МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

ГОРОДСКОЙ ОКРУГ ГОРОД ПЫТЬ-ЯХ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Комплекс средняя общеобразовательная школа – детский сад»

(МАОУ «КСОШ – ДС»)

Исследовательская работа

на тему:

«Извлечение квадратных корней из больших чисел

         без калькулятора»        

Выполнили:

Ученица 8 «б» класса Бублик Татьяна

Ученик 8 «б» класса Анемподистов Андрей

Научный руководитель:

Учитель математики Калиновская Елена Владимировна

Пыть-Ях

 2019

Содержание

I.Введение………………………………………………………………………...3

II. Основная часть…………………………… ………………………….............4

     2.1.Метод Древнего Вавилона……………………………………………….4

     2.2. Канадский метод………………………...……………………………….5

     2.3Вычисление корня столбиком……………………………...…… ………5

     2.4.Отбрасывания квадрата………………………..……………....................6

     2.5.Арифметический метод…………………………………………………..7

     2.6. Извлечение квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25……8

Результаты исследования………...………………………..…………………….9

Заключение……………………………….………………………………….…..10

Литература………………….…………………………………………………....11

Приложения ……………………………………………………………………..12

«Зри в корень»

К. Прудков

I. Введение

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

Актуальность выбранной темы состоит в том, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это очень сложная задача. Но так как на уроках математики  не разрешается пользоваться калькулятором, а таблица квадратов не всегда под рукой, да и на экзамене на ОГЭ таблица квадратов дается только для двузначных чисел, как же быть, если подкоренное выражение восьмизначное  число?

Таким образом, выделяем проблему: отсутствие в учебниках различных способов извлечения квадратных корней лишает возможности применения учащимися быстрых способов извлечения квадратного корня.

Цель: изучить способы вычисления арифметических корней без калькулятора и показать рациональное применение на практике.

 Задачи:

1. Изучить (соцопрос) умение учащихся извлекать квадратные корни без калькулятора;

2.  Ознакомиться с  литературой по данной теме, используя Интернет-ресурсы;

3.  Рассмотреть  способы  вычисления арифметического корня;

4. Познакомить с этими способами  одноклассников.

II. Основная часть.

В ходе данного исследования были выявлены следующие методы извлечения квадратного корня

• Метод Древнего Вавилона
• Канадский метод
• Вычисление корня столбиком
• Отбрасывания квадрата
• Арифметический метод
• Извлечение квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25

2.1. Метод Древнего Вавилона

Около 4000 лет назад вавилонские ученые уже составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

Использовали древние вавилоняне следующий метод нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b , где а2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а, и пользовались формулой

≈

Извлечем с помощью формулы корень квадратный, например, из числа 46

== 6+

Результат извлечения корня из 46  с помощью калькулятора 6,7823299... Как видим, метод вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2.2. Канадский метод

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:

Где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Например:

 Результат извлечения корня из 2215  с помощью калькулятора 47,063786... Очевидно, что  метод дает хорошее приближение к точному значению корня,

а также несложен и удобен.

2.3. Извлечение квадратного корня  столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.            Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня.

Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком

1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.
2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
3. Для нахождения второй цифры, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.
4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.
5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.
6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Например:                                                                  

                                                                                           1

                                                                                  2 4    119

                                                                                     4       96

                                                                                 288        2304

                                                                                      8        2304

                                                                                                        0

Разбиваем данное число справа налево по две цифры. У нас получилось три группы чисел (2'19'04), первое из которых однозначное число 1. Первая цифра искомого числа должна быть наибольшей, квадрат которой не превышает 2. Это цифра 1, так как 12 = 1 < 2. Квадрат её, число 1, подпишем под числом 2 и вычитаем из двух число один. Сносим следующие две цифры 1 и 9. Слева от полученного числа 119 проводим вертикальную черту. Первую найденную цифру 1 удваиваем и подписываем слева от черты, оставляя место для одной цифры между двойкой  и чертой. Эту цифру подбираем так, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту найденную цифру не превышало число 119. Этой цифрой является 4. Действительно, 24 ∙ 4 = 96 < 119. Найденная цифра 4является второй цифрой искомого числа. Вычитаем из числа 119  число 96 и сносим последнюю пару цифр 0 и 4. Образовалось число 2304. Снова удваиваем уже число 14 и также слева от черты пишем число 28, оставляя для следующей цифры место между числом 28 и чертой. Подбираем эту цифру так, чтобы произведение этого трёхзначного числа на эту цифру было наибольшим, но не превышало числа 2304. Найденная цифра 8 является последней цифрой искомого результата, то есть квадратный корень числа 21904  будет равен 148.

        Метод трудоемкий, а также требует логики и хороших вычислительных навыков.

2.4. Отбрасывание квадрата

Здесь необходимо  уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от  величины подкоренного числа.

1. Извлечение корней до числа = 5625

Например: =  = 31 + 25 = 56.

Число 3136 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 36, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (31) прибавляем всегда 25. Получим ответ 56.

2.Извлечение корней больше числа = 5625

Например: =  = 78 +  = 78 + 11 = 89

 Число 7921 представим  в виде суммы 7800 и выделенного квадрата 121. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 121.(11) Получим ответ 89.

Этот способ достаточно  интересен и в какой - то мере оригинален, но достаточно сложен в запоминании из–за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но мы проработали  множество примеров и убедились в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.

2.5. Арифметический метод

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 12 

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 =32 

1 + 3 + 5 + 7 = 42 и так далее.

Поэтому, чтобы знать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем целую часть квадратного корня. Это и будет ответом

Например: чтобы извлечь  произведём действия:

144-1=143

143-3=140

140-5=135

135-7=128

128-9=119

119-11=108

108-13=95

95-15=80

80-17=63

63-19=44

44-21=23

23-23=0

Общее количество вычитаний - 12, поэтому = 12.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть.

2.6. Извлечение квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25

Можно легко вычислить квадратный корень из чисел, оканчивающихся на 25, в тех случаях, когда ответ — целое число.

Для этого ту часть числа, которая стоит под корнем перед 25, надо представить как произведение двух последовательных чисел: a·(a+1). Тогда искомый квадратный корень равен a5. На практике этим способом можно без труда вычислить квадратный корень из трехзначных и четырехзначных чисел, оканчивающихся на 25. Рассмотрим  этот способ   на примерах.

 Пример:  , ,

Перед 25 стоит число 6. Его надо представить как произведение двух последовательных чисел: 6=2·3, то есть a=2. Значит, 

   = 25

75

 = 135

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В ходе работы по данной теме проведено исследование «Выявление способов извлечения квадратных корней, которыми владеют одноклассники и используют в решении». Основными методами исследования были: анкетирование (Приложение 5),анализ учебников по алгебре за курс 8 класса (Приложение 4) сбор информации, статистическая обработка и анализ полученных результатов.

Обработка анкетных данных (Приложение 1,2,3)  учащихся 8 классов позволила сделать следующий вывод: школьники, при извлечении квадратных корней, чаще всего пользуются калькулятором и таблицей квадратов двузначных чисел. Другими способами извлечения корней мало кто пользуется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вычисление квадратного корня из многозначного числа и по сей день является трудной задачей, но мы нашли на неё ответ. В ходе данного проекта, мы проанализировали учебники, провели соцопрос и занялись исследованием по данной теме. Выявили, что  проблема, которую мы выбрали, оказалась актуальной, как и было предположено. Хочется отметить,  что каждый из выше перечисленных способов индивидуален, и любой сможет выбрать тот, который подходит именно ему. В заключение проекта хотелось бы отметить, что ученики, которым впоследствии представили эти методы вынесения многозначного арифметического корня (Приложение 6), сейчас активно используют хотя бы один из них в повседневной жизни.

Литература и сайты Интернета:

1. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса   учебных заведений.  – Москва, Просвещение, 1994г.
2. http://festival.1september.ru
3. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
4. http://www.life123.com/question/Square-Root-without-a-Calculator
5. http://www.megabotan.ru/pages/
6. http://ru.wikipedia.ord/wiki/teorema/  
7. https://ru.wikihow.com/%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%87%D1%8C-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0
8. https://yourtutor.info/%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0 

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Анализ учебных пособий по алгебре 8 класса

Приложение 5

Анкета

1. Оказывались ли вы в такой ситуации, когда нужно извлечь корень из многозначных чисел, не имея под рукой ни таблицы, ни калькулятора?

•   Да  
• Нет

2. Умеете ли вы извлекать квадратный корень без таблиц и калькуляторов?

• Да
• Нет
• Испытываю затруднение

3. Укажите известные  вам способы извлечения квадратных корней из многозначных чисел:

• С помощью таблицы
• С помощью калькулятора

Укажите свой способ извлечения корня:

_______________________________________________________

Спасибо за участие!

Приложение 6

• Древние вавилоняне число х представляли в виде суммы а2+b , где а2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а, и пользовались формулой

≈

• Чтобы узнать целую часть квадратного корня нужно вычесть из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем целую часть квадратного корня. Это и будет ответом.

Например: чтобы извлечь √144 произведём действия: последовательно вычитаем нечётные числа 1,3,5,7 и т.д., пока остаток не получится 0.

Алгоритм нахождения зависит от  величины подкоренного числа и делится на два случая:

1. Извлечение корней до числа 752 = 5625

Например:

Число 3136 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 36, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (31) прибавляем всегда 25. Получим ответ 56.

2. Извлечение корней больше числа 752 = 5625

Например: √7921

Число 7921 представим  в виде суммы 7800 и выделенного квадрата 121. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 121, т.е. число 11. Получим ответ 89.

МАОУ КСОШ-ДС

Авторы: Бублик Татьяна  

               Анемподистов Андрей

2019 г. Пыть-Ях

• Для этого ту часть числа, которая стоит под корнем перед 25, надо представить как произведение двух последовательных чисел: a•(a+1). Тогда искомый квадратный корень равен a5. На практике этим способом можно без труда вычислить квадратный корень из трехзначных и четырехзначных чисел, оканчивающихся на 25.

Пример:  √625

Перед 25 стоит число 6. Его надо представить как произведение двух последовательных чисел: 6=2•3, то есть a=2. Значит,  √625= √((2 ∙3)∙25) = 25

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня.

Разбиваем данное число справа налево по две цифры. У нас получилось три группы чисел (2'19'04), первое из которых однозначное число 1. Первая цифра искомого числа должна быть наибольшей, квадрат которой не превышает 2.

Это цифра 1, так как 12 = 1 < 2. Квадрат её, число 1, подпишем под числом 2 и вычитаем из двух число один. Сносим следующие две цифры 1 и 9. Слева от полученного числа 119 проводим вертикальную черту. Первую найденную цифру 1 удваиваем и подписываем слева от черты, оставляя место для одной цифры между двойкой  и чертой.

Эту цифру подбираем так, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту найденную цифру не превышало число 119. Этой цифрой является 4. Действительно, 24 ∙ 4 = 96 < 119. Найденная цифра 4является второй цифрой искомого числа. Вычитаем из числа 119  число 96 и сносим последнюю пару цифр 0 и 4. Образовалось число 2304. Снова удваиваем уже число 14 и также слева от черты пишем число 28, оставляя для следующей цифры место между числом 28 и чертой. Подбираем эту цифру так, чтобы произведение этого трёхзначного числа на эту цифру было наибольшим, но не превышало числа 2304.

Найденная цифра 8 является последней цифрой искомого результата, то есть квадратный корень числа 21904  будет равен 148.

• Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой.  Их формула:

Где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата