Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лицей № 1»

Исследовательский проект

«Квадратные уравнения и способы их решения»

Автор: Колганов Андрей Алексеевич

Класс: 8

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна,

учитель математики

г. Подольск

2013 год

Содержание

Введение...................................................................стр. 2

1. Опрос  учащихся 8-10 классов и его результаты, стр. 3-4
2.   История квадратных уравнений…………………стр. 5-9

1. Квадратные уравнения в Вавилоне..................стр. 5
2. Квадратные уравнения в Индии.......................стр. 5-6
3. Квадратные уравнения в Китае........................ стр. 6
4. Квадратные уравнения в Древней Греции.......стр. 7
5. Квадратные уравнения в Древнем Египте.......стр. 7-8
6. Квадратные уравнения в Средней Азии...........стр. 8-9
7. Квадратные уравнения в Европе.......................стр. 9

3. Способы решения квадратных уравнений ............стр. 10-14
4. Итоги..........................................................................стр.14                                                                        
5. Список литературы ..................................................стр.15

Приложение...............................................................стр.15

Секция: «Математика»

Образовательное учреждение: МОУ «Лицей №1», город Подольск Московской области, ул. Большая Серпуховская, д.2/24, тел. 63-01-82

Название тезисов:  «Квадратные уравнения и способы их решения».

Автор:  Колганов Андрей Алексеевич

Класс: 8-А.

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна, учитель математики.

Цель:

Изучить устные приёмы решения квадратных уравнений.  

Гипотеза:

Используя устные приёмы некоторые виды уравнений можно решать легко и просто.

Актуальность:                                                                                                                   

    В 8 классе в курсе алгебры изучается тема «Квадратные уравнения». При изучении  этой темы затруднение вызывает решение квадратных уравнений с большими коэффициентами, так как в ходе решения необходимо выполнять много вычислений, извлекать корни из больших чисел. Исходя из актуальности данной проблемы, мне стало интересно найти и изучить приёмы и способы, облегчающие решение всех этих задач.   

Задачи проекта:

   Изучить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;  устные способы их решения. Научиться применять данные способы при решении уравнений с большими коэффициентами. Подобрать тренировочные упражнения для отработки изученных приёмов.

Методы исследования:

1. Работа с научно-популярной литературой для более детального изучения проблемы.

2. Социологическое исследование.

3. Анализ полученных результатов, обработка данных

Этапы исследования:

1. Опрос на тему: «Квадратные уравнения. Способы их решения. Трудности при решении».
2. Изучение теоретического материала по дано теме и различных способов решения квадратных уравнений.
3. Освоение устных приёмов решения квадратных уравнений
4. Создание  презентации для использования на занятиях математического кружка или для самостоятельного изучения учащимися данного вопроса.                                                                                               

   «Большинство жизненных задач  

 решаются как алгебраические уравнения:                                                                             приведением их к самому простому виду».

                 Лев Николаевич Толстой.   

1. Опрос

 Проводя опрос, учащимся разных классов (8-10) был предложен  ряд                                                       вопросов (с вариантами ответов):  

1) Умеете ли вы решать квадратные уравнения?  Да или  Нет

2) Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете?

А. выделение полного квадрата

Б. по формуле через D

В. по формуле через D1                                                                                                                                        Г. другие...

3) Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?

А. не знаю формул

Б. сложно вычислять

В. путаю коэффициенты                                                                                                                                                       Г. допускаю вычислительные ошибки                                                                                                                                  Д. слишком много времени уходит на решение

Е. не испытываю затруднений

4) Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений? Да или  Нет

                                                Результаты опроса.

1. Первый вопрос (Умеете ли вы решать квадратные уравнения?).  

Абсолютно все участники анкетирования умеют решать квадратные уравнения.                                              

2. Второй вопрос (Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете?). 

Большинство учеников по показаниям опроса при решении уравнений чаще всего пользуются приобретёнными в школе навыками (через D или D1).

3.  Третий вопрос (Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?).

Проблемы, возникающие у учащихся разных классов, в целом одинаковы, они заключаются в сложности вычислительных действиях.

4. Четвёртый  вопрос (Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений?).

Многие участники анкетирования  пользуются школьными приёмами решения квадратных уравнений,  но при этом знают другие способы.

Общие выводы: 

• Все школьники умеют решать квадратные уравнения.  
• Некоторые знают иные пути решения, но  в основном они пользуются обычными школьным приёмом нахождения корней через D.
• Способ решения квадратных уравнений через D подходит для всех квадратных уравнений, но, как выяснилось в ходе опроса, при решении уравнений с большими  коэффициентами возникают затруднения, связанные с вычислением: сложно вычислять и велика вероятность допустить  вычислительные ошибки.
• В некоторых случаях этих трудностей можно избежать.

2. Из истории

2.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    Необходимость обратить внимание на квадратные уравнения в Древности была вызвана потребностью решения задач, связанных с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне [1]. В их клинописных текстах встречаются уравнения типа:

X2 + X =; X2 - X = 14, 5.

    В действительности правило решения этих уравнений, предложенное в Вавилоне, совпадает                     с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

   Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, всё же  в клинописных текстах отсутствуют общие методы решения квадратных уравнений.

2.2. Квадратные уравнения в Индии

    Уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой встречаются задачи на квадратные уравнения. Индийские учёные внесли огромный вклад в науку, учёный Брахмагупта (VII в.) в свою очередь, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой установленной форме:

ах2 + bх = с, а > 0.

   В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты собственно совпадает с нашим.

   В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.                   Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары [2]:

    Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Вот уравнение соответствующее задаче:

(2 + 12 = x

 Бхаскара пишет под видом (он раскрывает скобки, домножая уравнение на 64, и переносит все неизвестные в левую часть, а известные в правую):

х2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32)2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х1 = 16, х2 = 48. [2]

   Сейчас метод, используемый Бхаскарой в этой задаче, известен как выделения полного квадрата.

2.3. Квадратные уравнения в Древнем Китае

   Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «Математика в девяти книгах». Это слабо согласованная книга более старых трудов разных авторов, предназначенная для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев. Задачи на квадратные уравнения встречаются именно там.

Вот одна из них:

   «Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота, на расстоянии 20 бу (1 бу=1,6м) от северных ворот (вне города) стоит столб, если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» [1]               

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников ВЕД и АВС получим            .                                                                                                                                          Поэтому чтобы определит неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение             х2+(k+l)-2kd=0  ,  в данном случае уравнение имеет вид: х2+34х-71000=0, откуда  х=250 (бу). Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали.

2.4. Квадратные уравнения в Древней Греции.

   Знаменитый древнегреческий математик Диофант, живший предположительно в III веке н. э., умел составлять и решать квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления квадратных уравнений.

   При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

   Вот, к примеру, одна из его задач:

   «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

или же:

100 - х2 = 96

х2 - 4 = 0

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое  8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения:

у(20 - у) = 96,

у2 - 20у + 96 = 0.

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век  нашего  летосчисления)  вывел формулу для решения квадратного равнения  ax2  +  bx  =  c  умножением  всех

членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения.                

А в общей сложности все математики Древней Греции для решали линейные и квадратные уравнения геометрически [1]. Выбирали способ решения квадратного уравнения, обращая внимание на его вид.

2.5. Квадратные уравнения в Древнем Египте.

   Познания о древнеегипетской математике сформированы главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках [7] . Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000г. до н.э. Это папирусы Ринда (по имени обнаружившего его ученого),  хранится один из них в Лондоне, другой большой папирус находится в Москве. Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера.

Вот надпись из берлинского папируса эпохи среднего царства (2000-1800г. до н.э.):

«Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть  стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это» [6] .

Ответ звучит так (геометрическое решение):

Возьми квадрат со стороной 1, и возьми  от 1, то есть в качестве стороны второй площади. Помножь  на самого себя; это дает . Поскольку сторона первой площади взята за 1,  а второй за   , то сложи обе площади вместе; это дает . Возьми корень отсюда: это будет. Возьми корень из данных 100: это будет 10.  Сколько раз входит   в 10?   8 раз.

Далее текст на папирусе прочесть невозможно, но конец очевиден: 8 × 1 = 8 — сторона первого квадрата, 8 ×() = 6 — второго.

Древнеегипетские вычислители использовали дроби вида , где k-целое положительное число и дроби , . Условие задачи можно записать так:  х2 +()+2х2 =100.                                                     Египтяне умели решать только линейные и простейшие квадратные уравнения с одним неизвестным [6].

                             2. 6.  Квадратные уравнения в Средней Азии.

Знаменитым среднеазиатским ученым, изучавшим квадратные уравнения, был ал - Хорезми.

  В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Он насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

  Для  ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих

уравнений слагаемые, а не вычитаемые.

      При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений.   Ал  - Хорезми  излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал – мукабала [1].  Слова "аль-джебр" и "алмукабала" означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений [3].

      Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения               ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения.

      При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми  на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства. 

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»                                               (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение звучит так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

    Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения [3].

2.7. Квадратные уравнения в Европе.

    В Европе формулы для решения квадратных уравнений, по образцу ал - Хорезми, были впервые изложены в « Книге абака» итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году [4].

   Он самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач, и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому установленному виду:

х2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

   Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имелся у французского учёного Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Из итальянских математиков Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. стали учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни [5]. Лишь в XVII в. благодаря труду Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3. Способы решения квадратных уравнений

Для начала повторим то, что нам уже известно. Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение общего вида:                                                                                                                                 де — x свободная переменная, a,b и c — коэффициенты, причём a0 .

   В школьной программе мы изучаем всего несколько различных способов решения квадратных уравнений, такие как:

1.  Решение через дискриминант,   при этом:                                                                                          

1. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле   
2. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный корень ;
3. Если D < 0, то действительных корней нет;

2.  Решение через D1 (в случае если коэффициент b чётной),  который находится по формуле                  D1    где k = , отсюда формула нахождения  корней:   .                             Данный способ облегчает решение уравнения, но коэффициент b не всегда чётный;

3.  Исходя из теоремы Виета, учащиеся методом подбора могут находить корни приведённого квадратного уравнения.                                                                                                                                            По теореме Виета в уравнении    сумма корней равна его второму коэффициенту ,  а произведение – свободному члену q, тоесть: ;            
4.  Также учениками изучается способ выделение полного квадрата, используется он реже всего.

 Теперь давайте разберём способы, облегчающие решение некоторых  квадратных уравнений:

Способ № I: "Решение уравнений способом «переброски»". [9] 

Рассмотрим квадратное уравнение                                                                                                                            ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.                                                                                                                         Умножая обе его части на а, получаем уравнение                                                                                                       а2х2 + аbх + ас = 0.                                                                                                                                                  Пусть ах = у, откуда  х = ; тогда приходим к уравнению                                                                                         у2 + by + ас = 0.                                                                                                                                                      Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.                                                                                    Окончательно получаем:  х1 =  и х2 = .                    

    При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, отсюда и название. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета.

Например:

Способ № II: "При помощи свойств коэффициентов квадратного уравнения". [8]

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если , то

Доказательство:

Так както.                                                                                                              В уравнениеподставим,  получим:                                                                                                    

;

;                                                                                                                                                                                                                                                                        ;                                                                                                                                                  

Откуда .

Например:                                                                                                                                                                                                                 

 2) Если  то                                                                      Доказательство.                                                                                                                                                                                      В уравнение  подставим  , получим:                                                                                                      

;

;                                                                                                                                                                                                                                                                        ;                                                                                                                                                  

Откуда .

Например:       

3) Если , то                 

Доказательство:

Уравнение принимает вид

Подставив , по известной нам формуле находим дискриминант: ;

Теперь находим корни уравнения:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                .

Например:       

4) Если , то                 

Доказательство:

Уравнение принимает вид                                                                     Подставив , по известной нам формуле находим дискриминант: ;

Теперь находим корни уравнения:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                .

Например:       

5) Если , то                 

Доказательство:

Уравнение принимает вид

Подставив , по известной нам формуле находим дискриминант: ;

Теперь находим корни уравнения:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                .

Например:       

6) Если , то                 

Доказательство:

Уравнение принимает вид

Подставив , по известной нам формуле находим дискриминант:                                      

;

Теперь находим корни уравнения:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                .

Например:       

 4. Подведем итоги

1. В ходе работы я познакомился с историей квадратных уравнений.
2. Теперь я знаю новые способы решения квадратных уравнений:                                                                                                                                                                                                                                                         

• Если , то
• Если  то
• Если , то  
• Если , то                 
• Если , то  
• Если , то     

3. Данные приемы заслуживают внимания, так как они не отражены в школьных учебниках,            но способны существенно облегчить решение некоторых видов квадратных уравнений.                 А потребность в быстром их решении обусловлена тестовой системой контроля знаний (ГИА и ЕГЭ).

4. В ходе  работы над проектом, был создан мультимедиа ресурс, в котором отражены все вопросы, теоретические и практические,  данного исследования. Этим ресурсом могут воспользоваться ученики, проявляющие интерес к изучению математики, а также его можно использовать на занятиях математического кружка.

5. Список  литературы (в частности интернет-ресурсы)

1. А.П.Савин: "Энциклопедический словарь юного математика, для среднего и старшего возраста". Издательство «Педагогика», 1985 г. Стр. 133-134   [1]
2. http://qp1qp.narod.ru/istoriya.html  [2]
3. http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/hhorezmi.htm  [3]
4. http://n-t.ru/tp/in/la.htm  [4]
5. http://www.tutoronline.ru/blog/dec_2011/kvadratnye-i-bikvadratnye-uravnenija.aspx  [5]
6. http://www.refal.net/turchin/phenomenon/chapter09.htm  Пункт 9.9 «Решение уравнений»  [6]
7. http://www.xliby.ru/istorija/drugaja_istorija_nauki_ot_aristotelja_do_nyutona/p6.php#metkadoc4 [7] («О математике Древнего Египта»)
8. http://akak.ru/recipes/9202-kak-reshat-kvadratnyie-uravneniya  [8]
9. http://www.tutoronline.ru/blog/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski.aspx  [9]

6. Приложение

Решив данные уравнения, вы можете проверить приобретённые вами навыки по    применению особых способов решения квадратных уравнений.