение, следовательно:

Пример  10: При каком значении параметра а пересекаются прямые

                4х+6у=3

2х+ау=6

Решение: Прямые пересекаются, если система

4х+6у=3

2х+ау=6

Имеет единственное решение, следовательно

Пример 11:  При каком значении параметра а пересекаются прямые

3х+ау=7

6х+8у=-8

Решение: прямые пересекаются, если система

3х+ау=7

6х+8у=-8

Имеет единственное решение, следовательно:

Вывод

При выполнении этой работы я научился решать системы уравнений методом Крамера. Узнал, как решаются системы уравнений с параметрами.

Поделился своими знаниями с учащимися 7 классов.

Надеюсь использовать полученные знания в дальнейшем.

Эту работу я продолжу и изучу новые методы решения уравнений с параметрами.

Список литературы

1. Ткачева М.В. Домашняя математика: Книга для учащихся 7 класса общеобразовательных учреждений.
2. Теляковский С.А. Учебник по алгебре для учащихся 7 класса общеобразовательных учреждений.
3. Газета «Математика» 2004г. №3
4. Газета «Математика» 1999г. №46
5. Ершова А.П. , В.В. Голобородько, А.С. Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса»