Учебно-исследовательская работа «Последняя цифра степени натурального числа»

Общеобразовательное учреждение

«Харламовская школа»

Таврического района Омской области

L Межрегиональная научно-практическая конференция

школьников и учащейся молодежи

Тема: «Последняя цифра степени натурального числа»

Учебно-исследовательская работа

Научное направление: математика

Выполнил:

ученица 7 класса

Общеобразовательного учреждения «Харламовская школа» Таврического района Омской области

Желябовская Кристина Николаевна

Научный руководитель: 

учитель математики

Общеобразовательного учреждения «Харламовская школа» Таврического района Омской области

Баранова Татьяна Алексеевна

Омск – 2018

Содержание

          1.Введение  …………………………………………………..…..стр.3 - 4                                                  

          2.Основная часть:

              2.1. Определение последней цифры степени натурального числа  

                     от 1 до  10 .………………………………………………..стр.4 -6                                                                      

              2.2. Определение последней цифры степени любого

           натурального числа ………………………………..….....стр.7

          3. Примеры  математических задач…………….………………стр.7 – 11

              3.1. Задачи, в которых требуется узнать последнюю цифру числа или    

                     числового выражения…………………………………….стр.7 - 9

              3.2. Задачи, в которых требуется доказать, что значение данного    

                     выражения кратно какому-нибудь числу……………….стр. 9 -10

              3.3.  Задачи, в которых требуется выяснить, каким является данное

                     число: простым или составным………………………….стр. 10-11

              3.4.  Разные задачи…………………………………………….стр. 11                                    

          4. Заключение …………….………………………………………..... .....12                                                                

          5. Литература …………………………………………………...………..13                      

1. Введение

«Умение решать задачи – такое же

 практическое искусство, как умение

 плавать или бегать на лыжах. Ему можно

 научиться только путём подражания

 или упражнения».

Д. Пойа

Во многих различных математических олимпиадах, конкурсах для 7 класса можно встретить задачу, где нужно найти последнюю цифру степени числа. Например:  найти последнюю цифру степени числа 20172018   или найти последнюю цифру суммы степеней 20162017 + 20172018.Меня  заинтересовали эти задания. Я подумала, что должен быть способ их  рационального решения.

Гипотеза:

 Существуют способы определения последней цифры у любой степени.

Цель работы:

Научиться определять последнюю цифру степени любого натурального числа и применять эти знания для решения математических задач.

Задачи:

1.  Познакомиться с научной литературой по выбранной теме работы.

2. Выяснить, какая существует закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа;

3. Научиться решать математические задачи по данной теме.

Объект данного исследования:

1.        Способы определения последней цифры степени натурального числа

Методы исследования:

1. Сбор и анализ информации для работы.
2. Самостоятельная работа  по изучению способов определения последней  цифры  степени  натурального числа.
3. Экспериментальные вычисления.

План работы:

1. Выбор темы и уточнение названия.
2. Сбор информации по выбранной теме.
3. Самостоятельное изучение  найденной информации.
4. Написание письменной части научно-исследовательской работы.
5. Создание мультимедийной презентации для защиты своей научно-исследовательской работы.
6. Выступление перед учащимися с результатами работы.

2. Основная часть.

2.1. Определение последней цифры степени натурального числа  

          от 1 до  10 Степени числа 2.  Я привела небольшое исследование: есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого я рассмотрела степени числа 2:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n  для любого показателя n. В самом деле, возьмем число 22018. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 22, 26, 210, показатели которых подсчитаем: показатель степени 2018 делим на 4, получаем число 504 и остаток 2, т.е. мы сделаем 504 «круга», и отсчитаем ещё 2 вперед, а во втором столбце числа оканчиваются цифрой 4, значит, таблица работает.

2018 = 504 * 4 + 2.

Значит, число 22018 , как и эти степени, оканчивается цифрой 4.

Возьмем к примеру,  230 , если проверить, просто посчитав, то получится 1 073 741 824, последняя цифра 4.

Таким образом, можно определить любую степень числа 2. Так, например, число   2301 оканчивается цифрой 2, так как 301=4∙75+1 , то есть 301 при делении на 4 даёт в остатке 1; число 2130  – цифрой 4, так как 130=4∙32+2, то есть при делении на 4 даёт в остатке 2; число  2399 – цифрой 8, так как 399=4∙99+3, то есть при делении на 4 даёт в остатке 3.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Рассмотрим степени числа 3:

Устанавливаем закономерность: через четыре шага последняя цифра повторяется.

Рассмотрим примеры.

1.Какой цифрой оканчивается число 3360?

Разделим 360 на 4. Получим 360=4∙90 . Следовательно, 3360 , как и  34, оканчивается цифрой 1.

2.Какой цифрой оканчивается число 3181?

Разделим 181 на 4. Получим 181=4∙45+1  . Следовательно, 3181 , как и 31,  оканчивается цифрой 3.

3.Какой цифрой оканчивается число 3326?

Разделим 326 на 4. Получим 326=4∙81+2 . Следовательно, 3326 , как и  32, оканчивается цифрой 9.

4.Какой цифрой оканчивается число  32011?

Разделим 2011 на 4. Получим 2011=4∙502+3 . Следовательно,  3201 , как и 33, оканчивается цифрой 7.

Степени числа 4.

4=22, значит, вычисления будут как с числом 2.
Например: 432=(2 2)  32 =264 , 64:4=по 16 раз, значит, последняя цифра 6.

С другой стороны, если мы составим степени числа 4, то устанавливаем, через два шага последняя цифра повторяется.

Степени числа 5, 6,7.

8=23, значит, вычисления будут такие же, как с числом 2
Например:  824=(23)24=272 ,72:4=по 18 раза, значит, последняя цифра  будет 4
9=32 , значит, вычисления будут такие же, как с числом 3
Например: 936=(32)36=72, 72 : 4 = по 18 раз, значит, последняя цифра будет 9.

2.2. Определение степени любого многозначного числа

Рассуждая аналогично, можно определить не только последнюю цифру степени 2, но и последнюю цифру степени любого многозначного числа, оканчивающегося на 2.

Рассмотрим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра числа  такая же, какой является последняя цифра числа . Разделим 2087 на 4. Получим: 2087=4∙521+3. Так как  оканчивается цифрой 8, то и , и  оканчивается цифрой 8.

Какой цифрой оканчивается число  1232011?

Разделим 2011 на 4. Получим 2011=4∙502+3. Следовательно, 1232011  , как и 32011  , как и 33 , оканчивается цифрой 7.

Определим, какой же цифрой оканчивается число 222333? Разделим 333 на 4. Получим 333=4∙83+1. Следовательно, 222333, как и 2333, как и 21, оканчивается цифрой 2.

3. Примеры математических задач

3.1.Задачи, в которых требуется узнать последнюю цифру числа или числового выражения

1.На какую цифру оканчивается число  999992017?

Решение:

Число 99999 оканчивается цифрой 9, следовательно, последняя цифра числа   такая же, какой является последняя цифра числа 92017 . Так как 9 в чётной степени оканчивается 1, а в нечётной степени 9 ,  а число 2017 - нечётное, то  последняя цифра 9.

Ответ: 9.

2.Какая цифра будет последней в записи результата 201799999?

Последняя цифра степени числа 7 повторяется через четыре шага. Разделим 99999 на 4, получим 99999=4∙24999+3 . Следовательно, 201799999 , как и  799999 , как и 73 , оканчивается цифрой 3.

Ответ: 3.

3.Какой цифрой оканчивается число ?

Число 1991 оканчивается цифрой 1, следовательно, и число  оканчивается цифрой 1.  Так как , ,, то есть последняя цифра степени числа 9 повторяется через два шага, то, разделив число, оканчивающееся на 1, на 2, получим остаток 1. Значит, последняя цифра числа  такая же, какой является последняя цифра числа , как и . Таким образом, число  оканчивается цифрой 9.

Ответ: 9.

4.Какой цифрой оканчивается сумма ?

Решение:

, как и , оканчивается цифрой 1. Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Разделим 22 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 9. Таким образом, сумма  оканчивается цифрой 0 (1+9=10).

Ответ: 0.

5.Какой цифрой оканчивается разность ?

Решение:

Установим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра степени числа 7 повторяется через четыре шага. Разделим 20 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 1. Установим, какой цифрой оканчивается число . 10- чётное число. Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 1. Таким образом,  разность  оканчивается цифрой 0 (1-1=0).

Ответ: 0.

6.Какой цифрой оканчивается произведение ?

Решение:

Установим, какой цифрой оканчивается число .

Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Разделим 15 на 4, получим . Следовательно, , как и, как и , оканчивается цифрой 8. 5 в любой степени оканчивается цифрой 5. Таким образом,  произведение оканчивается цифрой 0 (8∙5=40).

Ответ: 0.

3.2. Задачи, в которых требуется доказать, что значение данного выражения кратно какому-нибудь числу.

Признак делимости на 10: если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10, то есть кратно 10.

1. Докажите, что значение выражения  кратно 10.

Решение:

, как и , оканчивается цифрой 1. Установим, какой цифрой оканчивается число .  Последняя цифра степени числа 4 повторяется через два шага. Разделим 6 на 2, получим . Следовательно, , как и , как и  оканчивается цифрой 6. Установим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 7. Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 0 (1+6-7=0). Следовательно, значение выражения  кратно 10.

2. Докажите, что значение выражения  кратно 10.

Решение:

, как и , оканчивается цифрой 6. Установим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 2. Установим, какой цифрой оканчивается число .  оканчивается цифрой 4. Последняя цифра степени числа 8 повторяется через четыре шага. Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 4. Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 0 (6-2-4=0). Следовательно, значение выражения  кратно 10.

3.3. Задачи, в которых требуется выяснить, каким является данное число: простым или составным.

Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми. Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными. При решении подобных задач используются также признаки делимости на 2, 5 и 10.

1. Докажите, что число  – составное число.

Решение:

              Определим последнюю цифру числа . Установим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Разделим 10 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 4.  оканчивается цифрой 5. Таким образом, число  оканчивается цифрой 0 (4+5+1=10). Следовательно, число  кратно 10, а это означает,  число  составное.

2. Простым или составным является число ?

Решение:

       Определим последнюю цифру числа . , как и , оканчивается цифрой 1.  Установим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Разделим 22 на 4, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 4. Установим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Разделим 33 на 2, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 3. Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 8 (1+4+3=8).  Следовательно, значение выражения  кратно 2, а это означает, что число  составное.

3.4. Разные задачи.

На доске написано число . У этого числа вычислили сумму его цифр, у полученного числа вновь вычислили сумму его цифр и т.д. до тех пор, пока не получилось однозначное число. Что это за число?

Решение:

, . Вычислим сумму цифр числа 64: ; вычислим сумму цифр полученного числа 10: 1+0=2; получили однозначное число 1.

. Вычислим сумму цифр числа 512: 5+1+2=8; получили однозначное число 8. . Вычислим сумму цифр числа 4096: 4+0+9+6=19; вычислим сумму цифр полученного числа 19: 1+9=10; вычислим сумму цифр полученного числа 10: 10+1=1; получили однозначное число 1. . Вычислим сумму цифр числа 32768: 3+2+7+6+8=26; вычислим сумму цифр полученного числа 26: 2+6=8; получили однозначное число 8.

Устанавливаем закономерность: через два шага повторяется 8 или 1. Разделим 2018 на 2, получим 2018 = 2 · 1009. Следовательно, при указанных вычислениях для данного числа , как и для числа , полученное однозначное число будет равно 1.

Ответ: 1.

4. Заключение. 

Проводя исследования, я определила закономерности возведения натурального числа в степень:

1.        Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

2.        Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

3.        При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

4.        Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

5.        Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

      Материал мой может быть полезен моим одноклассникам, а также тем ребятам, кто увлекается математикой и готовится к олимпиадам по математике.

5. Литература

1. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 – 9 классов: Кн. Для учителя / Н.П. Кострикина – М.: Просвещение, 1991.
2.  Математические олимпиады в школе. 5 – 11 класс / А.В. Фарков. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005.
3. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся / Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984.
4. Удивительный мир чисел: (Матем. головоломки и задачи для любознательных): Кн. для учащихся / Б.А. Кордемский, А.А. Ахадов. – М.: Просвещение, 1986.
5. Математический кружок. 6 – 7 классы / А.В. Спивак. – М.: Посев, 2003.

        6. Интернет-ресурсы. //my.1september.ru/portfolio/