Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Раздольненская средняя общеобразовательная школа имени Г.П. Котенко»

Исследовательская работа по теме:

«Вероятность получения положительной отметки при написании тестовой контрольной работы
путем угадывания правильного ответа»

предмет: математика

Выполнил:

Ученик 9 «Б» класса

Саркисян Артём

Учитель:

Александрова Алёна Сергеевна  

с. Раздольное, 2020 г.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ        3

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        5

1.1 История возникновения теории вероятностей как науки        5

1.2 Научное обоснование и применение теории вероятностей        7

1.3 Основные формулы        12

1.4 Вероятности в жизни        14

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        19

Список использованных источников        20

ПРИЛОЖЕНИЯ        21

ВВЕДЕНИЕ

Процесс обучения невозможен без диагностики контроля знаний и умений учащихся. Существуют различные системы контроля, их разработкой занимаются не только учёные, но и сами учителя-предметники.

Среди форм и методов контроля знаний выделяют опросы и письменные работы. Считается, что более объективную оценку уровню знаний учащегося можно дать по результатам индивидуальной письменной работы. В связи с введением ОГЭ и ЕГЭ, учителя стали чаще проводить контрольные и самостоятельные работы в виде тестов, особенно по математике, информатике и физике. Тестовым заданиям в последнее время уделяют достаточно много внимания в образовании. Контроль знаний в виде теста требует обобщения знаний по конкретной теме, главе или предмету в целом.

Понятно, что всего знать невозможно. А часто встречаются такие ученики, которые и не думают включаться в учебу. Поэтому, у некоторых учеников возникает вопрос: «Нельзя ли выбрать наугад ответы и при этом получить положительную отметку за тест?». Мы тоже заинтересовались этим вопросом и возможными ответами на него. А обязательно ли знать многое, или достаточно быть удачливым?

Известно, что объем теста может быть различным, как и количество вариантов ответа на каждый вопрос. Мы решили провести исследование и выяснить вероятность получения хорошей отметки для разных видов тестов. Таким образом мы выдвинули предположение о том, что выбор ответов наугад не может обеспечить положительную отметку за контрольную работу в тестовой форме.

Цель исследования: определение вероятности получения положительной отметки при написании тестовой контрольной работы учащимися 9-х классов путем угадывания правильного ответа.

Задачи исследования:

1. найти и изучить теоретический материал по данной теме, используя справочную литературу и ресурсы интернета;
2. разработать тесты разного уровня сложности по математике для учащихся 9-х классов;
3. апробировать тесты на уроке математики;
4. проанализировать и обобщить результаты тестирования;
5. выявить наиболее оптимальный вариант содержания тестов.

Объект исследования: тестовые контрольные работы.

Предмет исследования: результаты тестовых заданий по алгебре и геометрии, составленных на основе школьной программы.

Методы исследования: анкетирование, сбор информации, эксперимент, анализ полученных результатов.

Практическая значимость данной работы состоит в том, чтобы помочь обучающимся осознать важность учения, так как согласно проведенному исследованию, получить положительную отметку за тестовую контрольную работу путем угадывания маловероятна.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. История возникновения теории вероятностей как науки

Опр. Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятностей занимается изучением этих закономерностей, различных событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.

Возникновение этой науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей

Считается, что идея теории вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых Блез Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665). От этой переписки сохранились лишь семь писем. В этой переписке оба ученых ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов. У этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени.

Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Решение Паскаля подробно излагается в письме:

«Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля.

Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по две выигранных партии и, следовательно, если они намерены произвести раздел, то каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.

Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проигрывает, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию, и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их все равно получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля».

Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. В обоих случаях рассуждения те же, что были приведены выше.

Ферма предложил следующее решение этой задачи:

Пусть до выигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В трех. Тогда для завершения игры достаточно сыграть максимум четыре партии. Возможные исходы представлены в виде таблицы. В первых одиннадцати исходах выигрывает А, в последних пяти В. Таким образом, ставка между игроками должна быть разделена в отношении  . Т.е. игрок А получит  , а В получит  ставки.

Очевидно, что Ферма, как и Паскаль, делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры. Однако, они и сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы.

Паскаль одновременно с размышлениями над проблемами, составившими содержание его переписки с Ферма, разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился «Трактат об арифметическом треугольнике», внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики. В этом трактате есть параграф, в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки. Правило, предложенное Паскалем, состоит в следующем: пусть игроку  до выигрыша всей игры не хватает  партий, а игроку  -   партий, тогда ставка должна делиться между игроками в следующем отношении:

Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и теорем о сложении и умножении вероятностей. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей.

1.2 Научное обоснование и применение теории вероятностей

С вероятностными представлениями люди сталкивались уже в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых можно найти рассуждения о равновозможных исходах.

Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было необычным. Все дело в том, что в самом начале она рассматривалась как нечто несерьезное, занимательное, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты, для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля. Такие элементарные задачи ставились и решались на начальном этапе, к теории вероятностей они будут отнесены позже. В этот период становятся известными работы Джероламо Кардано, Лука Пачоли и Никколо Тарталья, но никаких специальных методов они не создают.

К середине, XVII века вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли внимание ученых своей актуальностью. Учёными, решившими найти разрешение данных вопросов были Блез Паскаль, Пьер Ферма и Христиан Гюйгенс. Именно они создали первые специфические понятия: математическое ожидание, вероятность; разработали первые свойства: теоремы сложения и умножения вероятностей. Тогда теория вероятностей начала использоваться в страховом деле, демографии, в оценке ошибок наблюдения.

Получив уже небольшое начало в обосновании и применении, теория вероятностей стала заинтересовывать все большее число ученых математиков. Швейцарский математик Якоб Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами и продолжил работать в этом направлении. Считается, что теория вероятностей как наука начинается с работы Якоба Бернулли (1654–1705) «Искусство предположений», опубликованной в 1716 году. В этом произведении уже введено и широко использовано понятие вероятности случайного события, доказаны некоторые общие теоремы и сделаны полезные примечания к работе Х. Гюйгенса.

В этот период становления науки, который продолжался до середины XIX века в центре внимания находятся предельные теоремы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. Вводятся понятия геометрическая вероятность, статистическая вероятность, но во главу изучения становится классическое определение вероятности.

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова. Попыток изменить ситуацию и поставить теорию вероятностей на заслуженное место было много, однако лишь в 1933 году Колмогорову удалось это сделать. Современный период начался с установления аксиоматики, правил, т.к. применение теории вероятностей в физике, биологии, технике, военном деле и других областях требовало уточнения и приведения к стройной системе её основных понятий. До Андрея Николаевича все классические, статистические данные, философские мысли и теории для азартных игр были лишь «интуитивными предпосылками», «кирпичиками» современной теории вероятностей. Ученый наделил теорию всеми необходимыми элементами, чтобы ее можно было назвать математической дисциплиной. Благодаря аксиоматике наука стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Такой шаг обусловил небывалую широту исследований и её применения начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.

Заслуга А.Н. Колмогорова не только в том, что он внес полную ясность в формальное строение теории вероятностей, но и в том, что сделал это с минимальными изменениями. Ученый сумел применить уже готовый мощный инструмент — так называемую теорию меры. Однако все равно это оказалось делом нелегким. Историю открытия теории вероятностей можно сравнить с открытием Эйнштейном теории относительности.

Рассмотрим несколько направлений где применяется теория вероятностей. Вообще, современная математическая статистика, пригодная для широкого применения в практике, была развита в Англии Карлом Пирсоном, Стьюдентом, Робертом Джеймсом Фишером.

1. Астрономия. В то время (конец XVIII – начало XIX века) главным вопросом для ученых было расчет движения орбит комет. Тогда ограничивались лишь малым числом наблюдений, но ясно, что надежное определение типа орбиты (эллипс или гипербола) и точный расчет ее параметров оказывается трудным, так как орбита наблюдается лишь на небольшом участке. Тогда специально для этого был разработан знаменитый “метод наименьших квадратов” (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Метод оказался эффективным, универсальным, его стали использовать в геодезии и картографии.
2. Физика. Во второй половине XIX века теория вероятностей была применена в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса. Ими была развита статистическая механика, которая описывала состояние разряженных систем, содержащих огромное число частиц (порядка числа Авогадро = ). Если раньше понятие распределения случайной величины было преимущественно связано с распределением ошибок измерения, то теперь распределенными оказались самые разные величины: скорости, энергии, длины свободного пробега.
3. Биометрия. В конце XIX века в 70х-00х годах, бельгиец Адольф Кетле и англичане Френсис Гальтон и Карл Пирсон основали новое научное направление – биометрию, в которой впервые стала систематически и количественно изучаться неопределенная изменчивость живых организмов и наследование количественных признаков. В научный оборот были введены новые понятия – регрессии и корреляции.
4. Сельское хозяйство. В начале 20 века в Англии была поставлена задача количественного сравнения эффективности различных методов ведения сельского хозяйства. Для её решения была развита теория планирования экспериментов, дисперсионный анализ. Основная заслуга принадлежит сэру Рональду Фишеру, астроному по образованию, а в дальнейшем фермеру, статистику, генетику, президенту английского Королевского общества.
5. Промышленность. Здесь были введены методы статистического контроля на производстве (контрольные карты Шухарта), что позволило сократить количество испытаний качества продукции. Постепенно математические методы становились настолько важными, что их стали засекречивать. Так книга с описанием новой методики, позволявшей сократить количество испытаний (“Последовательный анализ” Вальда), была издана только после окончания второй мировой войны в 1947 году.
6. Медицина. Широкое применение статистических методов в медицине началось сравнительно недавно (вторая половина 20 века). Развитие эффективных методов лечения (антибиотики, инсулин, эффективная анестезия, искусственное кровообращение) потребовало достоверных методов оценки их эффективности. Возникло новое понятие “Доказательная медицина”. Начал развиваться более формальный, количественный подход к терапии многих заболевании – введение протоколов.
7. Биоинформатика. К 1968му году уже были осуществлены проекты, связанные со строительством атомных электростанций, полетами на Луну, созданием термоядерной бомбы. Начиная с 1980-х годов количество известных последовательностей белков и нуклеиновых кислот стремительно возросло. Объем накопленной информации таков, что только компьютерный анализ этих данных может решать задачи по извлечению информации. С середины 1980-х годов появилась возможность широкого использования быстрых и доступных компьютеров.

3. Основные формулы

Основное понятие теории вероятностей – вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Наверняка, каждому знакомы фразы: «завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». С.И. Ожегов словаре дает такое толкование слова вероятность: «возможности осуществления чего-нибудь». Там же дает определение понятию теории вероятностей: «раздел математики, изучающий закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений».

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, невозможные, равновероятные, случайные.

Опр. Событие В называют достоверным в некотором испытании, если в ходе этого испытания оно обязательно произойдет.

Пример: событие В: при одном бросании игральной кости, выпадет одно из шести чисел 1,2,3,4,5,6.

Опр. Событие С называют невозможным в некотором испытании, если в ходе этого испытания оно никогда не произойдет. 

Пример: событие С: при однократном бросании игральной кости, выпадет число большее 6. Понятно, что это невозможно.

Опр. Равновероятными называют события, которые при данных условиях в некотором испытании имеют одинаковые шансы для наступления.

Пример: событие D: при однократном бросании симметричной монеты выпадет орёл. Монета имеет две стороны и всего два исхода, поэтому вероятности выпадения орла или решки равны.

Опр. Событие А называют случайным в некотором испытании, если в ходе этого испытания оно может произойти или не произойти.

Пример: событие А: при однократном бросании игральной кости выпадет четное число. Четное число может выпасть, а может выпасть нечетное число.

Особое место в теории вероятностей занимают случайные события, ведь если событие случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Как уже было сказано, существуют разные вероятности: классическая, статистическая, так же в экзамен ЕГЭ включены задачи, решаемые с помощью теорем теории вероятностей. В школе изучают классическое определение вероятности. Рассмотрим классическое определение вероятности.

Принято вероятность события А обозначать так: Р(А), тогда формула для вычисления вероятности записывается так:

Опр. Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов , благоприятствующих событию , к числу исходов  всех исходов испытания. Из формулы (1) следует, что

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с многократными повторами испытаний и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Данная схема названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу для нахождения вероятности появления случайного события:

 (2),

где  – вероятность, что событие  появится ровно m раз в n испытаниях,

 – число испытаний,

 – вероятность появления события  в одном испытании,

 – вероятность не появления события  в одном испытании.

Из комбинаторики мы знаем, что число сочетаний выражается формулой: . Тогда заменим в (2):

Данную формулу будем применять при расчете вероятности получения положительной отметки при выполнении теста.

4. Вероятности в жизни

В жизни мы каждый день встречаемся с задачами из теории вероятностей, но мало кто сможет такую задачу решить. В школе на уроках математики нас знакомят и учат решат простейшие вероятностные и комбинаторные задачи начиная с пятого класса. Ниже представлены некоторые виды таких задач, встречающихся в жизни.

1. Игры в кости

Кости – одна из древнейших игр. Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Разновидности игры предполагают разный подсчёт очков.

2. Коды на ….

– сейфах

– телефонные номера

– пароль в социальных сетях (агент, одноклассники и т.д.)

3. Лотереи

Лотерея – организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота). Кто из нас не мечтал выиграть в лотерею миллион! Но все мы реалисты, и понимаем, что вероятность такого выигрыша очень мала. Ведь игра в лотерею – это игра с судьбой, попытка поймать удачу; и чем больше выигрыш стоит на кону – тем сильнее ощущения!

4. Карточные игры

Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде. Перед использовании той же колоды в следующей игре карты в ней перемешиваются (перетасовываются).

5. Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. Тут все решает Её величество фортуна.

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В эксперименте принимали участие 27 девятиклассников и 15 десятиклассников.

Всё исследование мы разбили на несколько этапов:

1) анкетирование учащихся 9х-10го классов и анализ результатов;

2) составление тестов разного уровня сложности;

3) апробация тестов, анализ результатов;

4) общий вывод.

На первом этапе мы провели анкетирование (приложение 1) среди учащихся 9х-10го класса нашей школы, в котором им нужно было ответить на вопрос «Возможно ли пройти тест на «хорошо» и «отлично», выбирая вариант ответа наугад?».

В результате анкетирования выяснилось, что 69% учащихся предложенной группы считают, что возможно получить отметку «хорошо» или «отлично» путем угадывания правильного ответа в тесте.

Второй этап исследования.

На этом этапе мы занялись составлением тестов разной структуры. Мы решили проверить, как будет отличаться вероятность получения положительной отметки в зависимости от количества вариантов ответа. Понятно, что вероятность уменьшится, если правильных вариантов будет несколько как, например, в 20м задании ОГЭ по математике, поэтому решили ограничиться одним верным вариантом.

Решили составить три типа тестов с двумя, тремя и четырьмя вариантами ответа, из которых только один верный. Мы решили составить комбинированные тесты по математике (алгебра и геометрия вместе) из 10 вопросов. Вопросы взяты из открытого банка заданий ОГЭ сайта ФИПИ. Тесты представлены в приложении 2.

Так как тест состоит из 10 вопросов, то, чтобы получить отметку «хорошо» или «отлично», учащемуся необходимо набрать от 7 до 10 баллов.

Третий этап исследования.

Для подтверждения гипотезы исследования, учащимся на уроках математики были предложены контрольные работы в тестовой форме разного уровня структуры. Их задачей было наугад выбрать правильный ответ. Далее сравним теоретические подсчеты с реальными данными.

Наше исследование является задачей случайных событий в независимых испытаниях, поэтому для обработки данных мы использовали формулу Бернулли, она позволила нам вычислить вероятность получения положительной отметки при написании тестовой контрольной работы путем угадывания правильного ответа.

Вспомним формулу и её компоненты:

где  – вероятность, что событие  появится ровно  раз в  испытаниях,

 – число испытаний,

 – вероятность появления события  в одном испытании,

 – вероятность не появления события  в одном испытании.

Согласно этой формуле, мы должны выбрать событие A. Рассчитаем вероятность для каждого отдельного теста.

1. Тест с двумя вариантами ответа.

Событие : верный ответ в одном вопросе. Тогда , тогда . Чтобы получить положительную отметку, необходимо набрать минимум 7 баллов, значит .

Теоретически, отметку «хорошо» и «отлично», выбирая ответ наугад можно получить с вероятностью всего лишь 0,12. А эксперимент с учащимися показал следующий результат: из сорока двух тестируемых только у девяти получилось набрать 7 и более баллов. Таким образом экспериментально вероятность составила  – это 21%.

2. Тест с тремя вариантами ответа.

Событие : верный ответ в одном вопросе. Тогда , тогда . Чтобы получить положительную отметку, необходимо набрать минимум 7 баллов, значит .

Добавлением еще одного варианта ответа, мы уменьшили вероятность получения положительной отметки почти в 8 раз. Даже с тремя вариантами ответа мы получаем практически нулевую вероятность. Результат практического эксперимента: только одному тестируемому удалось получить отметку «хорошо». Вероятность 0,023 – 2%.

3. Тест с четырьмя вариантами ответа.

Событие : верный ответ в одном вопросе. Тогда , тогда . Чтобы получить положительную отметку, необходимо набрать минимум 7 баллов, значит .

Экспериментально ни один тестируемый не смог получить отметку 4 или 5.

Вывод: угадать на хорошую отметку можно, особенно в тестах с малым выбором вариантов ответа. Вероятность получения хорошей отметки в тесте с четырьмя вариантами очень мала – практически нулевая. Мы проводили эксперимент с тестами, считая, что учащиеся не знают ответ ни на один вопрос теста, но что если ученик знает половину и больше? Тогда угадать правильный ответ всего на 5 и менее вопросов из двух вариантов не сложно. Поэтому данный вид теста не будет на 100% отражать уровень знаний учащегося. Поэтому, мы считаем, что наиболее оптимальным (нелегким для учащегося и не сложным в проверке для учителя) будет тест, содержащий 4 варианта ответа.

Результаты практических экспериментов и их теоретическое обоснование подтверждают правильность выдвинутой гипотезы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведя данное исследование, мы можем сделать вывод о том, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит обучающимся успешно писать тестовые контрольные работы, хорошо подготовиться к государственной итоговой аттестации в среднем и старшем звене. Ведь, не научившись учиться в школе, будет очень трудно обучаться на более высоких ступенях.

Таким образом, гипотеза исследования подтверждена, цель работы достигнута и задачи выполнены.

Список использованных источников

1. Алтынов П.И. Алгебра. Тесты. 7-9 классы: Учебно- методическое пособие. – 3-е изд. – М.: Дрофа, 1999. – 128 с.

 2. Алтынов П.И. Геометрия. Тесты. 7-9 классы: Учебно- методическое пособие. – 3-е изд. – М.: Дрофа, 1999. – 122 с.

3.  Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962

4. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений (2-е изд.). М.: Наука, 1971

5. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1982

6. Новейший справочник школьника. Г.П.Шалаева — М.: СЛОВО; Эксмо, 2005. — 736с.

7. Энциклопедический словарь юного математика./Сост. А.П.Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352с., ил.

8. http://ru.wikipedia.org/

9. http://www.teorver.ru/vvedenie-v-teoriyu-veroyatnostej/

10. http://www.fmclass.ru/

11.https://ru.wikipedia.org/wiki

12. http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node4.html

13. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html

14. http://sins.xaoc.ru/pdf/articles/articles_r038.pdf

15. http://www.ofim.oscsbras.ru/~klokov/probability/download/essay.pdf

ПРИЛОЖЕНИЯ

---

Приложение 1

Анкета

Ответьте на вопрос:

Возможно ли пройти тест на «хорошо» и «отлично», выбирая вариант ответа наугад?

Да                        Нет

Приложение 2

Итоговый контрольный тест

Выберите вариант ответа. Примечание: только один вариант является верным.

1. Найдите значение выражения 4,6 · 3,9 + 1,74.

А) 19,8

Б) 19,68

В) 1620

Г) 16,20

2. На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам 0,0137; 0,103; 0,03; 0,021.

Какой точке соответствует число 0,03?

А) A

Б) B

В) C

Г) D

3. Какое из чисел больше:  или 

А) 

Б) 

В) 

Г) Никакое

4. Найдите корни уравнения  .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

А) 50

Б) 5

В) 05

Г) 210

5. На экзамене 60 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

А) 48

Б) 12

В) 0,48

Г) 0,8

6.  — правильный восьмиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

А) 45

Б) 22,5

В) 8

Г) 90

7. Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.

А) 55

Б) 110

В) 125

Г) 70

8. В трапеции ABCD известно, что AD=6, BC=5, а её площадь равна 22. Найдите площадь треугольника ABC.

А) 12

Б) 11

В) 10

Г) 22

9.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

А) 4

Б) 9

В)10

Г) 2,5

10. Какие из следующих утверждений верны?

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

2) Смежные углы равны.

3) Все диаметры окружности равны между собой.

А) только 1

Б) 1 и 2

В) все верны

Г) 2 и 3