Аликвотные дроби

XIV Всероссийская конференция учащихся  «ШАГИ В НАУКУ»

Аликвотные дроби

        Выполнил

        Цуцков Дмитрий,

        ученик 7 «А»  класса

        Муниципального образовательного

        учреждения

        «Средняя общеобразовательная

        школа №2», п.Белоусово

        Жуковского района, Калужской области.

        Руководитель: Пешкова

        Оксана Константиновна

        учитель математики МОУ «СОШ№2»,

        п.Белоусово

2014

Содержание

Введение        3

Глава 1. Теоретическая часть        5

Происхождение аликвотных дробей        5

Основные операции над аликвотными дробями        9

Глава 2. Практическая часть        11

Решение задач        11

Решение олимпиадных задач        13

Решение задачи из ЕГЭ        14

Авторская задача        14

История дробей с помощью ребусов        15

Заключение        17

Список литературы        18

Введение

        Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при делении добычи после охоты. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Например, измеряя длину участка шагами, человек встречался с таким явлением: в длине укладывалось десять шагов, и оставался остаток меньше одного шага.  Поэтому, второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – ; ;  – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – на древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример:

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби.

Сумма такого типа использовалась математиками, как определение, для дробей начиная с времен древнего Египта до средневековья.

Задачи с использованием в  решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего,  задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Цель исследования: выяснить, какое значение имеют  аликвотные дроби в нашей жизни

Задачи исследования:

•  Узнать происхождение аликвотных дробей;
•  Рассмотреть основные операции  с аликвотными дробями;
•  Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей;
•  Составлять и решать задачи практического содержания.

Объект исследования: аликвотные дроби.

Предмет исследования: действия с аликвотными дробями и их использование при решении задач.

Методы исследования: сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Гипотеза: аликвотные дроби, используемые много лет назад актуальны и сейчас, даже облегчают решение экзаменационных и олимпиадных задач.

Глава 1. Теоретическая часть

Происхождение аликвотных дробей

        Тема «Аликвотные дроби» является интересной темой для исследования дробей.  Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей.

Например,

                                         1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора».            (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби. К примеру:

Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 .

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е. аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

Всякую другую дробь египтяне представляли как сумму  аликвотных дробей, например 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 и так далее.

Это записывалось так: /2 /16; /2 /4 /8.

В некоторых случаях это кажется достаточно просто. Например,  2/7 = 1/7 + 1/7. Но  ещё одним правилом египтян было отсутствие в ряду дробей повторяющихся чисел. То есть 2/7 по их мнению было 1/4+1/28.

Сейчас сумма нескольких  аликвотных дробей называется египетской дробью. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Проводить различные вычисления, выражая все дроби через единичные, было, конечно, очень трудно и отнимало много времени. Поэтому египетские ученые позаботились об облегчении труда писца. Они составили специальные таблицы разложений дробей на простейшие. Математические документы древнего Египта это не научные трактаты по математике, а практические учебники с примерами, взятыми из жизни. Среди задач, которые должен был решать ученик школы писцов, - вычисления и вместимости амбаров, и объема корзины, и площади поля, и раздела имущества среди наследников, и другие. Писец должен был запомнить эти образцы и уметь быстро применять их для расчетов.

Самый древний памятник египетской математики, так называемый «Московский папирус», - документ XIX века до нашей эры. Он был приобретен в 1893 году собирателем древних сокровищ Голенищевым, а в 1912 году перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В нем содержалось 25 различных задач.

Например, в нем рассматривается задача о делении 37 на число, заданное как (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Путем последовательного удвоения этого дробного числа и выражения разности между 37 и тем, что получилось, а также при помощи процедуры, по сути, аналогичной нахождению общего знаменателя, получается ответ: частное равно  16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Эта задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей:  Разделить 7 хлебов между 8 людьми.  

Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Основные операции над аликвотными дробями

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

Т.е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, знаменателями которых  являются последовательные  числа, дающие в произведении знаменатель данной дроби.

Вернемся к формуле и докажем это равенство:

          1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))                                                                

                 (1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

                 ( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем: 1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

Но мы пойдем дальше, и на основании разности аликвотных дробей решим, на первый взгляд, трудноразрешимую для обычного человека задачу:

1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????

Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

1/6=1/(2*3)=1/2-1/3

1/12=1/(3*4)=1/3-1/4

1/20=1/(4*5)=1/4-1/5  и т.д.

         Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается: 1=1/2+1/2 (Наша формула действует!). Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:

½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;

На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42  => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.

Глава 2. Практическая часть

Решение задач

Задача 1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

а) трех слагаемых

 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

в) 5-и слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=

1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42=

1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

Задача 2. Митя обнаружил, что 1/n часть класса написала работу лучше него, а 1/(n-1) часть класса – хуже него. Сколько учеников в классе?

Если 1/n написало лучше, а 1/(n-1) хуже. В идеале никто не написал работу также как и он, но с таким же результатом могло быть и большее количество учеников.  

За нескольких сказать ничего не могу, а за одного:  Мы можем взять число всех учеников классе за 1. И тогда получается что мы должны разложить число 1 на 3-и аликвотные дроби.

1=1/n+1/(n-1)+1/x

1/x=1/n*(n-1) тогда получается что в классе n*(n-1) учеников.

1=1/(n-1)+1/n+1/(n*(n-1))

Методом подбора мы видим что 1 раскладывается на аликвотные дроби только следующим образом : 1=1/2+1/2=1/2+1/3+1/6  во всех других случаях мы не сможем получить из суммы других аликвотных дробей 1.

Так что,  в случае, если он один написал работу с таким результатом, можно утверждать, что в классе 6 человек.

А если таких учеников было несколько, то задача имеет множество решений. 1/x=(n*(n-1)-n –n+1)/(n*(n-1))

Задача 3. Найти сумму девяносто девяти слагаемых

Решение.

Задача 4. (Задача № R64 папируса Архимеда – древнеегипетского учебника)

         «Если кто-то говорит вам: у нас есть 10 хекат пшеницы на 10 человек, но есть разница между ними в 1/8 хеката пшеницы. В среднем это 1 хекат. Вычитаем 1 из 10, получаем 9. Возьмем половину от разницы, т.е. 1/16. Умножим на 9. Далее 1/2 и 1/16 хеката прибавим к среднему значению и вычтем 1/8 хеката у каждого последующего человека. Вот расчеты того, о чем с вами говорим:

        1 1/2 1/16

        1 1/4 1/8 1/16

        1 1/4 1/16

        1 1/8 1/16

        1 1/16

        1/2 1/4 1/8 1/16

        1/2 1/4 1/16

        1/2 1/8 1/16

        1/2 1/16

        1/4 1/8 1/16

        10»

Объяснение: Задача заключается в том, чтобы поделить 10 хекат пшеницы между 10 людьми. Обозначим людей: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 и H10. S — это общее количество, то есть 10 хекат пшеницы. N — количество частей. У каждого разное количество хекат. При этом у каждого на 1/8 хекат больше, чем у предыдущего. Пусть H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 и т. д., у последнего больше всех пшеницы. Шаг прогрессии составляет R = 1/8.

Находим среднее количество хекат, которое раздается каждому, то есть S/N = 10/10 = 1.

Затем вычислим ту разницу, которая получается при последующем делении. То есть N-1 = 10-1, равно 9. Таким образом R/2 = 1/16, а R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Самое большое количество вычисляется по формуле: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Распределение на 10 частей :        H10 = 1 + 1/2 + 1/16.

        H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16

        H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16

        H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16

        H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16

        H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16

        H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16

        H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16

        H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16

        H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

        Итог = 10

Вполне возможно, что решение этой задачи имело практическое применение.

Решение олимпиадных задач

Задача 5. Найди сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

Задача 6. Найти сумму

½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90

1. 1,  b) 10/11,  c) 4/5, d) 8/9, e) 9/10

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10

Ответ  e)

Решение задачи из ЕГЭ

        Собирая информацию по теме «Аликвотные дроби» в Интернете мне случайно попалась задача из ЕГЭ по математике С6. Там было приведено большое решение. Я подумал, почему бы не решить эту задачу с помощью формулы для аликвотных дробей. Судите сами:

        С6: Решите в натуральных числах уравнение: , где .

Решение: Используя формулу для аликвотных дробей 1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) можно легко решить эту задачу.

        Оказывается, что аликвотные дроби, используемые много лет назад актуальны и сейчас, даже облегчают решение экзаменационных и олимпиадных задач. Для меня это было открытием.

Авторская задача

        Разобравшись в данной теме я придумал свою задачу:

        Представьте дробь  в виде суммы двух аликвотных дробей, так чтобы знаменатели дробей были различны.

        Решение: .

История дробей с помощью ребусов

На всех языках дробь называется «ломаным (раздробленным) числом».

На протяжении многих веков египтяне именовали дробь "ломаное число”.

        Первая дробь с которой египтяне познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называемые единичными.

        Итак, в древнем Египте были дроби только с числителем, равным единице, дроби вида 1/n, так называемые аликвотные дроби.

        Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.

Следующей дробью была треть.

        Вместо 1/12 римляне говорили - одна унция.

В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:

1/2– половина, полтина,

1/3– треть,

1/4– четь,

1/6– полтреть,

1/8– полчеть,

1/12– полполтреть,

1/16– полполчеть,

1/24– полполполтреть (малая треть),

1/32– полполполчеть (малая четь),

1/5– пятина,

1/7– седмина,

1/10– десятина.

Заключение

Таким образом, при разработке данной исследовательской работы,  мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида a/b  может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач.  Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

        На конкретных примерах подтвердили выдвинутую гипотезу о том, действия с аликвотными дробями облегчают решение олимпиадных задач и задач из ЕГЭ. Данная работа может быть использована на факультативных занятиях по математике и при подготовке к ЕГЭ.

Список литературы

1. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.;
2. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.;
3. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.;
4. Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.;
5. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.;
6. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.