Тайны математических игр

Всероссийская  научно-практическая конференция учащихся

«Шаги в науку»

Секция: «Математика»

«Тайны математических игр»

Автор: Насырова Ружена,

учащаяся 5«Б» класса

ГБОУ СОШ №2

п.г.т. Усть-Кинельский

Научный руководитель: Логинова Нина Андреевна,

учитель математики высшей категории ГБОУ СОШ №2 п.г.т. Усть-Кинельский

Обнинск  2018

Оглавление

Введение

Математика – серьезная и точная наука. В русской школе всегда уделялось внимание занимательным задачам, чтобы облегчить обучение. Поэтому хотелось провести не только научное, но и действительно интересное для меня и моих сверстников познавательное исследование. Что же может объединить серьезную научную дисциплину и развлечения? − Математические игры. Простейшие математические игры − это задачи, в которых нужно найти выигрышную стратегию. Обычно мы играем в математические игры с развлекательной целью, но без определенного плана победить не просто. Для этого нужно знать тайну игры, выигрышную стратегию – порядок действий, который точно приводит к победе. Так связаны игры и математика.

Сейчас сфера математических игр хорошо развивается. Зная тайны математических игр, человек сможет не только победить в игре, но и смоделировать некоторые реальные события, что поможет ему найти верное решение в реальной жизненной ситуации, а это всегда актуально.

Проблема в том, что, играя в игры, большинство людей не задумывается об их математической сути, не видят связи между игрой и математикой, а поэтому нередко проигрывают там, где можно было бы победить или сыграть вничью, если знать математическую тайну игры − выигрышную стратегию.

Поэтому была поставлена цель: научить одноклассников всегда побеждать в ряде математических игр.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучить историю развития математических игр;

2) изучить некоторые математические игры и раскрыть их тайны (стратегии выигрыша);

3) провести практическое занятие в экспериментальных группах 5Б и 5Г классов;

4) провести анализ популярности математических игр среди разных возрастных групп и представить результаты исследования;

5) выяснить мнение одноклассников о влиянии математических игр на развитие логического мышления и памяти.

Объект исследования: математические игры.

Предмет исследования: тайны (стратегии) математических игр.

Гипотеза: знание тайн (выигрышных стратегий) математических игр всегда приведет к победе или ничьей; математические игры способствуют развитию памяти, логического мышления, выбору верного решения в играх и жизненных ситуациях.

Новизна: применение стратегий для математических игр – это новый вид деятельности для меня и моих сверстников.

Методы исследования:

1) изучение литературы, поиск информации в Интернете;

2) анализ найденного материала;

3) проведение практического занятия в экспериментальных группах;

4) анкетирование;

5) анализ результатов.

Практическая значимость: в результате привлечения внимания обучающихся к математическим играм повышается интерес к математике, развивается логическое мышление, память, умение общаться, появляется возможность принятия верного решения в определенных жизненных ситуациях и увеличивается вероятность побед в играх.

1. История математики и игр

1. 1. История появления математических игр

С древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных задачах. С момента появления игр и до XVII века серьезную и занимательную математику нельзя отделить друг от друга, т.к. во многом они тесно переплетались.

Первая книга, посвященная исключительно занимательной математике, – «Приятные и восхитительные проблемы, которые создают числа» Клода Гаспара Баше де Мезириака была издана в 1612 г. во Франции. С этого момента два направления в математике постепенно начали расходиться, хотя в дальнейшем им не раз доводилось пересекаться.

Первые упоминания о настольных играх, дошедшие до наших дней, относятся к египетской игре «Сенет» и к «Настольной игре урских царей Вавилонии».

Сенет играл важную роль в похоронных обрядах: усопший должен был сыграть партию с судьбой в присутствие бога Осириса. В «Книге мертвых» говорится, что от результата этой партии зависела дальнейшая загробная жизнь. Эта игра рассчитана на двух игроков. Задача игры – первым довести до конца доски семь фишек. Вместо игральных костей используют четыре палочки, плоские с одной стороны и выпуклые с другой. Броском палочек можно получить одно из пяти возможных значений – по числу палочек, упавших плоской стороной вверх. Правила игры урских царей точно неизвестны. Однако по дошедшим до нас предметам (помимо украшенной драгоценностями доски для этой игры было найдено 7 белых и 7 черных фишек из перламутра и сланца и 6 игральных костей в форме правильной треугольной пирамиды) можно заключить, что целью игры было провести все фишки по доске быстрее соперника. Интересная форма доски из 20 клеток– два прямоугольника 3x2 и 3x4 соединены прямоугольником 1x2 – позволяет предположить, каким путем нужно провести фишки по доске.

Множество математических игр было изобретено в периоде 12 – 20 веков. В 1225 г. Фибоначчи в одном из своих основных трудов «Книга квадратов», описывает математический турнир, прошедший при дворе короля Сицилии Федериго II. На этих интеллектуальных турнирах каждый участник должен был предложить сопернику определенное число задач. Победителем объявлялся тот, кто решил больше задач за меньше время. Участник, предложивший задачу, должен знать ее решение. В то же время, Леонардо Пизано изобрел математическую игру «Баше» (современное название – «Ним»). Баше – математическая игра, в которой два игрока из кучки, содержащей первоначально N предметов, по очереди берут не менее одного и не более М предметов. Проигравшим считается тот, кому нечего брать.

Примерно в то же время арабский писатель и ученый Ибн-Халликан первым изложил знаменитую легенду об изобретателе шахмат, «Историю Сисса бен Дахира и индийского короля Ширхама» (1256 г.). По легенде, Ширхам так полюбил игру в шахматы, придуманную Сиссойбен Дахиром, что разрешил ему выбрать себе любой подарок, какой тот пожелает. Сисса попросил короля положить пшеничное зернышко на первую клетку доски, 2 – на вторую, 4 – на третью, 8 – на четвертую и так далее до клетки 64, каждый раз удваивая число зерен. Правитель посчитал эту просьбу слишком скромной, но затем увидел, что ему никогда не удастся выполнить ее. Действительно, 20+21+...+262+263=264-1= 18 446 744 073 709 551 615, что в разы превышает весь годовой урожай пшеницы во всем мире.

Также в ХIII веке (1283 г.), согласно повелению короля Альфонсо Х Мудрого была написана «Книга игр». Хотя в ней больше внимания уделяется играм, чем математике, она содержит интересный анализ типов игр (как азартных, так и стратегических), выигрышных стратегий для этих игр.

Математику эпохи Возрождения представляют главным образом итальянские ученые: Тарталья, Кардано, Бомбелли, Феррари.

Золотой век математических игр приходится на XVII и XVIII вв. Книга де Мезириака – своеобразный сборник по занимательной математике той эпохи. В ней описаны магические квадраты, задачи о целых числах и взвешиваниях.

В 1707 г. в книге «Универсальная арифметика» Ньютон наряду с важными для математики проблемами упоминает и о простейших занимательных задачах. В 1774 г. в книге «Рациональные развлечения»Уильям Хупер впервые упоминает одну из задач об исчезновении клетки – великолепный пример того, как для решения простой с виду задачи используются интересные математические свойства. В этой головоломке дан квадрат со стороной 8 клеток, разделенный на два треугольника и две трапеции. Из этих же фигур составляется прямоугольник размерами 5x13 клеток. Получается, что площадь квадрата (64 клетки) равна площади прямоугольника (65 клеток), и это «доказывает», что 64 равно 65. Можно обнаружить, что составить подобный прямоугольник невозможно, и увидеть, где же скрывается «дырка» площадью в 1 клетку. Эйлер, также написал множество занимательных книг, посвященных, например, греко-римским квадратам. Эти квадраты стали прообразом современных судоку.

Рубеж XIX и XX вв. ознаменован появлением трудов в области занимательной математики, принадлежащих англичанину Генри Эрнесту Дьюдени (1857-1930 гг.) и американцу Сэму Лойду (1841-1911 гг.). Множество задач и головоломок, которые до сих пор приковывают внимание игроков, описаны в книгах именно этих двух великих авторов.

Происхождение определенных игр до сих пор остается тайной. Например, о том, как появились всем известные крестики-нолики, много противоречивых сведений. По одной из версий их случайно изобрел неизвестный французский математик, решая сложную систему уравнений, по другой – крестики-нолики появились в Индии около 2000 лет назад. В 1975 г. был запатентован всем известный «Кубик Рубик». Эта игра-головоломка была изобретена венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком в 1974 г. В 1979 г. появилась одна из популярнейших математических игр – судоку. Автором головоломки был Гарвард Гарис. Он использовал принцип латинского квадрата Эйлера, применил его в матрице размерностью 9х9 и добавил дополнительные ограничения: цифры не должны повторяться и во внутренних квадратах 3х3.

Таким образом, мы рассмотрели, как появились некоторые известные математические игры. Исходя из полученной информации, можно сделать вывод: математические игры и в качестве развлечения на досуге, и в качестве серьезных тем для научных открытий были популярны во все времена. Развлекательный характер множества игр не означает, что они не требуют вычислений. Напротив, кто лучше проведет нужные расчеты, тот и одержит победу.

1.2. Полезность математических игр

Как умение играть может помочь в жизни обычным школьникам?

Сначала необходимо разобраться, с какими науками тесно связано умение играть в такие игры. Очень часто методы стратегий в математических играх находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках – социологии, политологии, психологии, этике. Психологи и социологи должны рассматривать самые выигрышные и точные пути для того, чтобы правильно поставить вопрос или помочь пациенту. В экономике и политологии умение действовать по плану тоже высоко ценится, ведь нужно правильно рассчитать бюджет или уметь наладить отношения между странами. Но ведь данное применение математических умений это глобальные проблемы. Тогда какое же имеет отношение умение составлять стратегии к ученикам?

Например: нужно пересказать большой текст на оценку. Если ученик начнет нервничать и зазубривать, то, скорее всего у него ничего не выйдет. Если же для начала составить план текста, поделив его на части, выбрать из каждой части основное, и, понимая, о чем идет речь прочитать его, а потом попробовать рассказать, о чем был текст, то у школьника получится передать главную мысль, а значит пересказать. Второй случай – верная стратегия.

Второй пример: успешная учеба. Необходимо спланировать свой день, организовать свою работу на уроке, дома спланировать получение дополнительной информации, составить алгоритм выполнения домашнего задания, спрогнозировать результат. Это верная стратегия для получения оптимального результата в учебе. Так же можно выделить и такие результаты применения математических игр: развитие мышления; углубление теоретических знаний; организация свободного времени; воспитание сотрудничества и развитие коммуникационных способностей; формирование адекватной самооценки; развитие волевых качеств; мотивация учебной деятельности и др.

Итак, мы убедились, что знание и умение правильно составлять стратегии помогает в разных повседневных жизненных ситуациях, и начинать учиться этому лучше всего, играя в математические игры.

2. Стратегические игры и решение задач

2.1. Теория игр

История науки показывает, что все математические понятия и модели находят применение в реальном мире, даже если они никак не были связаны ранее. Хороший игрок тот, кто во время игры совершает наиболее верные ходы. Цель анализа игр заключается именно в том, чтобы найти верные ходы и, если такое возможно, определить, какие ходы нужно совершать, чтобы всегда выигрывать. Теория игр появилась в работах Джона фон Неймана, в 1944 г. Изначально в теории игр шла речь об абстрактных играх для двух и более игроков, где определены выигрыш и проигрыш для каждого игрока в зависимости от совершенного хода. Как правило, игроки ходят одновременно и не знают стратегию соперников. С появлением игр, в которых выигрыш одного игрока не обязательно означает проигрыш других, возникла идея о сотрудничестве, о компромиссе между соперничеством и сотрудничеством. Так, теоретические модели все больше приближались к реальной жизни и постепенно начали находить применение не только в экономических науках, но и в других сферах: военной, политической, эволюционной биологии и даже в философии. Все эти научные дисциплины схожи в одном: они предполагают принятие решений в ситуациях, которые можно рассматривать как игры. Само слово «игра» обозначает уже нечто ответственное. По мере того как формулировки этих игр приближались к реальности, они стали допускать решения, в которых учитываются не только математические параметры, но и моральные, этические и философские принципы поведения человека.

2.2. Типы математических игр, их особенности и тайны

Все математические игры разные. Даже на первый взгляд можно отличить игру-головоломку от игры-шутки. На самом деле математических игр гораздо больше, чем мы думаем и для того, чтобы уметь их различать ученые решили классифицировать игры по типам стратегий, форме игры, правилам.,

Математические игры можно разделить на 4 основные группы:

1) Игры с инвариантом включают в себя какое-нибудь неизменяемое свойство предмета. Если вычислить его, то можно будет легко найти стратегию или правильно ответить на вопросы, если это задача.

Инвариант – это величина, которая остаётся неизменной при тех или иных преобразованиях. В некоторых задачах инвариант – это величина, которая изменяется монотонно, т. е. только увеличивается или только уменьшается.

Примером может служить игра «На мелкие кусочки». Вначале игры игроки загадывают каждый по 1 числу. Листок разрывается на N кусков. Затем один из получившихся кусков разрывают еще на N кусков. Побеждает игрок если, разрывая лист таким образом можно получить число, которое он загадал вначале. Можно заметить, что при каждом разрывании на кусочки добавится столько кусочков, сколько было добавлено вначале. Это и есть инвариант. То есть из N нужно вычесть 1 и мы узнаем на сколько увеличивалось количество кусков с каждым разом. Затем из загаданного числа нужно вычесть так же 1, потому что вначале был 1 кусочек и мы узнаем сколько добавилось за все ходы. После этого проверяем делится ли полученное число на N-1. Разумеется, если это возможно то возможно и получить в процессе разрывания загаданное число.

2) Стратегия игр на доведение до числа заключается в приведении всех ходов к контрольному числу, имеющему какое-то особенное свойство. После этого действия выиграть становится легко. Например, игра «Спички»: на столе лежат N спичек. Два игрока берут по очереди от 1 до 4 спичек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю. Эта игра на доведение до числа, так как в ней ограничено количество спичек, которые можно взять. То есть, за партию ходов соперника мы можем получить достаточно необходимой информации. Суть этой игры – нахождение контрольного числа. Это число 5, так как всегда будет остаток, сколько бы мы не брали спичек. Значит, нужно довести количество спичек до числа 5. Нужно посчитать количество спичек: если оно делится на 5, то первый ходит соперник, а мы будем дополнять его ходы до контрольного числа. В обратном случае мы убираем остаток от деления. Таким образом, можно выиграть при любом количестве спичек.

3) В игре-шутке победить очень просто, ведь ее стратегия часто скрывается в последовательности и числе ходов, количестве частей и других подобных им факторов. Например, в правилах игры-шутки «Шоколадка» шоколадку с m долек нужно разломить так, чтобы вам достался последний разлом. Надо посчитать все кусочки, вычесть 1 (так как на каждые 2 кусочка приходится 1 разлом), если число четное – первый ходит соперник, если число нечетное – первым ходите вы.

4) А чтобы победить в игре на симметрию нужно повторять все действия соперника в зеркальном отражении. При этом используется следующее правило: если соперник может поставить точку в тетрадной клетке, то я могу поставить точку в клетке напротив. Пример правила игры «Кони»: на шахматной доске размера M на N нужно ставить коней так, чтобы они не находились под боем. «Кони» – игра на симметрию, так как в ней нет чисел (доведение до числа), нет вообще каких-либо свойств кроме того, что конь ходит буквой «Г» (инвариант), правила довольно просты и в них ничего не скрыто (игра-шутка). Стратегия заключается в виде симметрии. Если есть возможность сделать ход в центр доски, то вы делаете этот ход. Если нет, то первым ходит противник, а вы действуете по правилам осевой симметрии.

Знание типа выбранной игры очень хорошо помогает при поиске стратегии для нее. Сведя воедино из различных словарей определение термина «стратегия» можно определить его как искусство планирования руководства процессом, основанного на правильных, точных и далеко идущих прогнозах.

Математическая игра обладает следующим свойством: в каждый момент игры состояние характеризуется позицией, которая может изменяться только в зависимости от ходов игроков. Добиться выигрышной для себя позиции и есть цель каждого. Иногда игры допускают ничью. Это означает, что ни один из игроков не может добиться выигрышной для него позиции, или некоторые позиции объявляются ничейными. Примерами математических игр являются всем хорошо известные шахматы, шашки и др. Существует много игр таких, у которых выигрышной стратегии вообще нет, например, игра Леутуэйта.

Сущность математической игры заключается в решении познавательных задач, составленных в занимательной форме. Само решение познавательной задачи связано с умственным напряжением, с преодолением трудностей, что приучает нас к умственному труду. Одновременно развивается логическое мышление.

2.3. Занимательные задачи и тайны их решений

Занимательная математика, которая изначально предназначалась лишь для интеллектуального удовольствия, с помощью теории игр превратилась в один из наиболее широко применяемых разделов математики.

2.3.1. Головоломки

Наиболее приближенными к математическим играм являются головоломки. Задачи-головоломки известны с давних времен, они встречаются уже в египетских папирусах. С I в. н.э. известна задача, получившая название задачи Иосифа Флавия, римского историка. Легенда рассказывает, что однажды отряд воинов, среди которых находились Флавий и его друг, был окружен. Из всех уставших, выбившихся из сил воинов, отчаявшихся спастись, нужно было выбрать двоих, которые предприняли бы попытку найти выход из окружения. Флавий предложил выбрать этих двоих путем пересчета так, чтобы каждый третий выбывал из построенных в круг воинов. Счет продолжался до тех пор, пока не осталось только два человека. Это были мудрый Флавий и его друг. На какие места в круге они встали, если в отряде был 41 воин? Древняя рукопись сообщает: на 16-е и 31-е.

Некоторые головоломки привлекают своей стариной. Например, задаче о переправе через реку отряда солдат около ста лет, а история о дедушке, переправлявшем через реку волка, козу и капусту, известна уже с семнадцатого века. Головоломки типа этой задачи называются комбинаторными. В таких головоломках требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке.

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата, и т.д. Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Математические головоломки бывают самые разные: вращательные (кубик Рубика), «Волшебные кольца», «Игры с дыркой» (пятнашки), решѐтчатые и многие другие. Рассмотрим некоторые из них.

Вращательные головоломки. Их суть заключается в поворотах рядов кубиков (и не только кубиков), из которых они состоят. Самой известной в мире вращательной головоломкой является«Кубик Рубика» – представляет собой пластмассовый куб (3×3×3). Каждая грань состоит из девяти квадратов и окрашена в один из шести цветов, в одном из распространенных вариантов окраски расположенных парами друг напротив друга: красный – оранжевый, белый – желтый, синий – зеленый. Повороты граней позволяют переупорядочить цветные квадраты множеством различных способов. Задача игрока заключается в том, чтобы «собрать кубик Рубика»: поворачивая грани куба, вернуть его в первоначальное состояние, когда каждая из граней состоит из квадратов одного цвета. Практически каждый может собрать одну грань кубика Рубика, но чтобы составить его полностью, часто приходится серьезно задуматься. Собирая 13 первую грань (или первый слой), можно не заботиться об остальных, но когда остается поменять местами последние несколько кубиков, очень легко все испортить и начинать сначала.

Игры с дыркой. С «пятнашек» начинается история игр с дыркой – головоломок, в которых фишки перемещаются по игровому полю за счет того, что одно из мест на поле свободно. У «пятнашек» есть множество родственников, которые как раз и образовывают целый раздел этих головоломок. Игру «15» придумал в 70-х гг. XIX-го века прославленный американский изобретатель головоломок Сэмюэль Лойд. Вскоре после своего появления на свет коробочка с цифрами 15 на крышке пересекла океан, быстро распространилась во всех европейских странах и получила новое имя «такен».

«Домино». Игра, в процессе которой выстраивается цепь костяшек («костей», «камней»), соприкасающихся половинками с одинаковым числом очков.

«Кости». Небольшие кубики, используемые для азартных и коммерческих игр. На каждой грани стандартной кости нанесено от одной до шести точек. Точки расположены определенным образом, так что сумма точек на противолежащих гранях составляет 7 − 1 и 6, 2 и 6, 3 и 4. Комбинации из шести точек, а также количество костей, задействованных в игре, определяют математическую вероятность выпадения. Обычно при игре в кости кубики бросают из ладони или из специального стакана таким образом, чтобы они легли в случайном порядке. В игре учитываются те очки, которые выпали на верхней грани лежащей кости. Сумма точек на верхних гранях костей определяет, в соответствии с правилами каждой конкретной игры, выиграл или проиграл бросавший, сохраняет ли он за собой право на новый бросок или должен передать кости следующему играющему.

«Ханойская башня» − является одной из популярных головоломок XIX века. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причем нельзя класть большее кольцо на меньшее.

О Ханойской башне существует легенда, согласно которой где-то в глубине джунглей в буддийском храме находится пирамида, состоящая из 64 золотых дисков. День и ночь жрецы храма заняты разбором этой пирамиды. Они переносят золотые диски на новое место, строго соблюдая следующие правила: за один раз разрешается переносить только один диск и нельзя ни один диск класть на меньший диск. Предание гласит, что, как только жрецы закончат работу, грянет гром, храм рассыплется в пыль и наступит конец света. Количество перемещений дисков, которые должны сделать жрецы, вычисляется по формуле 2n -1, где n – число дисков. Предположим, что жрецы работают так быстро, что за одну секунду переносят один диск. Тогда на всю работу им понадобится 264 -1, или около 580 млрд. лет. За это время храм, действительно, может рассыпаться в пыль.

Геометрические головоломки. Задачи на разрезание относятся к геометрическим головоломкам. Их удобно решать, вычертив предполагаемые фигуры на листке клетчатой бумаги. Самые древние геометрические головоломки – это головоломки на складывание геометрических фигур из отдельных кусочков. Уже сами названия этих головоломок: «Пифагор», «Колумбово яйцо», «Архимедова игра» – говорят об их древности. Эти игры легко сделать самому, вырезав их из картона.

«Пифагор». Квадрат размером 7×7 см разрезан так, что получается 7 геометрических фигур: 2 разных по размеру квадрата, 2 маленьких треугольника, 2 – больших (в сравнении с маленькими) и 1 четырехугольник (параллелограмм). Цель игры состоит в составлении из 7 геометрических фигур – частей игры, плоских изображений: силуэтов строений, предметов, животных.

«Колумбово яйцо» – это головоломка-пазл, состоящая из геометрических фигур, которые в свою очередь образуют яйцо. Цель игры: создавая силуэт, использовать все части игры, присоединяя одну к другой.

«Волшебный круг» – это головоломка, состоящая из геометрических фигур, которые в свою очередь образуют круг. Цель игры такая же, как и в предыдущей игре.

«Архимедова игра» – эта игра-головоломка очень похожа на «Танграм». Главное отличие заключается в числе и форме кусочков, из которых они составлены. Если части «Танграма» получаются разрезанием квадрата, то в «Архимедовой игре» разрезается прямоугольник.

«Танграм» – головоломка, состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определенным образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задается в виде 22 силуэта или внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: первое – необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе – фигуры не должны накладываться друг на друга.

«Пентамино» – пятиклеточные полимино, т. е. плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединенных между собой сторонами («ходом ладьи»). Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.

Топологические головоломки тоже одни из самых древних. К ним относятся всем известные лабиринты, проволочные, шнурковые и объемные сборно-разборные головоломки.

«Сим» – топологическая игра, заключающаяся в том, что игроки (обычно двое) по определенным правилам рисуют линии на бумаге. Перед началом игры рисуется окружность, на которой ставят несколько точек (количество точек можно оговорить перед игрой). Собственно, окружность можно не рисовать – главное, чтобы точки лежали на окружности (нарисованной или воображаемой). Затем игроки по очереди ходят. Каждый ход игрока состоит в том, что он проводит хорду окружности (отрезок прямой), соединяющую две из поставленных на окружности точек. Отрезки, проводимые разными игроками, различаются между собой: например, один игрок проводит красные, а другой – синие. Повторно соединять уже соединенные одним из игроков точки не допускается. При этом не допускается ход, в результате которого три точки окажутся соединенными хордами в треугольник (то есть нельзя проводить третью сторону такого треугольника). Но допускаются треугольники, образовавшиеся в результате пересечения хорд не в точках, поставленных перед игрой на окружности. Проигрывает тот игрок, который не сможет сделать ход, удовлетворяющий правилам.

«Флексагоны» – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Флексагоны обычно имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму. Дополнительная приставка может означать общее число поверхностей флексагона. Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определенный цвет.

2.3.2. Логические задачи

Для решения логических задач не нужны никакие специальные математические знания. В первую очередь, при решении логических задач нужно умение мыслить последовательно и системно. Примерами логических задач являются: «крестики нолики», «ним», «игра Леутуэйта» и др.

«Крестики нолики»– логическая игра, одна из древнейших, ее знают все. В квадрате, разделенном на девять клеток или большее количество (вплоть до «бесконечного поля»), игроки по очереди ставят в свободную клетку свой знак: крестик или нолик, стараясь выстроить три крестика или три нолика подряд. Тот, кто первым сделает это, выигрывает. Если не делать ошибок, то игра оканчивается вничью, выиграть можно только в том случае, если противник ошибется. Самый правильный первый ход – занять угловую клетку. И если партнер не ответит на это своим знаком в центре, то он проиграл. Гораздо интереснее усложненный вариант «крестиков-ноликов» – игра «пять в ряд». На листке клетчатой бумаги двое играющих по очереди ставят крестики и нолики. Выигрывает игрок, который первым выставит пять своих знаков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Размеры поля игры не ограничиваются.

«Ним». Баше («Ним») – математическая игра, в которой два игрока A и B, руководствуясь определёнными правилами, из кучки, содержащей первоначально N предметов, по очереди берут не менее одного и не более М предметов – побеждает тот, кто берёт последнюю фишку. Наличие самих предметов не обязательно, можно играть и с числами: двое называют по очереди любое число от 1 до 10 и складывают названные числа. Выигрывает тот, кто первым доведет до 100 сумму чисел, названных обоими игроками. Оптимальная стратегия в этой игре состоит в том, чтобы после хода противника называть числа, дающие, в сумме с предыдущими, члены следующего ряда: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.

«Игра Леутуэйта». В конце 60-х гг. прошлого века Дж. Леутуэйт из шотландского города Терсо изобрел замечательную игру с искусно скрытой стратегией «парных ходов», обеспечивающей одному из игроков заведомый выигрыш. На доске размером М×М квадратных клеток в шахматном порядке расставляют фишки разного цвета, после чего любая из фишек снимается. Ходы делаются по вертикали и горизонтали. Проигравшим считается тот из игроков, кто первым не сможет сделать очередной ход. Если доску раскрасить подобно шахматной доске, то станет ясно, что каждая фишка со своего поля переходит на поле другого цвета и что ни одну фишку нельзя заставить ходить дважды. Следовательно, игра для каждого игрока не может продолжаться более 12 ходов. Но она может окончиться и раньше выигрышем для любого игрока, если только противник не будет придерживаться рациональной стратегии.

2.3.3. Задачи на угадывание чисел

С древности до наших дней очень популярны головоломки-шутки, они учат внимательно относиться к каждому слову условия задачи. Вот одна из них: в кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты? Задача основана на психологической особенности человеческого восприятия – запоминать главные факты из условия задачи. В данном случае – то, что монета в кармане не пятак. И начинаются безуспешные попытки решения. А правильный ответ: 10 коп. и 5 коп., так как в условии задачи сказано, что только одна монета не пятак.

Даже те, кто не особенно интересуется математикой, обычно обращают внимание на всевозможные головоломки, хитрые задачи, задачи-шутки, задачи логические и на построение, а также разные психологические тесты, с помощью которых можно проверить свою сообразительность. Пример такой задачи: «Как сделать из трех спичек «четыре», не ломая при этом ни одной?». Не правда ли, ответ: «Сложить из имеющихся спичек цифру «четыре» – не сразу приходит в голову? Большинство подобных задач построено на простом умении замечать общее и особенное, повторяющееся и единичное, закономерное и случайное. Причем не только в числах, но и в событиях, словах, рисунках. Развивать такие способности полезно всем.

«Угадывание чисел». Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые. Например, Вы просите друга задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычесть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса ясен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (х-1)×2-х, где х – задуманное число. Раскрыв скобки и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно х-2. Можно угадать результат арифметических действий над неизвестным числом, например, так: ваш друг задумал число. Вы просите умножить его на 2, затем прибавить к произведению 12, сумму разделить пополам и вычесть из нее задуманное число. Какое бы число ни было задумано, результат всегда будет равен 6, так как (2х+12)/2-х=6 при любом х.

«Как узнать день рождения?». Можно предложить кому-нибудь утроить число, являющееся его днем рождения. Затем предложить разделить полученное произведение на 9, частное умножить на 3, а остаток разделить на 3. Попросив, чтобы было объявлено это произведение и это частное, можно сказать, какого числа был день рождения этого человека.

Можно просто угадать число, предложив кому-либо написать (никому не показывая) любое двузначное число, изображаемое различными цифрами, а затем попросить переставить цифры этого числа и из большего числа вычесть меньшее. Цифры полученной разности предложите опять переставить и, наконец, сложить полученное число с этой разностью. После всех этих действий можно смело заявить, что получилось число 99.

«Волшебная таблица». Эта таблица, состоящая из чисел от 1 до 31, отличается следующим «волшебным свойством»: можно предложить задумать любое число от 1 до 31, и пусть вам только укажут, в каких столбцах встречается задуманное число, и тогда вы имеете возможность безошибочно назвать его.

Чтобы угадать задуманное число, которое находится, как вам сказали, например, в 1-м, 3-м, 4-м и 5-м рядах, сложите числа, стоящие в этих рядах внизу (набранные жирным шрифтом), то есть 1+2+4+16 =23. Таким же образом можно указать любое другое число.

Аналогичная игра «Волшебный веер»: можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Вы просите указать, на каких лепестках веера написано задуманное число, а затем в уме складываете числа, стоящие под столбцами на этих лепестках. Их сумма всегда будет равна задуманному числу.

Таким образом, мы научились составлять стратегии к математическим играм.

3. Практическая часть

3.1. Проведение практического занятия «Тайны математических игр»

10.01.2018 г. было проведено внеурочное игровое занятие «Тайны математических игр»в 5Б и 5Г классах ГБОУ СОШ №2 г.о. Кинель. Цель занятия: определить во сколько раз учащиеся 5Б класса, зная тайны (стратегии) математических игр, быстрее справляются с заданиями, чем учащиеся 5Г класса. Парные игры повторялись дважды. Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1

Результаты проведения практического занятия

Таким образом, можно сделать вывод, что ученики 5Б класса успешнее и за меньшее время справились с данными задачами по сравнению с обучающимися 5Г класса. Залогом успеха школьников стало знание стратегии математических игр. Выполнение различных типов математических игр развивает скорость их решения и логического мышления, а это способствует развитию и поможет в обучении моих сверстников по различным предметам, в частности, математики. Для развития интереса к математике, я предлагаю ученикам осваивать  различные математические игры, ведь это пойдет им на пользу, т.к.практический опыт показал, что решение математических задач влияет на успеваемость.

3.2. Проведение анкетирования и его результаты

Для анализа популярности математических игр и с целью привлечения интереса к ним была составлена анкета (приложение 1) и проведено анкетирование среди разных возрастных групп: учащихся 5-х, 10-х классов и учителей ГБОУ СОШ №2 г.о. Кинель. В опросе участвовало: 24 человека – учащихся 5Б класса, 19 человек – учащихся 5Г класса, 24 человека – учащихся 10-х классов (всего 67 обучающихся в возрасте до 20 лет) и 20 человек – учителей: в возрастной категории от 20 до 40 лет (4 человека) и старше 40 лет (16 человек). Таким образом, доля опрошенных в возрасте до 20 лет составила 77%, от 20 до 40 лет – 4% и более 40 лет – 18% респондентов. Из всех опрошенных на долю мужского пола приходится 38% ответов, а на долю ответов женского пола – 62% (приложение 2). 

Наиболее популярными играми среди всех возрастов являются шахматы, шашки, кубик Рубика. Среди людей старшего возраста наиболее популярными играми были также названы нарды, домино. Для 10-х классов наиболее значимыми оказались еще и игры в кости, крестики-нолики. Мои сверстники, помимо указанных популярных игр, увлекаются разгадыванием магическим квадратов и ребусов с числами (приложение 3). Для меня было удивительным, что такая широко известная «Игра 15» мало знакома моим ровесникам. Это я могу объяснить тем, что возможно если бы в анкете она звучала как «Пятнашки», то вероятнее всего большее количество опрашиваемых отметили ее. В дополнение к математическим играм, которые были предложены в анкете, опрашиваемые добавили карточные игры, морской бой, логические головоломки, решение примеров по математике.

Значительное большинство всех опрошенных редко играют в математические игры: среди 5-х классов –в среднем 56% учащихся (58% – 5Б, 53% – 5Г), в 10-х классах – 83% респондентов и для учителей эта цифра составила 70% .

Среди всех участников опроса в математические игры часто играют 33% респондентов (39% – мужского пола и 30% – женского); редко – 67% (61% – мужского пола, 70% – женского); ответ «вообще не играю в математические игры» не был выбран ни одним из респондентов (приложение 4).

При этом основная часть опрошенных согласны с тем, что математические игры оказывают положительное влияние на развитие логического мышления и памяти: так считают90% респондентов, из которых 88%мужского пола и 91% – женского. В 5-х классах такое мнение имеют в среднем 89% учащихся (88% – 5Б, 89% – 5Г), в 10-х классах – 83%, и 100% учителей. Оставшиеся 10% опрошенных (12% – мужского пола, 9% – женского) считают наоборот: при чем среди 5-х классов не верят в положительное влияние математических игр на развитие логического мышления и памяти в среднем 12% учащихся (12% – 5Б, 11% – 5Г), в 10-х классах – 17%, а среди учителей такое утверждение даже не рассматривалось (приложение 5).

На основании проведенного исследования, можно сделать вывод о том, что люди разных возрастных групп знакомы с широко известными математическими играми, но играют в них редко. При этом согласны с тем, что математические игры оказывают влияние на развитие логического мышления и умственной деятельности.

Заключение

Математические игры – это и решение занимательных задач, и геометрические построения, и разгадывание числовых и механических головоломок. Математические игры предполагают живое реальное общение друг с другом. Систематическое использование математических игр положительно влияет на развитие умственной деятельности. Моя работа посвящена раскрытию тайн некоторых математических игр.

В ходе исследования были изучены: история развития математических игр; изучены тайны (стратегии) некоторых математических игр; проведено занятие по математическим играм в двух экспериментальных группах 5Б и 5Г классов; проведено анкетирование по изучению популярности математических игр среди разных возрастных групп.

Результаты проведенной работы показывают, что:

• задачи решены;
• цель достигнута: ученики 5Б класса, зная стратегию математических игр, всегда выигрывали у учеников 5Г класса и решали задания минимум в 2 раза быстрее;
• гипотеза подтвердилась: математические игры развивают логическое мышление, память, математические способности; тот, кто играет в математические игры, может принять верное решение в определенных жизненных ситуациях, умеет планировать, преодолевать трудности.

Таким образом, использование математических игр в качестве культурного досуга для детей, молодежи и старшего поколения – это не только источник постоянной радости, хорошего самочувствия, но и инструмент развития логического мышления, памяти и способности принимать верное решение в определенных жизненных ситуациях.

Список литературы

1. Б.А.Кордемский. Математическая смекалка / Кордемский Б.А. – М.: Книга по Требованию, 2012. – 185 с.

2. С.Лойд. Математическая мозаика для детей и взрослых / сост. и ред. М. Гарднер, пер. с англ. Ю. Сударев.– М.:РИПОЛ, 1995.– 352 с.

3. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. Задачи на смекалку. 5-6 классы : учебное пособие для общеобразовательных организаций/Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. – М.: Просвещение, 2018.– 96 с.

4. Энциклопедический словарь юного математика/ сост. Савин А. П.– М. : Педагогика, 1989. – 352 с.

5. http://riddle-middle.ru/zagadki/s_podvohom/

6. http://www.toybytoy.com/game/Puzzle

7. http://puzzlepedia.ru/100.html

8. http://kak-sobrat-kubik-rubika.praya.ru/

9. https://nsportal.ru/sites/default/files/2015/11/29/referat_mat_igry.pdf

Приложение 1

Анкета

Отметьте галочкой наиболее приемлемые для Вас варианты ответа.

1.Какие математические игры Вы знаете?

□Магические квадраты           □Ребусы с числами         □Шахматы

□Архимедова игра                   □Игра Леутуэйта          □Домино

□Волшебный веер                    □Кубик Рубик             □Кости

□Крестики-нолики                   □Волшебный круг         □Танграм

□Ханойская башня                   □Пентамино                   □Игра 15

□Звѐздный ним                         □Флексагоны                □Пифагор

□Шашки    □Нарды   □Другие (указать какие)____ _____________________________________________________________________________

2. Как часто Вы играете в математические игры?

□ Часто                     □ Редко                              □ Не играю

3. Оказывают ли влияние математические игры на развитие Вашей памяти, логического мышления?

□ Да                                     □ Нет

4. Ваш пол?

□ Мужской                               □ Женский

5. Ваш возраст?

□ До 20 лет                                  □ 20-40 лет                            □ Более 40 лет

Приложение 2

Диаграмма

Возрастной и гендерный признаки опрошенных

Приложение 3

Диаграмма

Предпочтения респондентов относительно различных математических игр

Приложение 4

Диаграмма

«Как часто Вы играете в математические игры?»

Приложение 5

Диаграмма

«Влияют ли математические игры на развитие Вашей памяти, логического мышления»