Научно-исследовательская работа на тему: "Уравнения высших степеней и способы их решения"

Слайд 1

Научно-исследовательская работа « Уравнения высших степеней и способы их решения » в ыполнил: Додыченко Степан у ченик 9 «Б» класса МБОУ Усть-Элегестинской СОШ р уководитель: Ильина Н.А., учитель математики

Слайд 2

Актуальность выбранной темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением различных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Слайд 3

Цель работы: изучить уравнения высшей степени и различные способы их решения. Задачи: рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения уравнений высшей степени ; выявить наиболее удобные способы решения ; научиться решать уравнения высшей степени различными способами.

Слайд 4

Объект исследования: уравнения высшей степени . Предмет исследования: способы решения уравнений высшей степени. Методы исследования: теоретические : изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов ; анализ полученной информации ; сравнение способов решения уравнений на удобство и рациональность.

Слайд 5

Уравнения высшей степени и способы их решения Уравнение – это математическое выражение, являющееся равенством, содержащее неизвестное . Уравнение вида: называется уравнением n -ой степени .

Слайд 6

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй. Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю. Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Слайд 7

Способы решения уравнений высших степеней 1. Введение новой переменной Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t 1 , t 2 , …, t n ). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Слайд 8

Пример (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 - 3x – 1 = 0. Решение: (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 - 3x – 1 = 0. (х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0. Замена (х 2 + х + 1) = t. t 2 – 3t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена: х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1; х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0; Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

Слайд 9

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида а 0 х n + а 1 х n – 1 + .. + а n – 1 х + а n =0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.

Слайд 10

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Слайд 11

3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

Слайд 12

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Слайд 13

5. Графический метод. Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций. Решение:

Слайд 14

– кубическая парабола сдвинута в вниз на 45 единиц -парабола ветвями в вниз, сдвинута по оси OX вправо на 0,9 единиц и по OY вверх 0,81 единиц

Слайд 15

6.Умножение уравнения на функцию. Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение.

Слайд 16

Пример Решить уравнение: X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1) Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х 2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение: (Х 2 +1) (Х 8 – Х 6 + Х 4 – Х 2 + 1) = 0 (2) равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде: Х 10 + 1= 0 (3) Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет. Ответ: нет решений.

Слайд 17

Так же этим способом можно решать уравнения вида , где a ≠ 0, d ≠ 0, c ≠ a , a ( c - a ) = d ( b - d ). Тогда умножение этого уравнения на многочлен получим симметрическое уравнение четной степени, среди корней которого содержится и корень Отметим, что этот корень может быть посторонним корнем для уравнения.

Слайд 19

Заключение Кроме названных методов решения уравнений высших степеней существуют и другие. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители; метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ.

Слайд 20

Литература Брадис , В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис -М.: Просвещение, 1990-83с. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И., «Алгебра и начала анализа». М.: 1 Федеральная книготорговая компения , 1998 – 736 с. Ященко И.В. «ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты» - М.: Национальное образование», 2018. – 240 с. http://www.hintfox.com/article/reshenie-yravnenij-visshih-stepenej-razlichnimi-metodami.html http :// www . yotx . ru / https://studfiles.net/preview/3973852/ https://www.tutoronline.ru/blog/uravnenija-vysshih-stepenej