Геометрия на клетчатой бумаге

                   Тема работы: Геометрия на клетчатой бумаге

Обычный листок в клетку… Каждый из нас имел дело с ним с первых дней изучения математики, а может быть, и раньше. Клеточка как наглядный инструмент, помогает лучше изучить свойства геометрических фигур и открывает для нас достаточно оригинальные и интересные задачи. Это задачи на клетчатой бумаге.

Эти задачи отличаются от обычных задач из действующих учебников геометрии, и в то же время они не требуют дополнительных сведений, они направлены на обобщающее повторение основного курса геометрии 7 – 9 классов, на его более глубокое освоение и понимание, выработку необходимых компетенций.

Проанализировав школьные учебники математики, научно – популярную и занимательную литературу, интернет-ресурсы, я нашел разные задачи, которые решаются на клетчатой бумаге.

У  меня возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Тем более  что с задачами на клетчатой бумаге я столкнулся  при подготовке к ОГЭ (основному государственному экзамену), также они присутствуют и  в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. А значит, для меня важно, научиться решать такие задачи.

Чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения я не встретил. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и для них нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

            Я  определил:

  Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

  Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

  Методы исследования: изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации, обобщение.

 Цель исследования - расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:

• Подобрать необходимую литературу;
• Отобрать материал для исследования, проанализировать и систематизировать полученную информацию;
• Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге;
• Классифицировать исследуемые задачи;
• Оформить работу в виде буклета;
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Глава 1. Задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей)

Среди многообразия задач на клетчатой бумаге я обратил свое внимание на те задачи, которые нашел в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ, так как на сегодняшний момент они актуальны для меня и моих одноклассников. Я попытался их классифицировать для себя и определил три группы:

1.Задачи на нахождение длин

Задача 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

Решение

Расстояние между точками A и B равно длине гипотенузы треугольника ABC, катеты которого равны 15 и 8. Поэтому искомая длина AB равна 17.

Задача 2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.

Решение.

Из точки С можно опустить перпендикуляр к прямой, содержащей сторону АВ. Этот перпендикуляр будет являться высотой треугольника АВС, его длина равна 3.

Задача 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.

Решение

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Поэтому она равна 4,5.

Задача 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

Решение

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Тем самым, искомое расстояние равно 4.

Задача 5. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны 1. 

.                        

Решение

По рисунку видно, что АВ=ВС, значит, биссектриса, проведенная из вершины В, также будет делить основание АС пополам. Построим отрезок ВК. Видно, что он равен 4.

Задача 6. Найдите медиану треугольника АВС, проведенную из вершины С, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение

Медиана проведенная из вершины С, будет делить основание АВ пополам. Построим отрезок СК. Видно, что он равен 3.

Задача 7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.

Решение

Средняя линия треугольника равна половине той стороны, которой она параллельна. Длина стороны АВ равна 4, поэтому искомая длина средней линии равна 2.

Задача 8. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны .

Задача 9. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны .

Задача 10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение

Изображенная на рисунке окружность вписана в квадрат со стороной 5, поэтому радиус этой окружности равен 2,5.

2.Задачи на нахождение углов

Задача 11. Найдите тангенс угла .

Решение

Проведем высоту BK из точки B на сторону OA. Тогда, принимая во внимание, что BK = OK, получим:

Задача 12. Найдите тангенс угла .

Решение.

Достроим угол до треугольника OBA, OB=BA. BK делит основание OA пополам, значит, – высота. Из рисунка находим ОК=ВК =.

Задача 13. На клетчатой бумаге с размером клетки изображён угол. Найдите его градусную величину.

Решение

Изображённый на рисунке угол равен сумме прямого угла и угла 45°, поэтому он равен 135°.

Задача 14. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.

3.Задачи на нахождение площадей

Задача 15. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Я приведу три решения этой задачи.

I решение предполагает, что я хорошо знаю формулу площади трапеции.

ABCD - трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её - h). Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h? Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть - это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно, h = 4. Подставляем значения в формулу:

S =  h =  4= 12.

II решение предполагает, что я знаю самые простые формулы площади: площадь прямоугольника и площадь прямоугольного треугольника.

Провожу дополнительную линию AC, которая "разрезает" нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами AC = 4 и BC = 2, его площадь S1 = 4×2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и AD = 4, его площадь S2 = 4×4/2 = 8. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC.
S = S1 + S2 = 4 + 8 = 12.

III решение требует тех же знаний, что и второе решение.

Только теперь я буду не "разрезать" нашу трапецию на части, а "вырезать" её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции.

Провожу горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными. Точки пересечения обозначаю точками E и F. Получил прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6×4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC.
SAEB = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и SDFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8
Следовательно, площадь трапеции равна
S = 24 − 4 − 8 = 12.

И, наконец, еще одно IV решение пригодится, если я не знаю формул из предыдущих решений, но знаком лишь с одной формулой, которую подарил нам австрийский математик Георг Александр Пик (1859 – 1942).

Глава 2. Формула Пика

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года  Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов»  В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.

В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге.

Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Я  считаю настоящей находкой моего исследования формулу Пика!

     Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.[2]    Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах      

        Рис. 1             (рис. 1) и найдем его площадь.

    Оказывается, площади многоугольников, вершины которых  расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

          Рис. 2                  Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).

    Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В +  + 4 ·  = В +  - 1 .

    Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу  S = В +  - 1 .

    Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

    Это и есть формула Пика.

 Использую формулу Пика в нашем IV решении

В = 7,  Г = 12.        По формуле Пика: S = В +  - 1 .

    S = 7 + 12/2 – 1 = 12.

    Помогает нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача.   Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле       Пика:  S = В +  - 1

        В = 8,  Г = 7.      S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²;     S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²                              

Заключение

 В процессе работы  над данной темой я изучил  учебное издание «Геометрия на клетчатой бумаге»  Смирновой И.М., тематические статьи из газеты «Математика» ИД «Первое сентября», просмотрел  сайты ФИПИ, открытого банка заданий ЕГЭ и ОГЭ. Я думаю, что задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Каждая задача на клетчатой бумаге требует применения геометрических знаний в необычной ситуации, что позволяет проверить качество освоения геометрического материала, готовность ученика использовать полученные знания и умения для решения нестандартных и исследовательских задач.

Работа по данной теме позволила мне преодолеть психологический барьер и поверить в свои силы, что является важнейшим фактором успешного решения олимпиадных  и экзаменационных задач, выступления перед аудиторией с теоретическим материалом по данной теме.

В результате работы я прорешал немало задач,  расширил свои  знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.  

И я думаю, что решение этих задач рассмотренными способами превратится в интересное занятие, итогом, которого будет не только прекрасное настроение, но и высокий тестовый балл.

Литература

1. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
2. Математика – газета ИД «Первое сентября», № 23/2009г.
3. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7-9кл.общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2007.
4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия на клетчатой бумаге. - М.: Чистые пруды, 2009.

Интернет – ресурсы:

5. Открытый банк задач ЕГЭ по математике: www.mathege.ru
6. Федеральный институт педагогических измерений: fipi.ru
7. ЕГЭ 2015: решение задачи по планиметрии: mathematichka.ru/ege/problems/problem_B3P1.html