"Решаем неравенства просто и красиво"

Естественные науки

Работа ученицы 11 класса

МОУ Нижнеспасской сош Рассказовского района

Белобрыкиной Оксаны

Руководитель:

учитель математики МОУ Нижнеспасской сош Рассказовского района

Комиссарова Ирина Николаевна

Село Нижнеспасское

2010 год

Содержание

Введение…………………………………………………………………стр. 3

1. Метод интервалов……………………………………………………стр. 5

1.  Линейные неравенства………………………………………….стр. 7
2.  Квадратные неравенства………………………………………..стр. 8
3.  Дробно-рациональные неравенства……………………………стр. 10

2. Обобщенный метод интервалов……………………………………..стр. 12

1.  Неравенства высших степеней………………………………….стр. 14
2.  Сложные дробно-рациональные неравенства………………….стр. 15
3.  Показательные неравенства……………………………………..стр. 16
4.  Иррациональные неравенства…………………………………...стр. 16
5. Комбинированные неравенства………………………………….стр. 17

Заключение………………………………………………………………..стр. 18

Литература………………………………………………………………...стр. 19

ВВЕДЕНИЕ

        Каждому человеку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Все познавательные процессы эффективно развиваются, когда люди включаются в активную поисковую деятельность. Поиск нового составляет основу для развития воли, внимания, памяти, воображении и мышления. Мой проект направлен на развитие математического мышления, умение проектировать свою работу, реализовывать задуманное.

Имея определённый опыт в решении неравенств, я попробовала привести в систему накопленные мною знания о решении неравенств методом интервалов. Метод интервалов, являясь наиболее эффективным, позволяет не просто решать многие задачи за ограниченный промежуток времени, но решать их красиво, изящно и главное – быстро! А это совсем немаловажно, особенно в условиях сегодняшнего дня, когда в рамках ЕГЭ учащимся предлагается решить большое количество заданий.

Цель проекта: 
исследование возможности решения различных неравенств методом интервалов, применение  метода интервалов для решения нестандартных неравенств.

 Задачи проекта:

• овладеть  методами решения различных неравенств с помощью  метода интервалов, в том числе и сложных нестандартных неравенств;
• рассмотреть вопрос об универсальности метода интервалов.

В начале работы немного о теории решения рациональных неравенств классическим (школьным) методом интервалов для многочленов. Замечу, что идея этой разновидности метода интервалов обсуждается во всех действующих школьных учебниках и приведена здесь для полноты картины. Кроме того, показана возможность формализации решения, которая становится возможной в результате выполнения строго прописанной последовательности шагов.

  Разновидности метода интервалов, приведённые далее, не относятся к стандартным школьным, а потому заслуживают особого внимания. Какие - то из них рождались как результат совместной  работы на уроках и сразу получали яркие названия, какие - то  находки я обнаруживала в литературе и успешно применяла на практике, а что - то с благодарностью взяла из материалов Телешколы.

1. Метод интервалов

В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена x – α: точка α делит числовую ось на две части – справа от точки α двучлен x – α положителен, а слева от точки α – отрицателен.

Пусть требуется решить неравенство:

(x – α1)( x – α2)… (x – αn) > 0,                                                    (1)

где α1, α2, …, αn-1, αn – фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α1 <  α2 < … < αn-1 < αn.

Рассмотрим многочлен

Р(x) = (x – α1)( x – α2)… (x – αn).                                               (2)

Для любого числа х0 такого, что х0 > αn, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении (2) положительно, а значит, Р(х0) > 0. Для любого числа х1, взятого из интервала (αn-1, αn), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x – αn), положительное, поэтому число Р(х1) < 0 и т.д.

На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа α1, α2, …, αn; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа αn, ставят плюс, в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем – знак плюс, затем – минус и т.д. Тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства

(x – α1)( x – α2)… (x – αn) <  0,                                  (3)

где α1 <  α2 < … < αn, будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус.

Пример 1. Решить неравенство

(х+3)(х-4)(2х+5) <  0.                                                (4)

Решение.

Перепишем неравенство в виде

2(х-(-3)) (х-4) <  0.

Отметим на координатной оси числа (-3), и 4 и расставим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке 1

Ответ: -∞ < х < -3; < x < 4.

Пример 2. Решить неравенство

х7 + 8 х4 – х3 – 8 > 0.                                           (5)

Решение.

Перепишем неравенство в виде

(х4 – 1)( х3 + 8) > 0

или

(х – 1)(х + 1)( Х2 + 1)(х +2)( х2 – 2х +4) > 0.             (6)

Поскольку х2 + 1> 0 и х2 – 2х +4> 0 для любого действительного х, то неравенство   равносильно неравенству (х – 1)(х + 1)(х +2) > 0. Применяя метод интервалов, находим решения последнего, а значит, и исходного неравенства: это будут все х из двух промежутков  -2 < х < -1, 1< х < +∞ (рис.2).

Ответ: -2 < х < -1; 1< х < +∞.

Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида

,                                                      (7)

где Р(х) и Q(х) – многочлены, если заметить, что на множестве всех действительных чисел неравенство (7) равносильно неравенству

Р(х) ∙ Q(х) > 0.

Пример 3. Решить неравенство   

.                                                   (8)

Решение.

Неравенство (8) равносильно неравенству

(х2 – 5х + 6)(4 – х)(х2 + 3х + 2) < 0.

Перепишем это неравенство в виде

 (х – 2)(х – 3)(х – 4)(х + 1)(х+2) > 0.                                 (9)

Применяя метод интервалов, получим, что решениями неравенства (9), а значит, и решениями исходного неравенства, являются все х из трех промежутков –2 < х < –1,  2 < х < 3, 4 < х < + ∞.

Ответ: –2 < х < –1;  2 < х < 3;  4 < х < + ∞.

1.1 Линейные неравенства

Рассмотрим возможность применения метода интервалов для решения линейных неравенств. Решим неравенства:

а) 3х – 6 >  0.

Рассмотрим функцию у = 3х – 6.

Нули функции: 2.

x > 2

Ответ: (2; +∞).

б) -5x – 1 ≥ 0

Рассмотрим функцию у = -5x – 1.

Нули функции: -1/5.

х ≤ -1/5

 Ответ: (-∞; -1/5].

Получилось легко, быстро и наглядно.

1.2. Квадратные неравенства

Использовать метод интервалов при решении квадратных неравенств также достаточно легко. Необходимо найти корни соответствующего квадратного трехчлена, отметить их на числовой прямой и определить знаки.

а) –x2 + 3x – 2 ≤ 0

–x2 + 3x – 2 = 0

х1=1, х2=2.

x є (-∞; 1] U [2; +∞)

Ответ: (-∞; 1] U [2; +∞)

б) -2x2 + 3x – 1 > 0

-2x2 + 3x – 1 = 0

х1=0,5, х2=1.

x є (0.5; 1)  

Ответ: (0.5; 1)

в) 2x2 - 2x + 3 ≥ 0

2x2 - 2x + 3 = 0

D<0, a>0, следовательно, на множестве всех чисел квадратный трехчлен    2x2 - 2x + 3 имеет положительные значения.

x є (-∞; +∞)

Ответ: (-∞; +∞)

г) x2 - 2x + 1 ≤ 0

x2 - 2x + 1 = 0

х=1

x = 1

Ответ: {1}

И квадратные неравенства решаются методом интервалов, но не стоит забывать и о функционально-графическом методе решения, он также дает очень наглядное решение, особенно в случаях, когда D < 0 и D = 0.

1.3. Дробно-рациональные неравенства

Методом интервалов можно быстро и наглядно решать как  строгие, так  и нестрогие дробно-рациональные неравенства. Рассмотрим алгоритм решения нестрогого неравенства:

1) Ввести функцию.

2) Область определения.

3) Нули функции.

4) Отметить нули на области определения.

5) Поставить знак на интервалах.

6) Выбрать промежутки в соответствии со знаком неравенства.

Решим неравенства:

а).

   Решение.

.

 Разложим на множители числитель и знаменатель левой части неравенства .

Рассмотрим функцию.

D(y):x ≠ -3; x ≠ 2

Нули функции: 3

 x є (-∞; -3)U  (-3; -2) U [3; +∞).

Ответ: (-∞; -3) U (-3; -2) U [3; +∞)

б).

Решение.

Преобразуем исходное неравенство

,      .

Рассмотрим функцию.

D(y):x ≠ 0.

Нули функции: 1.

x є (-∞; 0) U [1; +∞).

Ответ: (-∞; 0) U [1; +∞).

2. Обобщенный метод интервалов

Иногда алгебраические неравенства степеней более высоких, чем два, путем равносильных преобразований приводятся к виду

( х – α1)а( х – α2)в…( х – αn-1)с( х – αn) d > 0,

Где а, в, с, d… – целые положительные числа; α1, α2,…, αn – действительные числа, среди которых нет равных, такие что α1 < α2 < … < αn-1  < αn.

Такие неравенства могут быть решены с помощью так называемого обобщенного метода интервалов.

В основе его лежит следующее свойство двучлена (х – α)n: точка α делит числовую ось на две части, причем:

а) если n четное, то выражение (х – α)n справа и слева от точки х = α сохраняет положительный знак;

б) если n нечетное, то выражение (х – α)n справа от точки х = α положительно, а слева от точки х = α отрицательно.

Рассмотрим многочлен

Р(х) = ( х – α1)а( х – α2)в…( х – αn-1)с( х – αn) d ,                       (10)

где α1 < α2 < … < αn-1  < αn.

Для любого числа х0 такого, что х0 > αn, соответствующее значение любого сомножителя в (10) положительно, поэтому числовое значение Р(х0) также положительно.

Для любого х1, взятого из интервала (αn-1, αn), соответствующее значение любого сомножителя в (10), кроме последнего, положительно, а соответствующее значение последнего сомножителя положительно, если степень двучлена – четное число, и отрицательно, если степень двучлена  – нечетное число. Поэтому число Р(х1) положительно, если степень двучлена – четное число, и Р(х1)отрицательно, если степень двучлена – нечетное число.

Аналогично показывается, что известен знак Р(х) на интервале (αi, αi + 1), то на промежутке (αi - 1, αi ) знак Р(х) определяется по следующему правилу. Многочлен Р(х) при переходе через точку αi:

а) меняется знак на противоположный знаку Р(х) на (αi, αi + 1), если степень двучлена – нечетное число;

б) не меняет знака (тот же знак, что у Р(х) на (αi, αi + 1)), если степень двучлена  – четное число.

На этом рассуждении и основан обобщенный метод интервалов: на числовую ось наносят числа α1, α2, …, αn; в промежутке справа от наибольшего из корней многочлена ставят знак плюс, а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень αi, если степень двучлена – нечетное число, и сохраняют знак, если степень двучлена  – четное число.

Замечание. Обобщенный метод интервалов можно применять и при решении неравенств

                                                ,                                      (11)

где P(x), Q(x) – многочлены, если заметить, что на множестве всех действительных чисел неравенство (11) равносильно неравенству

Р(х) ∙ Q(х) > 0.

Пример 1. Решить неравенство

(х + 7)(2х – 5)3(6 – х)5(3х + 10)4 < 0.                      (12)

Решение.

Перепишем неравенство в равносильном виде

(х – (-7)) 3(х – 6)5 > 0.                    (13)

Для решения этого неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой оси отметим числа -7,   6 (рис.12). Справа от наибольшего числа (числа 6) ставим знак плюс.

Ответ: -7 < x < ; < x <; 6 < x < +∞.

2.1.  Неравенства высших степеней

Для решения неравенств высших степеней методом интервалов важно помнить правила постановки знака:

1)На крайнем правом промежутке знак совпадает со знаком старшего коэффициента.

2)При переходе через корень четной кратности знак сохраняется, нечетной - меняется.

Решим неравенства:

а) x(9 – x)(x + 1) < 0.

Решение. 

x(9 – x)(x + 1) < 0.

Рассмотрим функцию у = x(9 – x)(x + 1).

Нули функции: -1; 0; 9.

x є (-1; 0) U (9; +∞)

Ответ: (-1; 0) U (9; +∞)

б) (x + 3)(3x – 2)5 (7 – x) 3 (5x + 8)2 < 0.

Решение.

(x + 3)(3x – 2)5 (7 – x) 3 (5x + 8)2 < 0.

Рассмотрим функцию у = (x + 3)(3x – 2)5 (7 – x) 3 (5x + 8)2.

Нули функции: -3; - 8/5; 2/3; 7.

x є (-3; -8/5) U (-8/5; 2/3) U (7; +∞).

Ответ: (-3; -8/5) U (-8/5; 2/3) U (7; ∞).

2.2. Сложные дробно-рациональные неравенства

Решим методом интервалов  неравенство

 .                                                    (14)

Решение.

Неравенство (14) равносильно неравенству 

(х2 + 1) (х2 – 1)2(х – 3)4(х + 2)2(2х – 3)5 < 0.

Поскольку х2 + 1 > 0 при любом х, то последнее неравенство равносильно неравенству

(х – 1)2(х + 1)2(х – 3)4(х + 2)2< 0.

Применим обобщенный метод интервалов. На числовой прямой отметим точки -2, -1, 1,  и 3 и расставим знаки, как указано на рисунке. Те промежутки, где стоит знак минус, и дадут все решения неравенства (14).

Ответ: -2 < x < - 1; -1 < x < 1; 1< x < .

2.3. Показательные неравенства

Показательные неравенства можно решать методом интервалов, так как  на каждом интервале функция непрерывна и не обращается в ноль. Решим неравенство:

х2⋅3х-9⋅3х>х2-9.

х2⋅3х-9⋅3х>х2-9.

 Преобразуем левую часть неравенства: разложим ее на множители.

3х(х2-9)- (х2-9)>0,

(х2-9)⋅( 3х-1)>0.

Рассмотрим функцию у = (х2-9)⋅( 3х-1).

Нули функции:-3, 3, 0.

х ∈ (-3 ;0) U (3; +∞).

Ответ: (-3; 0) U (3; +∞).

6. Иррациональные неравенства

Применим метод интервалов для  решения иррационального неравенства

.

Решение.

.

Рассмотрим функцию у =.

D(y): 6 + x- x2 ≥ 0  [-2;3].

6 + x- x2=(3-х)(х+2),

Нули функции: -2; 3; 1

 x [1;3] U {-2}.

Ответ:[1;3] U {-2}.

Метод интервалов для решения иррациональных неравенств, которому я дала исчерпывающее название «ОДЗ – нули – знаки», позволяет получать результат в одну строчку, когда я буквально «снимаю» его с числовой прямой. 

7. Комбинированные неравенства

Немного опережая школьную программу, решим неравенство

.                                                           (15)

Решение.

ОДЗ неравенства (15) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям  и , то есть ОДЗ состоит из трех промежутков: (-∞;0), (0; 1) и (1; +∞).

Рассмотрим функцию

.

Нули функции: -4; -2; -1; 1,5.

Легко видеть (рис.18), что множеством решений неравенства (15) является объединение интервалов(-4; -2), (-1; 0), (0; 1), (1,5; +∞).

Ответ: (-4; -2) U (-1; 0)U (0; 1)U (1,5; +∞).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, метод интервалов, является наиболее эффективным, позволяет не просто решать многие задачи, но решать их красиво, изящно и главное – быстро!

 Главное преимущество метода интервалов по сравнению с перебором всех возможных случаев распределения знаков сомножителей – существенная экономия в вычислениях, экономия, без которой иногда практически очень трудно довести решения до конца. В тоже время метод интервалов, являясь универсальным, имеет специфические особенности для решения неравенств разных типов.

 Метод интервалов имеет значительно более узкую область применения: нужно, чтобы левая часть была разложена на множители, которые должны и быть линейными двучленами или быть частными двух многочленов, а это значит нельзя ограничиваться при решении неравенств только методом интервалов.

Данный проект дал мне возможность расширить знания о возможности решения различных неравенств методом интервалов и оценить свои возможности при решении нестандартных задач, а также он стал своего рода тренингом для подготовки к Единому государственному экзамену.

Литература

1. Алгебра. 9класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.  - М.: Мнеозина,2008-2009.
2. Алгебра. 9класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/[А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др.]; под ред. А.Г. Мордковича- М.: Мнемозина,2008-2009.
3. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. Мордкович, - М.: Мнеозина,2008.
4. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/[А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. - М.: Мнеозина,2008.
5. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем курс алгебры и начал анализа, - М.: Просвещение, 1990.
6. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник/ Олехник С.Н., М.К. Потапов, П.И. Пасечник. – М.: Факториал, 1997.