Буклет

Слайд 1

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа №4 г . Зея Выполнил : Кальченко Антон , ученик 9Б класса Руководитель : Пономаренко Екатерина Ивановна , учитель математики Способы решения квадратных уравнений

Слайд 2

Задачи 1. Собрать информацию из справочников, учебников, интернета по теме; 2. Рассмотреть стандартные и изучить нестандартные способы решения квадратных уравнений; 3. Выявить наиболее удобные способы; 4.Разработать анкету и проверочные работы для опроса учеников 9кл. школы по владению ими разными способами решения квадратных уравнений, умению выбирать удобные и рациональные способы; 5 . Собрать материал для создания буклета и презентации проекта по теме;

Слайд 3

1. Изучение литературы по теме в школьных учебниках по математике 8-9кл; тематических Интернет-ресурсов; 2.Выступления на уроках перед учениками своего 9 класса по ознакомлению с разными способами решения квадратных уравнений, умению выбирать удобные и рациональные способы ; 3. Проведение проверочных работ и анкетирования среди учеников 9 классов школы ; 4.Создание буклета и презентации по теме; Методы исследования

Слайд 4

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + b х + с = 0, где х – переменная, а, в ,с –некоторые числа и а ≠ 0. Числа а, в , с – коэффициенты уравнения. Число а – первый коэффициент, в- второй коэффициент , с – свободный член Определение

Слайд 5

Пол͢͢͢ ные Неполные ах 2 + b х + с = 0 ах 2 + b х = 0 ах 2 + с = 0 Приведенное ах 2 = 0 х 2 + p * x + q = 0 Виды уравнений

Слайд 6

Способы решения 1 . По формуле 2 Разложение левой части на множители 3.Метод выделения полного квадрата 4. С использованием теоремы Виета 5. Способом «переброски» 6. По свойствам коэффициентов 7. Введение новой переменной

Слайд 7

ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0. Формула корней : , где дискриминант D = b 2 - 4 ac . Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня, D = 0, то уравнение имеет один корень х =- в/2а, D < 0, то уравнение не имеет корней . Решение квадратных уравнений по формуле

Слайд 8

1) Уравнение : 4х 2 + 7х + 3 = 0 а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1, D > 0 , два разных корня ; , x 1 = -1 и x 2 = 0, 75 2) Уравнение : х 2 -16х + 64= 0 D = b 2 - 4 ac = (16) 2 - 4 • 1 •64= 256-256 = 0, D = 0 , один корень: х = - в /2а , х= 16/2, х = 8 . 3) Уравнение : 3х 2 - х + 7 = 0 D = b 2 - 4 ac = =(-1) 2 - 4 • 3 •7 = 1 - 84 = - 83 , D < 0. Данное уравнение корней не имеет. Примеры

Слайд 9

Уравнение : 4х 2 +20х = 0 . Вынесем общий множитель за скобки : 4х*(х+5) = 0. Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из его множителей равен нулю: х =0 или х +5=0 . Корни уравнения : х = 0 ; х = - 5. Уравнение: 25х 2 -9 = 0 . Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: (5х-3)*(5х+3)=0, 5х-3=0 или 5х+3=0. Получаем корни уравнения: х=0,6 и х= -0,6. Разложение на множители

Слайд 10

Метод выделения полного квадрата 1. Решим уравнение: х 2 + 24х+144 = 0. Применяем формулу квадрата суммы. Получаем (х + 12) 2 =0 , х+12=0, х= - 12 2. Решим уравнение : х 2 - 34х+289 = 0 . Получаем (х - 17) 2 =0 , х-17=0, х= 17 Уравнения решаются быстро и красиво .

Слайд 11

Выделим в левой части полный квадрат. Выражение х 2 - 16х = х 2 – 2 * 8*х =х 2 – 2 * 8 *х + 8 2 - 8 2 = = ( х - 8 ) 2 -64. Уравнение примет вид: (х - 8 ) 2 -64+63=0 ( х -8) 2 – 1=0 , ( х -8) 2 = 1. Получаем : х -8 = 1 или х -8 = -1. Корни : х 1 = 9, х 2 = 7. Решим уравнение х 2 -16х +63 = 0

Слайд 12

Приведенное квадратное уравнение имеет вид, если а =1: х 2 + p * x + q = 0. Если x 1 , x 2 - корни уравнения, то они удовлетворяют теореме Виета: x 1 * x 2 = q , x 1 + x 2 = - p Использование теоремы Виета

Слайд 13

а) x 2 – 5 x + 6 = 0 x 1 = 2 и x 2 = 3, так как q = 6 > 0 и p = 5> 0; б) x 2 - 9 x - 10 = 0 x 1 = - 1 и x 2 = 10, так как q = -10 < 0 и p = 9 > 0 в) x 2 +17 x + 70 = 0 x 1 = - 7 и x 2 = -10, так как q = 70 > 0 и p = - 17 < 0. . Примеры

Слайд 14

В уравнении ах 2 + b х + с = 0 коэффициент а умножается на свободный член, как бы он «перебрасывается» к коэффициенту с. Примем ах = у, тогда х = у/а; Получаем новое уравнение у 2 + by + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Далее получаем х 1 = у 1 /а и x 2 = у 2 /а . Способ «переброски» коэффициентов

Слайд 15

« Перебросим» коэффициент 7 к свободному члену (-2*7=14), получим уравнение: у 2 + 13у-14 = 0. По теореме Виета найдем корни: у 1 = 1 и у 2 = -14. Тогда х 1 = 1/ 7 и x 2 = -14 / 7= - 2 Решим уравнение: 7х 2 + 13х -2 = 0.

Слайд 16

А) Если в квадратном уравнении ах 2 + b х + с = 0 второй коэффициент в = 2 k – четное число и k =в /2 , тогда D = k 2 – ac и формула корней примет вид Уравнение : 29х 2 + 34 х+5 = 0. а = 29, b = 34 , с =5, k = 34 /2=17; D = k 2 - ac = (1 7) 2 - 29 *5 = 289-145 = 144, D > 0, два различных корня : x 1 = -5/29 и x 2 = -1 . Свойства коэффициентов

Слайд 17

Б ) Если сумма коэффициентов а + b + с = 0 , то х 1 = 1, х 2 = с/а. Решим уравнение: 41х 2 – 40 х- 1 = 0. Так как а + b + с = 41-40-1 = 0, то х 1 = 1, х 2 = c / a = -1/41 . В ) Если а – в + с = 0, то х 1 =- 1, х 2 = -с/а . Решим уравнение : 32х 2 +47х+15=0 Т. к. а – в + с = 32 – 47 + 15 = 0, то х 1 = - 1, х 2 = - c / a = -15/32

Слайд 18

Способ введения новой переменной Уравнение: 4х 4 - 5 х 2 + 1 = 0 Введем переменную у = х 2 Получим уравнение : 4 у 2 -5 у + 1 = 0. Его корни: у 1 = 1 и у 2 = 0,25. Тогда x 2 =1 и x 2 =0,25 . Корни уравнения: х 1 = - 1, х 2 = 1, х 3 = - 0,5, х 4 = 0,5. Биквадратные уравнения: ах 4 + b х 2 + с = 0. Вводят переменную у= х 2

Слайд 19

Введем переменную у= 5х+3 Получим уравнение: у 2 – 3у+2 = 0. По т. Виета найдем корни у 1 = 1, у 2 = 2. Тогда 5х+3=1 и 5х+3=2 . Решим их . Корни уравнения х 1 = - 0,2 и х 2 = - 0,4 . Уравнение: ( 5х + 3) 2 =3*( 5х+3 ) – 2

Слайд 20

Уравнения из второй части ОГЭ а ) ( х-3)*(х-2)*(х-1 )+х=3 б) (х 2 - 1)* (х 2 +1) - 4*( х 2 - 11)= 0 в) (х 2 - 25) 2 +(х 2 + 3х-10) 2 =0 г) (х+5) 3 =25*(х+5) д) (х+2) 4 =4(х+2) 2 + 5 е) х 4 = ( х-20) 2 ж) х 6 = (6х-5) 3 з) (2х-3) 2 *(х-3) = (2х-3) * (х-3) 2 и) (х 2 +х+1) 2 *(х 2 +х+3) 2 =15 к)(х 2 - 3х) 2 -2х 2 + 6х -8 =0

Слайд 21

Работы учащихся

Слайд 22

Результаты проверочных работ и анкетирования учащихся 9-х классов школы

Слайд 25

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ