ПРОЕКТ на тему: «Решение некоторых задач на комбинации фигур в пространстве»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №26 города Сызрани городского округа Сызрань Самарской области

ПРОЕКТ

на тему: «Решение некоторых  задач  на комбинации фигур в пространстве»

Сызрань, 2018 год

                                               Введение.

Определение проблемы: необходимость разобрать  решения  задач на комбинацию фигур в пространстве, на вычисление их объемов и площадей.

Задачи исследования: изучение методов решения некоторых, наиболее часто встречающихся, видов  математических задач из I части тестов ЕГЭ профильного уровня; рассмотрение структуры процесса решения задач; развитие умений самостоятельно конструировать свои знания; ориентироваться в информационном и социальном пространстве.

Гипотеза: применение разнообразных форм работы, развитие умения составлять формулы зависимостей между математическими величинами и фигурами на основе обобщения частных случаев.

Обсуждение методов исследования.

- Метод конкретных ситуаций (совместное обсуждение методов решения задачи под руководством преподавателя, следование принципу «процесс обсуждения важнее самого решения», самостоятельное изучение и подготовленное в письменном виде решение задач)

Результаты исследования.

- Сбор, систематизация полученной информации в виде решенных задач, корректировка

Анализ полученных данных.

- Оформление результатов исследовательской работы в электронном виде

Вывод:

- При решении  задач на комбинацию стереометрических фигур важно выявить  зависимость между элементами фигур, правильно составить формулу зависимости между величинами;

- При решении геометрических задач внимательно анализировать условие задачи, находить взаимосвязь между элементами геометрических фигур, применять разные методы решения задач.

Практическая часть.

№1. Комбинация параллелепипеда и цилиндра. 

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

 По условию задачи цилиндр вписан в параллелепипед, следовательно, в основании параллелепипеда – квадрат. Радиус основания цилиндра 3 см, тогда сторона квадрата равна 2R = 2 = 6 см.

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V = a,

V = 6  = 108 см3.

Ответ: 108 см3.                                                                                

№2. Комбинация призмы и цилиндра.

В основании прямой призмы лежит квадрат, сторона которого 8 см. Боковые ребра призмы равны  Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение. Найдём радиус основания цилиндра по теореме Пифагора:

R = 

R =  = 2

Найдем объем цилиндра по формуле : V = πh

V = π∙32∙ = 64

Ответ: 64

№3. Комбинация призмы и цилиндра.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Боковые ребра равны см.  Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.

По теореме Пифагора найдём диаметр:

 = 100+576=676

d = 26

Следовательно, радиус равен половине диаметра и равен 13.

Найдем объем цилиндра по формуле: V = πh

V = π∙169∙∙ =845

Ответ: 845

№4. Комбинация конуса и цилиндра.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.

Объём конуса равен 85 см3. Найдите объём цилиндра.

Решение.

      Объем конуса равен: V = 𝜋h

      Объем цилиндра равен: V = 𝜋h

      Мы видим, что объем цилиндра в три раза больше объема конуса, следовательно объем цилиндра равен:

V = 3∙85 = 255

Ответ: 255

№5.  Комбинация конуса и цилиндра.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 234 см3.

Решение.

 Объем конуса равен: V = 𝜋h

 Объем цилиндра равен: V = 𝜋h

 Следовательно, Объем конуса равен:

V = 234∙∙ = 78

Ответ: 78

 №6.  Комбинация шара и цилиндра.

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 54 см2. Найдите площадь поверхности шара.

Решение.

Площадь полной поверхности цилиндра равна:

 +2∙π∙r∙h

       Высота равна двум радиусам, следовательно, площадь полной поверхности цилиндра равна:

S = 2 +  = 6 = 54

Площадь полной поверхности шара равна:

S =  = ∙54 = 36

Ответ: 36

№7.  Комбинация шара и куба.

В куб вписан шар радиуса 6 см. Найдите объем куба.

    Решение.

Радиус равен 6 см, следовательно, сторона равна 12.

Объем куба равен стороне в третьей степени:

V =  =  = 1728

Ответ 1728

№8.  Комбинация сферы и куба.

Объём куба, описанного около сферы, равен 343 см3. Найдите радиус сферы.

Решение.

Объем куба равен стороне в третьей степени, следовательно сторона равна:

a =  =  = 7

Радиус сферы, вписанной в куб, равен половине стороны:

R = ∙7 = 3,5

Ответ: 3,5

№9.  Комбинация конуса и пирамиды. 

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на 

Решение.

По теореме Пифагора найдём радиус:

R =  =  = 4

Объем конуса равен: h

V = ∙32∙6π = 64π

Ответ: 64

  №10.  Комбинация конуса и пирамиды. 

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.

AB = 2r

AC =  = 2r∙

R = r∙

 =  =

Следовательно:

 =2 (h – общая)

Ответ: 2

№11.  Комбинация куба и сферы. 

Вершина A куба  с ребром 12 см является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину 

   Решение.

По рисунку видно, что внутри квадрата находится одна восьмая часть сферы.

 =  =

Ответ: 72

Литература.

Л.С.  Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. – Геометрия 10-11. Москва «Просвещение» 2015г.

ege.sdamgia.ru

ege.sdamgia.ru/prob_catalog