Проектная работа по математике

Городская научно-практическая конференция школьников

«Обыкновенное чудо»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №20 г.Улан-Удэ»

Проектная работа по теме:

«Приемы быстрого счета»

Выполнил:

ученик 6Б класса

Ишанханов Абдуллох

Руководитель:

учитель математики МАОУ СОШ № 20

Толок Светлана Найдановна

Улан – Удэ

2019

Оглавление

1. Введение
2. Основная часть:

1. Простые приемы быстрого счета умножения и деления
2. Нестандартные приемы быстрого счета
3. Старинные способы вычислений: МЕТОД «РЕШЕТКИ», умножение на пальцах

3. Заключение
4. Список литературы

Введение.

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам  необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,  необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.  

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера  телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны,  если бы не наука о числах.

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому я решил показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и интересным занятием.

Цель: изучить приемы быстрого счета, показать необходимость их применения для упрощения вычислений.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

1. Изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.
2. Изучить нестандартные приемы и старинные способы счета.

Объект исследования: приемы быстрого счета.

Предмет исследования: процесс вычислений.

Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и  им будет легче решать практические задачи.

Данная работа относится к прикладным исследованиям, т.к. в ней показывается роль  применения приемов быстрого счета для практической деятельности.

При работе над  докладом я пользовался следующими методами:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Именно использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. На кружке по математике мы познакомились с понятиями «умножение решеткой», «шахматный способ» и я решил продолжить изучение темы приемы устного счета. Захотелось узнать другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.

Умеете ли вы считать? Кто не умеет считать? Каждый ответит, что для этого, особого искусства не требуется. И будет прав. Но вопрос – как считать? Можно считать на калькуляторе, можно считать столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счета. Мне сейчас очень нравится применять различные приемы быстрого счета. Из моих одноклассников мало кто умеет считать быстро устно и мне захотелось выяснить, а знают ли они приемы быстрого счета, если нет, то помочь им освоить эти приемы.

Поговорив с одноклассниками, я сделал вывод, что не все учащиеся знают приемы быстрого счета, поэтому необходимо рассказать ученикам 5-6-х классов, чтобы использовать их при выполнении вычислений.

Уметь быстро считать может каждый!

Нужно знать способы устного быстрого счета.

Но... есть люди, которые обладают уникальными способностями от природы.

Великие математики, которые в детстве умели быстро считать устно: Карл Фридрих Гаусс, Роман Семенович Левитан (за несколько секунд он возводил в квадрат и куб десятизначные числа и  извлекал корни разной степени), француз Лидоро, Шакунтала Деви опередила вычислительные машины, Олег Степанов, Ян Трахтенберг и другие.

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Изучив литературу по данной теме, мною был сделан отбор, из множества приемов быстрого счета, я выбрал приемы умножения и деления, которые просты в понимании и применении для любого ученика.  

1. Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:       324:4=(324:2):2=162:2=81.

2. Умножение и деление числа на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Например:       236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

Например:       236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

3. Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 34·1,5=34+17=51;

                   146·1,5=146+73=219.

4. Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать  0 и отнять исходное число.

Например:   72·9=720-72=648.

5. Умножение на 25 числа, делящегося на 4.

Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.  

Например:    124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

6. Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Поясним, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

7. Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.
Например:   352=1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225.  

8. Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
522= 2704, т.к. 25+2=27 и 22=04;

582= 3364, т.к. 25+8=33 и 82=64.

Нестандартный устный счет

1. Умножение двузначных чисел от 10 до 20

Чтобы перемножить два двузначных числа от 10 до 20 надо к первому числу прибавить цифру единиц второго числа. К результату, увеличенному в 10 раз прибавить произведение единиц данных чисел. Например: 16*17 = (16+7)*10 + 6*7 = 230+42=272

2. Умножение двузначных чисел ото 20 до 30

Чтобы перемножить два двузначных числа от 20 до 30 надо к первому числу прибавить цифру единиц второго числа. К результату, увеличенному в 20 раз прибавить произведение единиц данных чисел. Например: 26*27 = (26+7)*20 + 6*7=660+42=702

3. Умножение двух чисел, у которых цифры десятков одинаковы, а сумма единиц равна 10.

Надо число десятков первого числа умножить на число на единицу большее, а к полученному результату справа приписать двумя цифрами произведение единиц данных чисел. Например: 57*53 = 3021             5*6=30            7*3=21

157*153 = 24021      15*16+240       7*3+21

4. Умножение двух чисел, у которых цифры единиц одинаковы, а сумма цифр десятков равна 10.

Надо перемножить числа десятков и к полученному произведению прибавить число единиц, и к полученному результату справа приписать двумя цифрами произведение единиц данных чисел.

Например: 63*43 = 2709          6*4 + 3= 27      3*3 = 09

5. Умножение двух чисел, близких к 100

Для того, чтобы умножить ..., надо из первого числа вычесть недостающие до ста единицы второго числа. Произведение недостающих до ста чисел в обоих множителях приписать справа к полученному результату. Например,   93*98 = 9114      93 – 2  = 91         7*2 = 14

Старинные способы вычислений

МЕТОД «РЕШЕТКИ»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).    

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
• затем квадратные клетки делим по диагонали;
• вверху  таблицы записываем число 987;
• слева таблицы число 12;
• теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;
• после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;
• результат читаем по стрелке.

        Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

        Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА). 

Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика,  философа, жившего в IV веке д.н.э. – Пифагора– «Всё есть число!».

Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с литературой и поиске в Интернете я обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.

 Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Однажды в школе (Гауссу было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101·50=5050. Как он вычислил? Очень просто –  он применил прием быстрого счета, он складывал первое число с последним, второе с предпоследним и т.д. таких сумм всего 50 и каждая равна 101, поэтому он смог почти мгновенно дать правильный ответ.

 1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101·50=5050. Этот пример, лучше всего показывает, что можно считать быстро и правильно практически устно всем школьникам, для этого всего лишь нужно знать приемы быстрого счета.

Возможно, что с первого раза не у всех  получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

Выводы:

• Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
•   Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной.

Список литературы:

1. www.school.edu.ru
2. www.junior.ru/students
3. www.e-reading.club.ru
4. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
5. Минских  Е.М. «От игры к знаниям»,  М., «Просвещение»,    1982г.
6. Свечников  А.А. Числа, фигуры, задачи.  М., Просвещение,  1977г.