Реферат. Квадратный корень

Квадратный корень из a (корень 2-й степени) – это решение x уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под x и a подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как матрицы и операторы. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики. В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие.

Цель моего реферата познакомиться с квадратными корнями и изучить их более углубленно.

Задачи:

1. Провести соцопрос среди учащихся 8-11 классов на умение извлекать квадратные корни без калькулятора;

2. Изучить алгоритмы вычисления арифметического корня;

3. Узнать историю происхождения квадратного корня;

4. Ознакомится со свойствами и применениями на практике извлечения квадратного корня.

1. Теоретические основы квадратного корня.

Квадратный корень из а — это решение уравнения: х2=a. Иначе говоря, квадратный корень из a – число, дающее a при возведении в квадрат. Операция вычисления значения называется «извлечением квадратного корня» из числа а. Наиболее часто под a и x подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.

Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого всегда неотрицательно.

Стоит помнить, что квадратный корень является элементарной функцией.

2. История возникновения квадратного корня.

2.1 Процесс вычислений в разные века

Математика на глиняных табличках (рис. 1).

Рис. 1. Глиняная табличка с нанесенными знаками

Город Вавилон (Врата Бога) с населением полтора тысяч человек был основан в Междуречье более 3000 лет до н. э. На раскопках этого древнего поселения были найдены глиняные таблички с нанесенными на них знаками. Их возраст превышает 5000 лет. Когда были расшифрованы символы клинописи, археологи с изумлением прочитали уравнения вычисления различных площадей с помощью квадратных корней. Не известие об открытии, а уже его использование. Имя великого математика, первым догадавшегося извлечь квадратный корень, утеряно для истории.

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач:

применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам;
нахождение стороны квадрата, площадь которого задана;
решение квадратных уравнений.

Квадратный корень из пирамиды Хеопса (рис. 2).

Рис. 2. Пирамида Хеопса для вычисления квадратного корня

Как любое великое открытие, оно возникло одновременно в нескольких местах в головах разных гениальных людей. Например, в 2500 гг. до н. э. в Древнем Египте возводились пирамиды – усыпальницы фараонов. Археологи просчитали, что без знания числа р и квадратного корня построить такие сооружения с четко выстроенными коридорами и строгой ориентацией помещений по сторонам света было просто невозможно. И снова даже граффити на стенах каменных блоков не донесли до современности имен гениальных математиков.

Геометрия племен майя (рис. 3).

Рис. 3. Геометрия племен майа

Если Шумерская цивилизация еще могла как-то перетечь на Африканский континент, то математика племен майя в Южной Америке в это же время развивалась совершенно обособленно. Дворцы, возводимые в южноамериканских джунглях, не могли быть построены без знаний математики (квадратного корня в том числе), астрономии и даже основ оптики.

Великие ученые не нашей эры.

В V веке до н. э. астроном, врач и математик Гиппократ написал первый учебник по геометрии, в котором ввел и объяснил множество математических формул и терминов, в том числе «гиппократовы луночки», при помощи которых пытался вычислить квадратуру круга.

Древнегреческому математику Эвклиду в III веке до н. э досталась великая миссия сублимировать мудрость предков, работы Гиппократа, изложить все в своих трудах «Начала», объяснив между прочим значение квадратного корня, и донести до последующих поколений (рис. 4).

Рис. 4. Труды Евклида «Начало»

«Арифметика» Диофанта.

Спустя 600 лет в той же Греции Диофант Александрийский, основываясь на работах своих предшественников, ввел математические обозначения, которые человечество использует и сегодня, описал решения неопределенных уравнений, ввел понятия рациональных и иррациональных чисел. Им было написано 13 трактатов «Арифметика», только 6 из которых сохранились. В этих трудах великий грек объясняет решения уравнений с двумя неизвестными второго порядка, используя для их решений извлечение квадратного корня из числа, как давно известное математическое действии.

Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах». Древние греки сделали важное открытие: иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально.

Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал корень 2-й степени как возведение в степень.

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.

2.2. Происхождение термина и символики.

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»).

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом Rx, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Из всей истории появления в математике квадратного корня получается, что патент на изобретение квадратичных исчислений, так же, как и на изобретение колеса, выдавать некому.

3. Квадратный корень в 21 веке

3.1. Применение операции корня к числам

Числа делятся на несколько видов (рис. 5):

натуральные;
целые;
рациональные;
действительные;
комплексные.

Рис. 5. Виды чисел

Рассмотрим понятие квадратного корня и возможность его извлечения из некоторых приведенных видов чисел.

Квадратный корень из числа a – это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a, то есть решение уравнения относительно переменной x.

Рациональные числа

Корень из рационального числа является рациональным числом, только если p и q (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Действительные числа

При натуральных a уравнение x2=a не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений – поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа a называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .

3.2. Квадратный корень как элементарная функция в алгебре

График функции

График функции представлен на рисунке 2.

Рис. 2. График функции

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной x, которая каждому x≥0 ставит в соответствие арифметическое значение корня. Эта функция является частным случаем степенной функции , где .

3.3. Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того.

3.4. Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (например, языке программирования Pascal) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень») (рис. 3).

Рис. 3. Решение задачи нахождения корней квадратного уравнения с помощью заданных коэффициентов a,b,c с помощью блок-схемы

4. Алгоритмы нахождения квадратного корня

4.1. Арифметическое и геометрическое извлечение квадратного корня

Арифметическое извлечение квадратного корня подразумевает под собой, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

и так далее.

Такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Геометрическое извлечение квадратного корня подразумевает под собой выполнение следующего равенства:

В частности, если , а , то .

4.3. Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из целого числа N. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями – целая часть дополняется слева, десятичная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

Запишем число N (в примере – 69696) на листке.
Найдём a, квадрат которого меньше группы старших разрядов числа N (старшая группа – самая левая не равная нулю), а квадрат a+ 1 больше группы старших разрядов числа. Записать найденное a справа от N (это очередная цифра искомого корня). На первом шаге примера:

, а

Записать квадрат a под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа a и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число b. На первом шаге примера это число просто есть , на втором .
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Число образованное «склеенными» результатом вычитания и дописанными двумя цифрами назовём c. (На первом шаге примера это число просто есть c=296, на втором c=2096). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое a, что меньше или равно c, но больше, чем c. Записать найденное a справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что a окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
Записать число под c. Провести вычитание столбиком числа из c и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Результаты соцопроса среди учащихся 8-11 классов.

8-ые классы

8А, 8Б

9-ые классы

9А, 9Б

10-ые классы

10А, 10Б

11-ые классы

11А, 11Б

25%

75%

50%

10%

90%

15%

85%

Вопросы:

- Сможете вычислить не используя калькулятор?

- Используете Вы для нахождения квадратного корня таблицу М. Брадиса?

- Знакомы со способом «Столбик» для нахождения квадратного корня?

- Использовали на практике геометрическое извлечение квадратного корня?

- Знаете об итерационном аналитическом алгоритме?

5. Применение свойств квадратного корня на практике.

Квадратный корень (арифметический корень) обладает целым рядом свойств:

1. , (). Если a и b – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: Доказано.

Пример:

Рассмотрим обобщение первого свойства:

Пример:

2. (). Если a – неотрицательное число, а b – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: .

Но мы знаем, что функция принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Пример:

Доказательство:

Пример:

4. Арифметический квадратный корень из числа в квадрате равен модулю этого числа.

Доказательство:

Напомним вначале определение модуля:

Рассмотрим два случая:

1. , т. к.– можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.

2. . В этом случае:. Тогда для числа можем воспользоваться результатами первого случая: .

Утверждение доказано

Естественным обобщением данного свойства является формула:

Заключение

В ходе реферативной работы мною была проделана следующая работа:

- собраны и изучены материалы по данной теме, с которыми, познакомила учащихся, а также отобрала самые удобные и несложные способы извлечения квадратного корня;

- рассмотрела особенности каждого способа и описала его алгоритм. С помощью проведенного мной соцопроса, я познакомила учащихся с более удобными способами нахождения квадратного корня, который поможет нам на экзаменах.

По результатам моей реферативной работы, я убедились, что тему я выбрала правильную. Проведя опрос, стало понятно, что многие учащиеся не умеют вычислять квадратные корни без помощи калькулятора, а это является одной из важных составляющих будущих результатов учащихся старших классов, а также очень полезным занятием.

Список использованной литературы

Алгебра: Учеб. пособие для 8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред. Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. – Мн.: Нар. асвета, 2005.
Алгебра: Учеб. для 8 х кл. общеобразоват. шк. с углубл. изучением математики / К.О. Ананченко и др. – Мн.: Нар. асвета, 1994.
Алгебра: Учеб. для 8 кл. / А.Г. Мерзляк