Исследовательский проект "Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни"

 Муниципальное общеобразовательное учреждение «Аладьинская школа»

Тема работы: «Арифметическая и геометрическая прогрессии в  окружающей нас жизни»

Выполнила: Гусейнова Милена Ильгаровна, ученица 9 класса.

Руководитель: Бортникова Татьяна Александровна, учитель математики

С. Аладьино

2019

«Арифметические и геометрические прогрессии в задачах практического содержания»

Введение

Девизом одного из наших уроков, когда мы решали задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, стали слова Иоганна Гете «Недостаточно только получить знание, надо найти ему приложение». Они запали мне в душу.

Актуальность: Наша жизнь полна различных вычислений. Математические знания помогают в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры. Всё, что не применяется, очень быстро забывается, так как становится ненужным. В 9 классе мы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Присмотревшись внимательнее, я заметила, что  они  имеют определенное практическое значение. Передо мной стал вопрос: в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях? Можно ли увидеть прогрессию в природе, экономике других областях человеческой жизни. Впереди меня ждут экзамены, и я решила подготовиться, решая  задачи на прогрессии с прикладным содержанием.

Я стала обращать внимание, что в средствах массовой информации часто звучат выражения «…увеличивается с геометрической прогрессией…», «…уменьшается по закону арифметической прогрессии…» и др.

Таким образом, объектом  моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.

Цель моего исследования:  практико-ориентированные задачи  на арифметическую и геометрическую прогрессий.

Для этого я поставила перед собой следующие задачи.

1.   Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях и интернет-ресурсах.

2.  Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Методы исследования:

1. Анкетирование одноклассников.
2. Анализ школьных учебников математики, математической справочной литературы, материала из Интернета.

Основная часть

Я провела опрос среди своих одноклассников и выяснила, что формулы нахождения арифметической и геометрической прогрессий знают все. К моему удивлению большинство ребят запомнили с уроков, что прогрессия связана с банковским делом. На вопрос «Ваши родители когда-нибудь брали кредит?» больше половины опрошенных ответили «да», так же из опроса выяснилось, что многие профессии связаны с прогрессиями. Поэтому я считаю свою тему актуальной.

Прогрессии применяются в различных направлениях деятельности человека. Рассмотрим примеры.

Во-первых, прогрессии применяются в медицине.  

Задача: Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)]

Решение. Составим математическую модель задачи:

        5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

    ап=а1+d(n-1),      40=5+5(п-1),       п=8,       Sп=((a1+aп)n)/2,   S8 =(5+40)·8:2=180,            

  180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька.

Прогрессии применяются и в спорте.   

Задача: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?  [Задача № 471 Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)

Дано: a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Решение: Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2;            Условию  задачи  удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n;            n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)

10000= (2900-100 n) n;                    Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0;                  высоту за 4 дня.

 n2-29 n+100=0;  n=25, n=4.                  Ответ: за 4 дня.

Задача В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение:

Подсчитаем количество промахов.

- промахов

- не удовлетворяет условию задачи

- попаданий

Ответ: 21 раз попал в цель стрелок.

Прогрессии в литературе. 

До изучения прогрессий я никогда бы ни подумала, что они могут присутствовать в таких предметах, как литература. Оказывается, прогрессия наблюдается в размерности стиха. Вот каковы прогрессии в литературе:

«…Не мог он ямба от хорея

Как мы не бились отличить…».

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стихотворения.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Примеры.

    Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Хорей.  «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7;

[«Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.]

Арифметическая и геометрическая прогрессии используются в физике для решения задач на равноускоренное движение.

Задача : Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал скорость на 50 м в мин. Какова была скорость поезда в конце 20 минуты? .[ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворов. Алгебра 9: учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С.А. Теляковского, 19- е изд.- М:Просвещени, 2017]

Решаем  с использованием арифметической прогрессии

Дано: 1 мин: 50 м   2 мин: 50м + 50м    3 мин: 50м + 50м + 50м

Решение: an=a1+d(n-1);     a1=50;     d=a2-a1=100-50=50;   a20=a1+d(20-1);    a20=50+50*19=1000м/мин=1км/мин=60км/ч

Ответ: скорость поезда в конце 20-й минуты 60км/ч

Задача: При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 метров, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 секунд после падения.

Решаем с использованием арифметической прогрессии.

Дано:    1с: 5м          2с: 5м + 10м = 15м       3с: 15м + 10м = 25м

Глубина шахты равна сумме 5 членов арифметической прогрессии

Найти: S5-?

Решение:  Sn=(a1+an)*n/2;          an=a1+d(n-1);     a1=5;   d=10;  a5=5+10*(5-1)=45м;  h=s5=(5+45)*5/2=125м

Ответ: глубина шахты 125 м

Прогрессии применяются в строительном деле.

Задание 20 № 506688

Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

Решение.

Последовательность цен за метр — арифметическая прогрессия с первым элементом a1=3500   и разностью d =1600. Сумма n первых элементов арифметической прогрессии — Sn=(a1+an)*n/2 .  То есть в нашем случае имеем S9=(a1+a9)*9 /2;   a9=3500+1600*8=16300 рублей.    S9=(3500 +16300)*9 /2=89100 рублей.

Ответ:89100 рублей. 

Задание 11 № 99579

Задача: Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение.  Пусть бригада в первый день покрасила a1 метров забора, во второй — a2 ,….,в последний — an метров забора. Тогда a1+an=60 м, а за n дней было покрашено Sn=(a1+an)*n/2=30n метров забора. Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: 30n=240 метров, n=8. Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Ответ: 8 дней.

Задание 11 № 99580

Задача:Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.

Пусть рабочие в первый день проложили a1 метров тоннеля, во второй — a2 ,….,в последний — an метров тоннеля. Длина тоннеля Sn=(a1+an)*n/2=500 метров. n=10 дней. Тогда в последний день рабочие проложили a10=2Sn/n-a1=1000/10-3=97 метров. Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97.

Прогрессии и слухи.

Так же я нашла не  менее интересную задачу про слухи. Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи!  Решила придумать свою и предложить её одноклассникам.

    Задача:   В селе Аладьино 1200 жителей. Приезжий человек из села Красное озеро в 9:00 начинает рассказывать новость 2 людям, стоявшим  в очереди у молочной палатки,  каждый из них рассказывает в течении получаса  новость уже двум своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине жителей села Аладьино?

Решение:  Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие полчаса передать её двум согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 09.00 новость знают 1+2=3(человек);

      09.30                        2+2*2=6(человек);

      10.00                          6+6*6=42(человек)

      10.30                          42+42*42=1806(человек)

Ответ: меньше чем  через полтора часа.

Выводы

При исследовании задач учебников, сайтов подготовки выпускников к экзаменам я убедилась, что прогрессии имеют большое прикладное значение.

Решая задачи, я убедилась в том, что прогрессии используются в различных науках, и многих профессиях.

Я приобрела навык решения задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Много экономических задач связанных с прогрессией. Этим  я буду заниматься в следующем  году.

Литература, интернет - ресурсы: 

• Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей Т.11. Математика гл. ред. Аксенова М.Д. – М.: Аванта «+», 1998.
• Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М: Просвещение, 1990
• Шевелева Н.В., Корешкова Т.А., Мирошин В.В. Математика (Алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс/- М.: Национальное образование,  2011
• Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014
• Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворов. Алгебра 9: учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С.А. Теляковского, 19- е изд.- М: Просвещени, 2017
• Игнатьева Е.И.,  АхадовА.А. Сборник старинных занимательных задач по математике. - М.: Просвещение, 1985
•  Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел - М.: Просвещение, 1986
• https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=89 
• https://nsportal.ru/
• http://www.5egena5.ru/zadachi-po-matematike-9klass.