Проект по теме "Одночлены, многочлены" оформлен в виде презентации, содержитцели и задачи проекта, методы исследования, основные сведения о многочленах и одночленах, сопровождающие схемами и рисунками, и результаты собственного исследования
Вложение | Размер |
---|---|
Презентация. Проект по теме:"Одночлены и многочлены" | 1.5 МБ |
Слайд 1
Проект по теме: «Многочлены и одночлены» Подготовил: ученик 7а класса МБОУ СОШ № 1 МО « Барышский район» Ульяновской области Дмитриев Андрей Руководитель проекта : Дмитриева Мария АлександровнаСлайд 2
Цель проекта Познакомиться с историей возникновения одночленов и многочленов и действиями над ними
Слайд 3
Задачи проекта 1. Узнать дополнительные сведения по представленной теме 2. Рассмотреть формулы сокращенного умножения, их геометрическое обоснование и применение 3. Находить сходство и различие между объектами, делать выводы
Слайд 4
Гипотеза Нужны ли правила работы с одночленами и многочленами, а также формулы сокращенного умножения ученикам школы?
Слайд 5
Методы и средства исследования 1. Анализ литературы 2. Поиск информации в интернете 3. Интервью
Слайд 6
Актуальность проблемы Актуальность темы связана с тем, что знание и применение формул сокращенного умножения позволяет более рационально преобразовывать алгебраические выражения, их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, для разложения выражений на множители. Я считаю эту тему одной из наиболее важных в курсе математики средней школы, так как знания, полученные в ходе ее изучения, очень широко используются в других разделах школьной программы, а не только в курсе алгебры. Так, например, при изучении темы «Теорема Пифагора» по геометрии мы можем находить катет прямоугольного треугольника, используя разность квадратов двух выражений, а также при выполнении заданий ОГЭ и ЕГЭ.
Слайд 7
История появления многочленов Рассматривая разложение многочленов на множители, возникает вопрос: «А как это было у древних?» Ни у древних египтян, ни у древних вавилонян в алгебре не было букв. У древних греков величины обозначались не буквами или числами, а отрезками прямых. Они говорили не «а 2 », а «квадрат на отрезке», не « аb », а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в».
Слайд 8
История появления многочленов Начиная с 20 века, многочлены стали использоваться для новых целей. Нужно было быстро и эффективно передавать информацию. Многочлены содержат в себе символьные исчисления, которые стали использовать как способ передачи данных. Сообщение должно было содержать в себе последовательность символов, которое потом передали по каналу связи. Однако при передаче информации могли возникнуть ошибки. Поэтому была предложена идея кодирования сообщения, которую успешно используют и в настоящее время.
Слайд 9
Стандартный вид одночлена и многочлена Выражения 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2 , b 2 x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами . Одночленами также считают числа, переменные и их степени. Например, выражения - 8, 35,y и y 2 - одночлены. Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него Например, . 4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5
Слайд 10
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Например коэффициент одночлена -12сx 6 y 5 равен -12 . Коэффициенты одночленов x 3 и - xy считают равными 1 и -1 , так как x 7 = 1x 7 и - xy = -1xy Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю. Например степень одночлена 8x 3 yz 2 равна 6 , одночлена 6x равна 1 , степень одночлена -10 равна 0.
Слайд 11
Многочленом называется сумма одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена 4x 2 y - 5xy + 3x -1 являются 4x 2 y, -5xy, 3x и -1 . Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех - трехчленом . Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. В многочлене 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 члены 7x 3 y 2 и - 2y 2 x 3 являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые -12 и 6 , не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене - приведением подобных членов многочлена. Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6.
Слайд 12
Многочлен называется многочленом стандартного вида , если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. Для примера найдем степень многочлена 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6. Степень данного многочлена равна 3 .
Слайд 13
Умножение одночлена на многочлен Умножить многочлен на одночлен (или одночлен на многочлен) — это значит каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить . Например: (2x 2 y+3xy)•3x 2 = 2x 2 y•3x 2 + 3xy•3x 2 = 6x 4 y+9x 3 y
Слайд 14
Схема умножения одночлена на многочлен a( b+c )= ab + ac
Слайд 16
Задача Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, размеры которого указаны на рисунке, и найдём его объём по формуле V = длина × ширина × высота Длина = 3а Ширина = b Высота = a + 2 b + c Решение (a + 2b + c)·3a·b= (a + 2b + c)·(3ab)= = a · 3ab + 2b · 3ab + c · 3ab = = 3a b + 6ab + 3abc
Слайд 17
Сложение и вычитание многочленов При сложении и вычитании многочленов важно уметь использовать правила раскрытия скобок. Рассмотрим два случая раскрытия скобок: 1) когда перед скобками стоит знак «+» ; 2) когда перед скобками стоит знак «−» . Правила раскрытия скобок 1.Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно просто опустить скобки. Все знаки у одночленов внутри сохраняются. Рассмотрим пример. Раскрыть скобки: 3x 2 − 5xy − 7x 2 y + (5xy − 3x 2 + 8x 2 y) = 3x 2 − 5xy − 7x 2 y + 5xy − 3x 2 + 8x 2 y 2.Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «−», нужно опустить скобки и заменить все знаки одночленов внутри скобок на противоположные . Рассмотрим пример. Раскрыть скобки: 7t 3 − 4p − (2t − tn + t ) = 7t 3 − 4p − 2t + tn − t
Слайд 18
Умножение многочлена на многочлен Для осуществления умножения многочлена на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и найти сумму полученных произведений. ( 3x 2 −4y 3 )•(5a−2b) =3x 2 •5a + 3x 2 •(−2b) + (−4y 3 )•5a + (−4y 3 )•(−2b) = 15ax 2 – 6bx 2 – 20ay 3 + 8by 3
Слайд 19
Схема умножения многочлена на многочлен ( a+b )( c+d )= = ac+ad+bc+bd
Слайд 20
Задача Найти площадь поверхности стены, занятой шкафами, размеры которых указаны на рисунке Решение (4а + с ) · (2а + в)= 4а · 2а + 4а · в +с · 2а +с · в = 8а 2 +4ав +2ас + вс
Слайд 21
Формулы сокращенного умножения Исторические сведения Найденные древневавилонские клинописные тексты свидетельствуют, что формулы сокращённого умножения были известны около 4000лет назад . Их знали, кроме вавилонян, и другие народы древности, конечно, не в нашем символическом виде, а словесно или в геометрической форме, как у древних греков. Еще в глубокой древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать быстрее, чем все остальные. Так, древнегреческими математиками еще до нашей эры геометрическим способом были выведены некоторые формулы, которые получили название формулы сокращенного умножения .
Слайд 22
Исторические сведения Знаменитый ученый Евклид свел воедино все открытия греческих математиков в 13 книгах под общим названием «Начала». В течение двух тысячелетий это научное сочинение было энциклопедией и учебником по математике. Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников, системно изложив все достижения греческой математики, что дало возможность дальнейшему развитию данной науки.
Слайд 23
Исторические сведения Тождество ( а + в ) 2 =а 2 + 2ав + в 2 во второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками» . S =( a + b ) 2 S 1 = a 2 S 2 = ab S 3 = ab S 4 = b 2 S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ( a+b ) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 S 1 S 2 S 4 S 3 a b
Слайд 24
«У МАТЕМАТИКОВ СУЩЕСТВУЕТ СВОЙ ЯЗЫК – ЭТО ФОРМУЛЫ » С. В. Ковалевская (1850-1891 )
Слайд 25
Формулы сокращенного умножения ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. Доказательство : ( a+b ) 2 = ( a+b ) ( a+b ) = a·a + a·b + b·a + b·b = a 2 + ab + ab +b 2 = a 2 + 2ab +b 2 Вместо a и b в эту формулу можно подставить любые выражения
Слайд 26
Формулы сокращенного умножения (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. Доказательство : (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a·a - a·b - b·a + b·b = a 2 - ab - ab +b 2 = a 2 -2ab +b 2
Слайд 27
Некоторые математические фокусы Отметим, что на формулах квадрата суммы и квадрата разности основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9. а) 71² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041 Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5: б) 85² = (80 + 5)² = 80² + 2·80·5 + 5² = 80·(80 + 10) + 25 = 80·90 + 25 = 7200 + 25 = 7225
Слайд 28
Формулы сокращенного умножения a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a+b ) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Доказательство : ( a+b )(a-b)= a 2 - ab + ab -b 2 = a 2 -b 2
Слайд 29
S- площадь квадрата со стороной a. По рисунку получаем S=S 1 +S 2 +2S 3 таким образом, получаем а 2 - b 2 = (a-b) 2 +2(a-b)b a 2 -b 2 =(a-b)(a-b+2b) a 2 -b 2 =(a-b)( a+b ) a S3 b b S 1 a-b a-b S 2 a-b b S 3 Геометрическое доказательство разности квадратов Доказано a 2 -b 2 =(a-b)( a+b )
Слайд 30
Формулы сокращенного умножения ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. ( a - b ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Слайд 31
Формулы сокращенного умножения a 3 + b 3 = ( a + b ) (a 2 - ab + b 2 ) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений. a 3 - b 3 = ( a - b ) (a 2 + ab + b 2 ) Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Слайд 32
Применение формул сокращенного умножения Рене Декарт — (1596-1650) — французский философ, математик, физик и физиолог У него есть хорошее высказывание: « Мало иметь хороший ум, главное – уметь его применять »
Слайд 33
1). Разложение многочлена на множители 1). Разложение многочлена на множители а ) (a² + 1)²–4a² = ((a² + 1)–2a)((a² + 1) + +2a) = (a² + 1– 2a)(a² + 1 + 2a) = (a² – 2a + +1)(a² + 2a + 1) = (a - 1)²(a + 1)² б ) a² – b² – a – b = (a – b)(a + b)–(a + b) =(a + + b)(a – b – 1) В разложении данных многочленов использовались формулы: разность квадратов квадрат разности квадрат суммы
Слайд 34
2).Представление выражения в виде многочлена
Слайд 35
3).Решение уравнений 1 способ ( x – 2)³ + ( x + 2)³ = 2( x – 3)( x ² + 3 x + 9) x ³ – 6 x ² + 12 x – 8 + x ³ + 6 x ² + 12 x + 8 = 2( x ³ – 27) 2 x ³ + 24 x = 2 x ³ – 54 24 x = - 54 x = - 2, 25 В решении данного уравнения первым способом использовались формулы: 1) куб разности 2) куб суммы 2 способ ( x – 2)³ + ( x + 2)³ = 2( x – 3)( x ² + 3 x + 9) ( x -2+ x +2)(( x -2)² - ( x -2)( x +2) + ( x +2)² = 2( x ³-27) 2 x ( x ² – 4 x + 4 – x ² + 4 + x ² + 4 x +4) = 2 x ³ – 54 2 x ( x ² + 12) = 2 x ³ – 54 2 x ³ + 24 x – 2 x ³ = - 54 24 x = - 54 x = - 2,25 В решении данного уравнения вторым способом использовались формулы: 1) сумма кубов; 2) квадрат разности; 3) квадрат суммы; 4) разность квадратов.
Слайд 36
4).Задачи на доказательство
Слайд 37
5).Задачи на делимость Докажем, что число n ³ – n , где n – натуральное число, делится на 6: n ³ – n = n ( n ² – 1) = n ( n – 1)( n + 1) Заданное число есть произведение трёх последовательных чисел, из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2. Если произведение делится и на 3, и на 2, то оно делится и на 6.
Слайд 38
6).Задача Пифагора «Всякое нечётное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов». Решение: n – натуральное число ( n + 1)² – n ² = ( n + 1 – n )( n + 1 + n ) = 2 n + 1 2 n + 1 – нечётное число
Слайд 39
7).Задания открытого банка задач ОГЭ и ЕГЭ а) найти значение выражения б) найти значение выражения в) найти значение выражения при х = 100 г) найти значение выражения
Слайд 40
Заключение Таким образом тема «Одночлены, многочлены, формулы сокращенного умножения» представляет определенные трудности для учащихся. Вместе с тем эта тема – одна из наиболее важных в курсе математики средней школы, так как знания, полученные в ходе ее изучения, очень широко используются в других разделах школьной программы. Формулы сокращенного умножения применяются непосредственно для сокращенного умножения, для разложения выражений на множители. С их помощью можно сравнительно быстро и легко выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений, их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, доказательстве неравенств, при решении геометрических задач. Значимость данной темы показал опрос учащихся старших классов-9-11 классов.
Слайд 41
Результаты исследования Вопросы 1..Для чего нужны формулы сокращённого умножения? 2. Запишите формулу квадрата суммы 3. Запишите формулу квадрата разности 4. Запишите формулу разности квадратов 5. Запишите формулу суммы кубов 6. Запишите формулу разности кубов 7. Часто ли вам приходится использовать формулы сокращенного умножения? Ответы 1.Для упрощения выражений; для быстрого умножения; для решения уравнений; для нахождения значений выражений; для доказательств тождеств; при решении геометрических задач Верно ответили Допустили ошибки 2. 83% 17% 3. 84% 16% 4. 75% 25% 5. 37% 63% 6. 21% 79% 7. 71% 29%
Слайд 42
Литература Макарычев Ю.Н. Алгебра 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2014.-271 с. Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс/ Л.И.Звавич , Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова.-17-е изд.-М.:Просвещение,2012.-159с. ЕршоваА.П . , Голобородько В.В., ЕршоваА.С . Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. – М: ИЛЕКСА, 2007. – 176 с. Мартышова Л.И. Контрольно-измерительные материалы. Алгебра: 7 класс. – М.: ВАКО, 2010 Боженкова Л.И. Алгебра в схемах, таблицах, алгоритмах УУД. Учебные материалы. – М., Калуга: КПГУ им. К.Э. Циолковского, 2012. – 55 с. http :// www . school - collection . edu . ru http :// www . fcior . edu . ru
Слайд 43
Спасибо, за внимание!!!
Сказка об осеннем ветре
Ледяная внучка
Лиса и волк
Рисуем зимние домики
А. Усачев. Что значит выражение "Белые мухи"?