Общие методы решения уравнений

Слайд 1

Слайд 2

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) Этот метод принимается при решении показательных уравнений когда переходим от уравнения a f(x) =a g(x) к уравнению f(x)=g(x) при решение логарифмических уравнений log a f(x)=log a g(x) к уравнению f(x)=g(x) . Этот метод можно применять только в том случае когда y=h(x) – монотонная функция которая каждое свое значение принимает один раз.

Слайд 3

Например: y=x 7 – возрастающая функция Поэтому уравнение (2х+2) 7 = (5х-9) 7 Можно переписать (2х+2) = (5х-9) Откуда х=11/3.

Слайд 4

Метод разложения на множители Суть метода заключается в следующем: f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x)=0 ; g(x)=0 ; h(x)=0 ; Решив уравнения этой совокупности нужно взять те их корни которые принадлежат области определения исходного уравнения.

Слайд 5

Например: (х+2)(х-3)(х+7)=0; Тогда уравнение можно переписать как совокупность уравнений (х+2)=0 (х-3)=0 (х+7)=0 Откуда получаем корни:х=-2; х=3; х=-7;

Слайд 6

Метод введения новой переменой Суть метода проста: если уравнение вида p(g(x)) =0 то нужно ввести новую переменную g(x)=a и решить уравнение р(а)=0 а затем совокупность уравнений g(x)=a 1 ; g(x)=a 2 ;…g(x)=a n ; где а 1 , а 2 ,…а n - корни уравнения p(a)=0 . Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом.

Слайд 7

Например: (2х+1) 2 -12(2х+1)-64=0 Введем новую переменную. Пусть (2х+1)=а Тогда а 2 -12а-64=0. Отсюда а 1 =16 ; а 2 =-4. Если а=16 то х=7,5. Если а=-4 то х=-2.5

Слайд 8

Функционально-графический метод Идей графического метода решения уравнений f(x)=g(x) проста и понятна: нужно построить графики функций у= f(x) и у= g(x) найти их точки пересечения. Корнями служат абсциссы этих точек

Слайд 9

Например: Sqr(x)=abs(x-2) y=sqr(x); y=abs(x-2) Отсюда корни: 1 и 4.

Слайд 10

Функционально-графический метод В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций. Если например у= f(x) возрастает а у= g(x) убывает то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень который легко угадать.

Слайд 11

Например: х 5 +5х-42=0 Решение сразу очевидно х=2 Докажем что это единственный корень; Преобразуем уравнение к виду х 5 =42-5х замечаем что у=х 5 возрастает а у=42-5х убывает. Значит уравнение имеет только один корень. х=2