Исследовательская работа "Аликвотные дроби"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ

КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ

______________________________________________________________________________

ГОРОДСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ 5 – 7 КЛАССОВ

«ОБЫКНОВЕННОЕ ЧУДО»

Аликвотные дроби

Направление: арифметика

  Ангапова Елена

МАОУ СОШ №19, 5 класс

Ратникова Надежда Александровна,

учитель математики, МАОУ СОШ №19

г. Улан – Удэ

2018 г.

Оглавление

Введение        3

История возникновения аликвотных дробей        4

Как и где применяются аликвоты?        6

Задачи с использованием аликвотных дробей        6

Заключение        10

Литература        11

Введение

Актуальность работы

При изучении обыкновенных и десятичных дробей, меня заинтересовало, а есть ли еще какие-то дроби. Как возникли обыкновенные дроби? Тогда от учителя я услышала о таких дробях, как аликвотные дроби и меня заинтересовало это понятие. Я решила исследовать, что это за дроби и изучить их хоть немного на данном уровне изучения математики.

Цель исследования:

Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи исследования:

узнать происхождение аликвотных дробей;

рассмотреть основные операции с аликвотными дробями;

решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

Инструменты исследования:

справочная литература;

ресурсы Интернет.

Практическая значимость исследования:

расширение своего математического кругозора;

пополнение новыми понятиями и терминами своих математических знаний;

умение работать с дополнительной литературой;

приобретение навыка публичного выступления с высказыванием собственной точки зрения;

использование работы в просветительской деятельности.

Гипотеза

Аликвотные дроби часто используются при решении задач и в окружающем нас мире.

История возникновения аликвотных дробей

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности.   Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – , где n – натуральное число, так называемые единичные дроби.

Египтяне ставили иероглиф (ер,«[один] из» или ре, «рот») над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:   и .

   Египетской дробью в математике принято называть сумму нескольких дробей вида  . Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминается понятие «египетская дробь» - это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и древняя табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом и включает в себя таблицу египетских дробей, а также 84 математические задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

         Единичные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида . Например: .  

Дроби   ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными (от латинского aliguot- "несколько'').  

В Древнем Египте «настоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями. И даже сами аликвотные дроби было принято представлять в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, ,  ,  ,  .

 Одним из ярких примеров использования в Древнем Египте аликвотных дробей является глаз Хора – единица измерения ёмкостей и объёмов, которая представляла собой дробь . Согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на  . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:

 .

Аликвотные дроби в других странах 

Египетские дроби получили распространение и в других странах. О них упоминается в литературе Древней Греции. А впоследствии математиками всего мира, применяли в решении задач аликвотные дроби. Хотя к египетским дробям предъявляли ряд замечаний. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской позиционной системой исчисления. 

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci». Он выполнял вычисления, используя десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включая смешанные дроби и запись в виде сумм дробей, где часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Как и где применяются аликвоты?

Аликвотные величины в настоящее время используются не только в математике. В музыке есть понятие аликвотных струн. Аликвотные или резонансные струны – это дополнительные струны, не используемые непосредственно исполнителем, а самовозбуждающиеся от колебания игровых струн. Аликвотные струны служат для обогащения тембра и усиления звучания.

В физике, химии и фармацевтике используется понятие аликвотная доля или аликвота- это точно известная часть раствора.

Задачи с использованием аликвотных дробей

В Египетских папирусах описаны арифметические действия с единичными дробями. Аликвотные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Например:  ,  ,  ,  .

Рассмотрим древние и современные задачи, в решении которых используются аликвотные дроби.

Египетский жрец и писарь Ахмес считается первым математиком. Решим задачу Ахмеса: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».  

Решение: Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:  . Значит, каждому человеку нужно дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Задача из современного учебника математики: «Три друга купили 2 дыни. Как не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну?»

Решение: По условию задачи две дыни нужно разделить на три равные части.

.

Каждый мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на три равные части, то каждый мальчик получил еще по дыни.

Ответ: половинка дыни и дыни.

Подобных задач можно придумать очень много. И над этим мы планируем работать в дальнейшем.

Простейшими задачами считаются задачи разложения дроби на сумму аликвотных дробей. Эти задачи можно разделить на две категории:

1. в знаменателе простое число;

2. в знаменателе составное число.

Рассмотрим решение задач первого типа:

Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.

.

Задачи второго типа также можно разделить на три вида:

1) числитель сразу можно представить в виде суммы делителей знаменателя.;

2) в числителе число наименьшего делителя знаменателя:

;

3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:

.

Для того чтобы разложить дробь на сумму аликвотных дробей, воспользуемся алгоритмом пункта 1.

Тогда конечный результат будет таким: .

В современном мире задачи с аликвотными дробями можно встретить и в различной дополнительной литературе по предмету, в олимпиадных заданиях.  Рассмотрим задачи  из журнала «Квант»:

Задача 1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) в виде суммы трёх слагаемых:

Б) в виде суммы четырёх слагаемых:

В) в виде суммы пяти слагаемых:

Г) в виде суммы шести слагаемых:

  ) + 

Задача 2: Представьте дробь  в виде аликвотных дробей.

Существует 2 способа представления дроби   в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей.

Задача 3: Верно ли равенство?

?

Равенство верно.

Задача 4: Найдите сумму: .

Решение: Для решения воспользуемся уже известным нам способом

и т. д.

т. е. получим .

Задача 5: Найти сумму: 

Решение: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи.

, и т. д.

Рассуждая аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ 

Заключение

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Выяснила, что аликвотные дроби долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две  аликвотные дроби и т.д. Разложение дробей на две аликвотные дроби планируем систематизировать в дальнейшем  в виде правила, применив которое, легко бы решались олимпиадные задачи по математике.

Выдвинутая гипотеза оказалась верна: Аликвотные дроби часто бывают более удобными при решении задач и применяются в окружающем нас мире в разных областях, а не только в математике.

Литература

1. Депман И. Я. Мир чисел. М.: Детская литература,1982

2. Кординский Б. А.,Ахадов Л. А.Удивительный мир чисел: книга для учащихся. М.Просвещение,1986

3. Интернет ресурсы:

http://ru.wikipedia.org/wiki Симметрия - http://slovari.yandex.ru

https://intolimp.org/publication/alikvotnyie-drobi.html 

https://www.metod-kopilka.ru/issledovatelskaya_rabota_na_temu_alikvotnye_drobiquot-50147.htm