Исследовательская работа "Площадь трапеции" 9 класс раздел "Геометрия"

Оглавление

Введение                

Глава 1.Полезные свойства трапеции

Глава 2. Нахождение площади трапеции

Глава 3  Применение для решения задач

Заключение

Список использованной литературы

Введение

«Наглядность, воображение принадлежат больше искусству,

 строгая логика – привилегия науки» А. Д. Александров

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале XX в., очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нём, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира помогает нам геометрия.

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство четырёхугольников. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. На уроке геометрии мы доказывали теорему  о нахождении площади трапеции.

Гипотеза. Эффективность выбранного пути решения геометрической задачи  зависит от постановки задачи.

Цель: Показать многообразие подходов при решении одной геометрической задачи и найти более рациональный способ решения задачи.

Задачи:

• Подобрать и решить геометрическую задачу несколькими способами, применив основной материал курса 8 класса.
• Провести анализ подходов при решении одной геометрической задачи.

Актуальность данной работы определяется тем, что знания и умения находить площадь трапеции имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, поможет найти новые подходы к решению геометрических задач.

Объект исследования: трапеция

Предмет исследования: площадь трапеции.

Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением рассуждения, доказательства и анализ фактов.

 Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала при решении геометрических задач, при доказательстве некоторых положений.

Совместно с руководителем был разработан ход исследования:

1.  Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации и найти новые способы нахождения площади трапеции.

2.  Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

В ходе работы нам предстояло подтвердить или опровергнуть суждение о том, что существуют другие способы нахождения площади трапеции

Глава 1.Полезные свойства трапеции.

Интересные факты:

Слово трапеция используется в геометрии для обозначения четырехугольника, характеризующегося определенными свойствами. Кроме того, оно имеет еще несколько значений. В архитектуре используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных широкими у основания и сужающимися к верху (в египетском стиле). В спорте — это гимнастический снаряд, в моде — платье, пальто или другой вид одежды определенного кроя и фасона.

«Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик» (по-гречески, «трапедзион» - столик, обеденный стол). В начале термин «трапеция» применяется не в современном, в другом смысле - любой четырехугольник. Трапеция в нашем смысле слова встречается впервые у древнегреческого математика Пасидона. В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (кроме трапеции), лишь в XVIII веке слово приобретает современный смысл.

Созвездие-трапеция.

Четыре яркие звезды созвездия α, β, γ и δ располагаются в вершинах трапеции – туловища льва. А голову льва образуют звезды, располагающиеся в виде серпа. Поэтому этот астеризм и называется «серп».

В евклидовой геометрии так называют выпуклый четырехугольник, имеющий одна пару противоположных сторон, которые обязательно параллельны друг другу. Следует вспомнить несколько определений для того, чтобы найти площадь трапеции. Параллельные стороны этого многоугольника называются основаниями, а две других — боковыми. Высотой трапеции является расстояние между основаниями. Средней линией принято считать линию, соединяющую середины сторон боковых. Все эти понятия (основания, высота, средняя линия и боковые стороны) являются элементами многоугольника, являющегося частным случаем четырехугольника.

Площадь трапеции.

1. S = ½ ( a + b)· h.
2. S = ½· m, где m – средняя линия.
3. S = ½···

Формула Герона

S =

Где p – полупериметр.

Свойства.

• Свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

 Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

.

• Свойство высоты равнобедренной трапеции, проведенной из

вершины тупого угла:

Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.

• Свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее

диагоналями.

Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

• Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей

трапеции параллельно основаниям.

Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

• Свойство четырех точек:

В трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

• Свойство длины отрезка разбивающего трапецию на две подобных.

Отрезок,  разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.

LF = √(ab).

• Свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие.

Длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований.

х = √(1/2(а2 + b2)).

• Свойство вписанной трапеции: 

Трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная.

• Свойства описанной трапеции. 

Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

• Полезные следствия того, что в трапецию вписана окружность:

1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности.

2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

• Следствия для равнобедренной описанной трапеции:

Высота равнобедренной описанной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции 
h = 2r = √(ab).

Рассмотренные свойства позволят более глубоко познать трапецию и обеспечат успешность в решении задач на применение ее свойств.

Глава 2. Нахождение площади трапеции

Задача. Найти площадь трапеции, основания которой равны 40 см и 20см, а боковые стороны 12 см и 16 см.

I подход к решению задачи

Задача сводится к нахождению высоты H.

Проведем отрезки ВМ и СN так, что ВМ┴АD и СN┴АD, тогда ВСNМ – прямоугольник. Поэтому ВМ = СN и ВС = МN.

Но в таком случае АМ + ND =20

Пусть АМ = х (см), тогда ND = 20 – х (см).

По теореме Пифагора из ▲АВМ и ▲СND: Н² = 12² - х²  и  Н² =16² - (20 – х) ².

Составим равенство 12² - х²  = 16² - (20 – х) ²,  144 - х²   = 256 – 400 + 40х - х² ,   40х = 288,

 х = 7,2 (см ).Находим высоту Н: Н² = 12² – 7,2² = 144 – 51,84 = 92,16,  

Находим высоту Н:  Н  =                         (см).

Тогда SABCD =                                      (см²)Ответ: 288 (см²)

II подход к решению задачи

Решение

 Пусть ВN ┴АD  и ВК‌‌║СD, тогда ВСDК – параллелограмм.

Значит ВК = СD = 16 (см), КD = ВС = 20 (см).Пусть ВN┴АD  и ВК‌‌║СD, тогда ВСDК – параллелограмм.

Значит ВК = СD = 16 (см), КD = ВС = 20 (см).

Пусть АN = х (см), тогда NК = (20 –х) см.

Выразим высоту Н из треугольников АВN и ВNК по теореме Пифагора:

Н² = 12² - х²  и Н² =16² - (20 – х) ².

Составим равенство 12² - х²  = 16² - (20 – х) ²,       144 - х²   = 256 – 400 + 40х - х² ,  40х = 288,  х = 7,2 (см ). Н = 9,6см.

Значит площадь трапеции  

SABCD =                                (см²). Ответ: 288 см²

III подход к решению задачи

Применим к нему одно из следствий теоремы Пифагора, в котором говорится о том, что квадрат катета равен длине проекции этого катета на гипотенузу, умноженной на длину гипотенузы.         Пусть ВN ┴АД  и ВК‌‌║СД, тогда КВСД – параллелограмм и

ВК = СД = 8 (см), КД = ВС = 10 (см).

         Рассмотрим треугольник АВК: АВ = 12 см, ВК= 16 см, АК = 20 см. Так как 20² = 12² + 16², то треугольник АВК – прямоугольный. Применим к нему одно из следствий теоремы Пифагора, в котором говорится о том, что квадрат катета равен длине проекции этого катета на гипотенузу, умноженной на длину гипотенузы. Для нашего случая: 12² = х ∙20, откуда х = 7,2 (см). Применим терему Пифагора к треугольнику АВN, вычислим Н: Н = 9,6см.Значит площадь трапеции  

SABCD =                                (см²). Ответ: 288 см²

IV  подход к решению задачи

Геометрическое доказательство.

Треугольник АВК – прямоугольный (угол АВК = 90° по теореме, обратной теореме Пифагора, так как 20² = 12² + 16²).Площадь треугольника АВК вычисляется как полупроизведение его катетов, т.е.

Откуда h =

Значит,

Ответ: 288 см²

V  подход к решению задачи

         По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВК – прямоугольный. Тогда Sinα= . Но треугольник АВN – тоже прямоугольный (по построению ВN ┴АК). Тогда   ВN=АВ∙ Sinα = 6∙. Аналогичные выкладки можно проделать и для угла .Дальнейшее решение очевидно.

VI подход к решению задачи

         Затем я задала себе новый вопрос: «А можно ли обойтись без теоремы, обратной теореме Пифагора?» Теорема Пифагора каждый раз использовалась для нахождения того элемента вспомогательного треугольника, который был необходим для вычисления его площади. Теперь я попробую вычислить площадь вспомогательного треугольника, не используя его высоту и основание.

 В треугольнике АВК известны три стороны, поэтому для нахождения площади можно применить формулу Герона. Для этого сначала подсчитаем полупериметр треугольника АВК. По определению р=0,5(12+16+20)=24смТеперь найдем площадь треугольника АВК:                                                      

S= .

Но площадь этого треугольника можно вычислить и по формуле S =20h|2, отсюда h = 9,6см

VII  подход к решению задачи

         После того как рассмотрены методы, которые основываются на свойстве сторон параллелограмма, на понятии площади и на теореме Пифагора, можно «извлечь» решение задачи из темы «Подобие фигур». Для такого «извлечения» достраиваю трапецию до треугольника, продолжив отрезки АВ и ДС до пересечения в точке М

         Проведем ВК║СД и установим, что ВС=КД, тогда АК=20. По теореме, обратной теореме Пифагора, устанавливаю, что угол АВК=90°, но тогда и угол при вершине М равен 90° по теореме об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

         Треугольники АВК и АМД – подобны (по двум равным углам: угол А – общий, угол В равен углу М), коэффициент подобия k = 2, так как k=. Отсюда АМ=АВ∙ k = 24 см, ДМ = ВК∙ k = 32 см. Но тогда ВМ = 12см,  МС = 16 см, так как В – середина отрезка АМ, С – середина МД. Поскольку треугольники АМД и ВМС прямоугольные,  Sвмс=0,5(BM*MC)   SAND=0,5*(АМ*DM)Теперь легко найти площадь трапеции,как разность площадей 288

         В этом решении была использована лишь часть того, что можно было извлечь из подобия треугольников (т.е. лишь зависимость между сторонами подобных треугольников). Но можно изменить последний фрагмент решения и воспользоваться тем фактом, что отношение площадей подобных треугольников равно k², т.е. .Тогда .

      Глава 3  Применение для решения задач. Задачи практической направленности

Может возникнуть вопрос, а что если трапеция будет иметь другие размеры?

Рассмотрим следующие случаи:

1. Основания трапеции равны 10 и 20см , боковые стороны 6 и 8см. Этот случай может быть также использован для всех способов решения.

2.  Основания трапеции равны 6 и 10см, боковые стороны 8 и 20см.

Треугольник АВС со сторонами 8, 20 и 4 см не существует, т.к 20>8+4 Значит, задача решения не имеет.

3. Основания трапеции равны 8 и 10см, боковые стороны 6 и 20см.

Треугольник  АВС со сторонами 2, 6 и 20 см не существует, т.к. 20>6+2 Значит, задача решения   не имеет.

   4. Основания трапеции равны 6 и 8см, боковые стороны 10 и 20см.

Треугольник АВС со  сторонами  10, 2 и 20 см не существует, т.к.20>10+2 Значит задача решения   не имеет.

5. Основания трапеции равны 6 и 20см, боковые стороны 8 и 10см.

                                                                           Трапеция существует.

                Для решения задачи

                можно использовать

        один из подходов,

        приведенных выше.

6. Основания трапеции равны 8 и 20см, боковые стороны 6 и 10см.

                                                                        Трапеция существует.

                Для решения задачи

        можно использовать

        один из подходов,

        приведенных выше.

При решении задачи в 5 и 6  случаях, вычисления получаются уже сложными и громоздкими.

Задачи практической направленности

 Бухгалтер строительной фирмы

Строительная фирма заказывает заводу металлоконструкций 25 окон, образец которых вы видите на фото. Размеры стекол вы видите на рисунке. Стоимость 1м2 стекла 120 руб. Рассчитайте стоимость стекол, необходимых для изготовления этих окон.

Задача исторического характера

В Старинных русских рукописях содержатся способы измерения площадей различных фигур. Там утверждалось:

• что фигуры с равными периметрами замыкают равные площади;(проверьте справедливость этого утверждения на примере квадрата и ромба, имеющих равные стороны)
• площадь треугольника измеряли как половину от произведения меньшей стороны на большую;
• площадь трапеции принималась равной произведению  полусуммы  оснований на длину меньшей боковой стороны (площадь, найденная таким способом больше или меньше настоящей?).

Найдите в этих утверждениях ошибки.

Налоговый инспектор

Налог на землю составляет 1% от стоимости земли. Найдите стоимость предложенного участка земли, если 1 м2 стоит 20 тыс. рублей. Рассчитайте налог на этот участок земли.

Редактор газеты

Учащиеся школы поздравили весь педагогический коллектив школы с праздником, заказав поздравление в газете. Найдите стоимость объявления, если стоимость 1см2 объявления 4рубля.

Заключение

Геометрия – это очень интересный предмет, так как при решении задач можно использовать различные методы и формулы, решая одну и ту же задачу можно пойти разными путями. Решение задач по геометрии играет важную роль в формировании математической культуры, а также очень хорошо развивает логическое мышление. Данная  работа может быть использована и на уроках при обобщающем повторении темы «Площади фигур», и при подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА.

Для решения данной задачи надо было вспомнить:

• определение трапеции и формулу нахождения ее площади;
• свойства прямоугольника и параллелограмма;
• теорему Пифагора;
• пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике;
• теорему, обратную теореме Пифагора;
• площадь прямоугольного треугольника;
• площадь треугольника через основание и высоту;
• формулу Герона для вычисления площади треугольника;
• подобие треугольников;
• теорему об отношении площадей подобных треугольников;
• тригонометрические зависимости в треугольнике

         После анализа всех подходов к решению задачи, я для себя отметила, что лучшими из них оказались первое и последнее. Первое решение выигрывает потому, что кажется наиболее естественным, а последнее выглядит наиболее простым и оригинальным благодаря дополнительным построениям, в результате которых трапеция была разбита на три равных треугольника. Следовательно, мы пришли к выводу, что  существует много способов нахождения площади трапеции. При решении задач используется тот метод, который удобен.

Список использованной литературы:

1. Учебник “Геометрия 7–9” , Л.С. Атанасян
2.  «Справочник по начальной математике» Автор - С. Лукьянченко.
3.  «Справочник по высшей математике» Автор - С. Лукьянченко.
4.  «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецова
5.  «Школьникам о математике и математиках» Автор- М.М. Лиман.
6.  «История математики в школе.VII- VIII  классы».Автор- Г.И. Глейзер.
7.  «Словарь-справочник по математике». Автор-Н.И. Александров , И.П. Ярандай.
8.  «Математика в понятиях, определениях и терминах»  Авторы- О. В. Мантуров  и  др.