Городская научно-практическая конференция школьников

                                «Интеллектуал»

                                                      Секция  МАТЕМАТИКИ

 «Линейные уравнения с параметром»

                                           Автор работы:           

                                                 Рыжков Андрей Павлович

Дёмина Арина Дмитриевна

                                                                           8 Б класс

                                                               МАОУ «СОШ № 93»

Руководитель: 

 Мартынюк Татьяна Владимировна,

учитель математики МАОУ «СОШ № 93»

                                        г. Кемерово

                                         2018 г.

Оглавление

I. Введение        3

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным        4

III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром        6

IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид        9

V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром        111

Заключение        199

       I. Введение       

          Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса  математики. Чаще всего они встречаются в заданиях повышенной сложности, а также ученики довольно часто сталкиваются с такими заданиями на ОГЭ и ЕГЭ. В прошлом году только 13,4 % девятиклассников смогли выполнить  задание 23 части С. На следующий год  нам тоже предстоит сдавать  ОГЭ, а данная тема вызывает наибольшее затруднение. Именно поэтому мы выбрали эту тему.

 Цель

   Изучение решения линейных уравнений  с параметрами.

Задачи

1.Познакомиться с понятием параметра.

2.Изучить общий принцип и метод решения линейных уравнений с параметрами.

3.Рассмотреть различные виды уравнений с параметрами.

4.Научиться решать уравнения с параметрами.

Актуальность

       Тема «Решение и исследование уравнений с параметрами» присутствует в материалах ОГЭ и Единого государственного экзамена. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры.. Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться.

   Предмет исследования: линейные уравнения с параметром.

   Объект исследования: алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным

            Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение +   =    с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение +   = 1 – всех единичных окружностей; уравнение   +   =    – совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат. Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение с параметром.

            Определение.    Уравнение вида Аx=В , где А и В зависят от параметра, то есть А=А(а), В=В(а) называется линейным уравнением с параметром а.

          Замечание. Уравнение, которое с помощью тождественных преобразований сводится к уравнению Аx=В, также называется линейным.

            Более примитивно линейное уравнение с параметром определяется  как уравнение, в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами.

            В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи:

   1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения;

   2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения урав- нения удовлетворяют заданным требованиям.

   В качестве примера рассмотрим уравнение

1. Пусть, тогда уравнение примет вид  

Решим его:

2. Пусть , тогда уравнение примет вид , решением которого является любое действительное значение .
3. Пусть , тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом случае уравнение не имеет решения.

Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения

параметра .

          Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :

     - найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;

     - найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и  параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

  Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:  

При решении линейных уравнений с параметром

сначала его нужно привести к виду, удобному для исследования

(стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром),

выполнив ряд преобразований, потом следует определить контрольные

значения параметра, т.е. те значения, при которых коэффициент при  

обращается в ноль. Эти значения разбивают множество значений параметра

на несколько множеств, которые необходимо исследовать.

III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром

        Ответ: при   корней нет, при

           Ответ: при   корней нет, при

        Ответ: при   корней нет,

                    при  .

       Ответ: при   корней нет,

                                    при  .

       Ответ: при   корней нет,

                    при  .

                  Ответ:  при

                                при

                    Ответ:  при

                                при

                        Ответ:  при

                                при

                        Ответ:  при

                                при

                           Ответ:  если , то корней нет

                                если ,

                                если

           т. е.  и       контрольные значения параметра.

          1) При  

         2)

         3) При 

                           Ответ:  если , то корней нет

                                если ,

                                если

IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид

 – стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром

Пример 1:

                Ответ:  если                         

если  

  Пример 2:

При

При

                Ответ:  при

                        при

                               при

Пример 3:

                Ответ:  при

                        при

                        при

V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром

Схема решения уравнений, приводимых к линейным :

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
3. Привести уравнение-следствие к виду  и решить его.
4. Исключить значения параметра, когда найденный корень принимает значения, при которых уравнение теряет смысл.
5. Записать ответ.

Пример 1:

                        контрольное значение параметра.

1) При          =>          => x – любое число

2) При          

Ответ: при  

             при        

Пример 2:

Ответ:  при , корней нет

                                если ,

                                при

Примеры решений уравнений, содержащих параметр в знаменателе:

Пример 1:

ОДЗ:

при

Ответ: при         решений нет;

при                

Пример 2:

Умножим уравнение на :

        Ответ:  при

                при

                при    

Пример 3:

ОДЗ:

При

Ответ: При         нет решений

При         x

Пример 4:

Умножим уравнение на :

        Ответ:  при

                при

                при    

Примеры решений уравнений, содержащих и параметр и переменную в знаменателе

Пример 1:

Умножим уравнение на :

Исключим те a, при которых :

        Ответ:  при

                при

                при    

    Пример 2:

                 => при  

г)Найдём m при :

Ответ: Если         

Если         x-любое

Если         

 Пример 3:

При m=1 не имеет смысла

При         

Найдём m при которых

Ответ: при         уравнение не имеет смысла

При                 

Заключение

          В заданиях ГИА и ЕГЭ постоянно встречаются линейные уравнения и неравенства с параметрами. Познакомившись с подобными уравнениями, мы заинтересовались этой темой. Разбираться и решать эти уравнения было очень интересно и познавательно.

         Мы изучили общий принцип и метод решений линейных уравнений с параметром, рассмотрели различные виды уравнений и научились их решать.

Надеемся, что наша научная работа поможет нам и нашим сверстникам в решении трудных задач.

Список использованной литературы:

1.Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9. М.: Просвещение, 2001.

2.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.; Харьков: Илекса; Гимназия, 2003.

3.Полякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами. М.: Илекса; 2010.

4.Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. СПб.; «Петроглиф»,2006.