Проектная работа по математике "Флексагоны"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя школа №15» г. Заволжье

Городецкого района Нижегородской области

«Флексагоны»

Исследовательская работа по математике

Выполнила:

 Здобина Алена

ученица 8 «А» класса 

МБОУ СШ №15

Руководитель:

учитель математики

Ярцева Ксения Юрьевна

Городецкий район

2017 год

Введение.        3

1. Исследовательская часть        4

1.1 История создания        4

1.2 Виды флексагонов, их свойства.        6

2. Практическая часть.        9

2.1. Изготовление моделей флексагонов.        9

2.2. Применение флексагонов        12

Заключение        14

Список литературы        14

Введение.

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Н.Е. Жуковский

К проведению данной исследовательской работы меня подтолкнул интерес к головоломкам. Однажды, услышав термин «флексагон», появилось желание узнать, что же это такое и изучить эту тему подробно.

Я хочу развеять миф, распространённый среди учащихся, о том, что математика это «сухая» наука, которая состоит только из цифр, формул и скучных задач и показать своей работой, что геометрия может быть занимательной, увлекательной и даже красивой.

Цель работы: изучение удивительного мира флексагонов, создание собственных моделей.

Задачи проекта:

• изучить историю открытия флексагонов;
• ознакомиться с процессом их изготовления;
• изготовить некоторые виды флексагонов;
• изучить свойства флексагонов;
• выяснить применение флексагонов в жизни.

1. Исследовательская часть

Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Происходит это слово от английского to flex, что означает «складываться, гнуться». Если бы не одно случайное обстоятельство – различие в формате английских и американских блокнотов, – флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Флексагон – это математическая головоломка. Очень увлекательная, забавная игрушка, обладающая удивительными свойствами.

Флексор – вращающиеся кольца тетраэдров.  Эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.

1.1 История создания

Своему появлению флексагоны обязаны, как уже говорилось, различию в форматах английских и американских блокнотов. Это случилось в конце 1939 года, когда Артур Стоун, аспирант из Англии, изучавший в Принстоне математику, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, он стал складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур – правильный шестиугольник – оказалась особенно интересной: она имела три поверхности, только две из которых были видны. Перегнув же шестиугольник определённым образом, можно было увидеть и третью сторону. Позже его назвали тригексафлексагоном («три» – число поверхностей, «гекса» – число углов).

Поразмыслив над этим ночью, наутро Стоун убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений. Оказалось, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - аж 82 способами…

Чтобы обнаружить все поверхности флексагона, иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу: сколько бы вы ни бились, перед вами будут открываться лишь одни и те же уже виденные вами поверхности. Таккерман довольно быстро нашёл простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: нужно держать его за какой-либо угол и открывать до тех пор, пока он не перестанет раскрываться, и лишь затем переходить к следующему углу. Этот метод, известен как «путь Таккермана»; его удобно изображать в виде схемы.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Она в частности указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причём именно той разновидности, которая требуется. Тетрафлексагоны были открыты, по крайней мере, на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур X. Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок.

1.2 Виды флексагонов, их свойства.

• Унагексафлексагон – треугольный лист Мёбиуса. Полоску из трех треугольников разглаживают и подвернув один конец соединяют с другим. Унагексафлексагон имеет одну поверхность. Не сгибается.

• Дуогексафлексагон представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.

• Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников. Тригексафлексагон – шестиугольный лист Мёбиуса. Имеет три поверхности. Может сгибаться.

• Тетрагексафлексагон 

Простейший тетрафлексагон имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Его легко сложить из полоски бумаги, изображенной на рис. 1 (а — лицевая, б — оборотная сторона полоски). Перенумеруем квадраты на обеих сторонах полоски так, как это сделано на рис. 1. Перевернув полоску бумаги оборотной стороной вверх, перегнем ее слева направо вдоль вертикали, разделяющей две тройки, а затем загнем самый правый нижний квадрат (рис.1, в) и склеим его оборотную сторону с верхним квадратом прозрачной лентой (рис.1, г).

Также существует по крайней мере шесть типов четырехсторонних трафлексагонов, известных под названием тетратетрафлексагоны.

Для изготовления их удобнее всего взять прямоугольный кусок тонкого картона и разграфить его на 12 квадратов. Нумерация квадратов на обеих сторонах листа показана на рисунке (а и б).

Рис. 2

Пунктиром обозначены линии разрезов. Взяв прямоугольник так, чтобы лицевая его сторона (а) была обращена к нам, отогнем вниз и налево язычок из двух центральных квадратов с цифрами 2 и 1 и подогнем правый столбец. То, что при этом получится, показано на рис. 2, в. Еще раз подогнем правый столбец и загнем на себя и вправо квадрат с тройкой, торчавший до сих пор слева. После этих операций все квадраты с 1 окажутся сверху. Два центральных квадрата склеим прозрачной лентой так, как показано на рис. 2, г.

Существует совсем другая разновидность тетрафлексагонов, обладающих необычным свойством: их можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Они также имеют по четыре и больше разворотов. Изготовить такие флексагоны можно из полоски бумаги в виде квадратной рамки.

• Гептагексафлексагон имеет семь поверхностей. Его складывают тремя способами из полосок бумаги, изображенных на рисунке 3. Первую полоску можно сложить двумя различными способами.

Третью форму этих флексагонов конструируют из полоски бумаги, имеющей вид восьмерки с перекрывающими частями. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами». Поверхности этой фигуры можно перенумеровать так, что на «пути Таккермана» они будут встречаться «по порядку номеров», как дома на улице.

Рис. 3

• Гексагексафлексагон складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников.

Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1, 2, 3; треугольники на другой стороне – цифрами 4, 5, 6. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов.

Два других вида гексагексафлексагонов можно сделать из полосок бумаги, форма которых показана на рисунке.

• Пентагексафлексагон имеет пять поверхностей. Единственную разновидность этого флексагона складывают из полоски, показанной на рисунке.

2. Практическая часть.

2.1. Изготовление моделей флексагонов.

• Для изготовления тетрафлексагонов, как уже было сказано ранее, используется полоска бумаги в виде квадратной рамки.

Процесс изготовления данного вида флексагона подробно описано в видеоуроке https://youtu.be/z_xw62pClLE.

После изготовления модели тетрафлексагона я решила сделать из него полезную шпаргалку, а именно записать на его 6 поверхностей пифагоровы тройки.

Пифагорова тройка —  упорядоченный набор из трёх натуральных чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора:

x2 + y2 = z2

Я выбрала следующие тройки:(5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (12, 35, 37); (9, 40, 41). Теперь в процессе игры я запомню полезную информацию.

• Для изготовления тригексафлексагона нам потребуется полоска бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников.

Такую полоску можно изготовить с помощью карандашной разметки. Для построения правильных треугольников используют циркуль и линейку или обводят шаблон равностороннего треугольника.

Заменим разлиновку бумаги сгибами. Но для этого проведем следующие вычисления.

Пусть мы используем полоску ширины а см.Найдем длину отрезка ВС при условии, что ∆АСD равносторонний.

Тогда ∠САD=60°, значит ∠САВ=30°.

В прямоугольном ∆АВС .

Т.е. если, например, а=6 см, то ВС ≈ 3,5 см.

Изготовления тригексафлексагона подробно описано в видеоуроке https://youtu.be/uT-gqDq2YVI.

Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность гексагексафлексагона может появляться по крайней мере в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие ее треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рис. 5, и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А (именно этот случай и показан на рис. 5), и области В, и области С. На рис. 4 изображен геометрический узор, который, будучи нарисован на одном развороте флексагона, появляется на двух других разворотах, каждый раз принимая иной вид.

Рис. 4

2.2. Применение флексагонов

В ходе исследовательской работы мы выяснили, что флексагоны и флексоры представляют собой не только необычные игрушки. Они сумели привлечь внимание в различных отраслях. Вот несколько примеров:

• Шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах.

• Необычный цикл изгибания фигур привлекает к ним внимание, из-за этого его используют в рекламных акциях. Помимо этого к любому флексагону можно прикрепить плоский предмет (то, на что изготовители хотят обратить внимание), и можно быть уверенным, что этим предметом заинтересуются (также используется в маркетинге).
• Флексагоноподобные фигуры используются как самодельные открытки, игрушки (к сожалению, массовое производство так и не налажено).

• Флексагоны и флексоры применяются как средство математического развития дошкольников и школьников младших классов. Это один из перспективных подходов к математическому развитию ребенка.
• Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.
• Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается (Уважаемые учителя, будьте бдительны!).
• Флексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ, в стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки.

Заключение

Данная работа принесла мне много новых знаний, навыков, я с удовольствием изучала новый для меня геометрический объект – флексагон.

А еще я познакомила с ним моих одноклассников. Под моим руководством каждый изготовил тетрафлексагон, оформив его поверхности пифагоровыми тройками. Многие заинтересовались этим удивительным объектом и попросили научить их изготавливать и другие виды флексагонов.

В процессе разворачивания флексагона я заметила удивительную особенность – при повторном открытии поверхности числа, написанные на ней, меняют свое местоположение, но всегда сохраняют взаимную ориентацию (не переворачиваются и не отражаются зеркально).

Моя работа с одной стороны завершена – все поставленные задачи я выполнила. Изучила историю создания флексагонов, их классификацию, создала несколько моделей. А другой стороны я еще только в самом начале путешествия по удивительному миру изгибаемые многоугольников.

Список литературы

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: 2-е изд., испр. и дополн. /Пер. с англ. — М.: «Мир», 1999, 447с, ил.— (Математическая мозаика)
2. Панов А., Флексагоны, флексоры, флексманы. «КВАНТ» — 1988 - №7 http://kvant.ras.ru/1988/07/fleksagony_fleksory_fleksmany.htm 
3. ВИКИПЕДИЯ. - URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон.
4. Энциклопедия знаний. -URL: http://www.pandia.ru/96559/.