Логарифмы вокруг нас

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

«ВЫБОРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ «АЛЕКСАНДРОВСКИЙ»

Учебно - исследовательская  работа

по теме

«ЛОГАРИФМЫ  ВОКРУГ  НАС»

                                                                                                              Выполнил: студент  группы 127

                                                                 Прохоров  Андрей

                                                           Александрович

                                            Руководитель: преподаватель  математики

                                                                             Лелякова И. Б.

Выборг, 2019

Оглавление

 Введение…………………………………………………………….. …2

1. История возникновения и развития  логарифмов………………….3

2. Применение логарифмов для познания  окружающего мира……..6

    2.1. Логарифмическая спираль в природе

    2.2. Звезды, шум и логарифмы

    2.3. Логарифмическая спираль в технике

    2.4. Логарифмы и музыка

    2.5. Логарифмы в разных отраслях  науки                       Заключение……………………………………………………………13 Литература………………………………………………………… …14

Приложения

Введение

Изучение  темы «Логарифмы» начинается с  определения:

«Логарифмом  положительного числа b по основанию  a,  где a > 0, a ≠ 1,

называется  показатель степени, в  которую надо возвести число a,  чтобы

получить  число b.»

Обычно,  такая первая встреча с  логарифмами не вызывает у  учеников

особой  радости и энтузиазма,  логарифм невольно ассоциируется с  чем-то

трудным.  Многие ворчат: «Ну, кому  понадобились эти логарифмы?».

Так может быть они  действительно не нужны?  Меня заинтересовала эта  проблема.

 Объект исследования – «история»  развития логарифма.

 Предмет исследования – частные  вопросы создания и применения

 логарифмов.

 Проблема: логарифмы – прихоть  математиков или жизненная  необходимость?

 Гипотеза: логарифмы нужны современному  человеку. Существует связь между звездами,  шумом, музыкой, природой и  логарифмами.

 Цель работы – показать практическую значимость логарифмов для окружения.

 Для достижения цели, выдвинуты следующие задачи:

• найти, собрать и проанализировать  материал по истории  возникновения логарифмов;
• проанализировать, где в природе  встречаются логарифмы;
• проанализировать, в каких сферах  жизнедеятельности человека применяются логарифмы;
• актуализация практической значимости математических знаний.

1. История возникновения и развития логарифмов

Испокон веков люди пытались  упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие  расчеты, пытались заменить  сложные операции умножения и  деления более простыми –  сложением и  вычитанием. Логарифмы также были созданы в 16  веке как средство  для упрощения  вычислений. В  их основе лежит очень  простая идея, знакомство с  которой  приписывается еще Архимеду.

Рассмотрим две прогрессии, арифметическую (а1=1,d=1) и  геометрическую при b1 = 2, q = 2

 1  2  3   4    5    6     7      8      9      10   . . .                              (*)

 2  4  8  16  32  64  128  256  512  1024. . .

 Оказывается, эти строки позволяют  упрощать вычисления.  Действительно:

 если мы хотим перемножить  два числа нижнего ряда,  например, 16 и 32 ,  нам достаточно сложить соответствующие числа верхнего ряда: над числом 16 стоит 4, над числом 32  стоит 5; сложим числа 4 и 5 (будет 9) и опустимся

 вниз – под 9  стоит 512.  Значит , 16・32 = 512. (Аналогично выполняется и

 деление, только числа первого  ряда нужно вычитать).Таким  образом, каждый раз, когда мы  хотим выполнить действия с числами  нижнего ряда, мы выполняем более простые  операции  с числами верхнего  ряда. А что  представляют собой числа верхнего ряда?  Да  ведь это же  показатели выписанных в  нижнем ряду степеней с  основанием 2. Действительно,  снизу у нас стоят  степени 21, 22, 23, 24 и т. д., а  вверху только  показатели этих степеней 1, 2, 3, 4 и т.д. Так вот показатели степеней и называются  логарифмами.

Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась.  Крупнейшие европейские державы стремились к  владычеству на море.  Для дальних плаваний, для определения положения  морских судов по звездам и по солнцу необходимо  было всё более  развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в  частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения.  Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения  вычислений. Такими средствами в 15 – 16  веках явились в первую  очередь логарифмы и десятичные дроби.

 Рассмотрим, как развивалась дальше идея логарифмов. Прежде всего, теоретическая подготовка учения о логарифмах тесно связана с развитием понятия  степени. Особое внимание сопоставлению арифметического и  геометрического рядов уделял Михаэль Штифель (1487 – 1567г.г) . Числам верхнего ряда Штифель дал употребительное и поныне название «показателей» (exponent).

Но,  кто же стал автором  первых таблиц логарифмов,  позволяющих

свести  более сложные действия к более  простым? Определение логарифмов и таблицу их значений впервые опубликовал в 1614 г. шотландский барон, математик-любитель Джон Непер(1550 – 1617г.г.) (см. Приложение 1).

Его «Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более, скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них». При создании таблиц логарифмов Непер  исходил из идеи, которую  мы сегодня оцениванием  как наиболее прогрессивную и  оригинальную.  Он близко подошел к понятию логарифмической  зависимости. Члены  геометрической прогрессии Непер назвал числами, а члены арифметической прогрессии – их логарифмами  (от греческих слов «логос» - отношение,   «арифмос» - число). Таким  образом, книга первых таблиц логарифмов вышла с вполне современным названием «Описание удивительной таблицы логарифмов»(1614г.). Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

       Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский  ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. (см. Приложение 2).

         И только в ХХ веке Владимир Модестович  Брадис  придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные  расчеты. А результаты расчетов представить в виде таблиц. Кропотливых расчетов В.М. Брадису предстояло проделать много. Но они экономили массу времени всем последующим пользователям его таблиц. Эти таблицы стали советским бестселлером. С 1930 года их издавали едва ли не ежегодно в течение тридцати лет. Эту книжку читали миллионы. Школьники, студенты, инженеры – таблицы Брадиса были у всех.

 Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры. 

Логарифмы применяются в любой науке, связанной с вычислениями, а иногда даже не имеющей к ним никакого отношения, как мы чуть позже убедимся. Чтобы рассмотреть каждую из них не хватит и месяца. Будут рассмотрены лишь некоторые из них.

2. Применение логарифмов для познания окружающего мира

Если в 16 веке логарифмы  появились как средство для  упрощения

 вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная  техника

достаточно  развита, чтобы справляться с самыми  сложными расчетами? Так зачем  изучают логарифмы сегодня? Попробуем  ответить на этот вопрос.

Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют  упрощать вычисления.

Во-вторых, испокон веков целью математической  науки было помочь

людям  узнать больше об окружающем мире,  познать его закономерности и

тайны. Ряд явлений природы помогает описать логарифмическая зависимость. Иначе  говоря, математики, пытаясь составить математическую модель  того или иного явления, достаточно часто обращаются  именно к логарифмической функции.

Одним из наиболее наглядных примеров  такого обращения является

логарифмическая  спираль. ( см. Приложение 3) . Спираль в одну сторону

развертывается до бесконечности, а вокруг полюса,  напротив, закручивается, стремясь к нему, но не  достигая. Спираль называется логарифмической, потому что уравнение, описывающее эту спираль, содержит логарифмы. 

2.1. Логарифмическая спираль в природе.

Ряд биологических форм хорошо соответствует логарифмической спирали — кривой, у которой касательная в каждой точке образует с радиус-вектором в этой точке один и тот же угол, то есть прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. (Приложение3.)

Так почему в качестве  примера логарифмической зависимости в природе выбирают именно логарифмическую спираль? Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Живые существа обычно растут, сохраняя общее         начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях - взрослое существо  и выше и толще детёныша. Но  раковины морских животных могут расти  лишь в одном направлении. Чтобы не  слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так,  что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. ( Приложение 4.) А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Немецкий биолог  Румблер в 1910 году выдвинул  теорию постоянного краевого угла  при построении раковин улиток. Раковина улитки представляет собой логарифмическую спираль.

Но не только раковины многих  моллюсков, улиток, а даже рога  таких

млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической

спирали ( см.Приложение 5.) Можно сказать, что эта спираль  является математическим символом соотношения  формы и роста. Великий  немецкий поэт Иоганн-Вольфганг  Гёте считал её даже математическим символом  жизни и  духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только  раковины, но и в

растении подсолнух семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали (Приложение 6).

Один из наиболее распространённых пауков – эпейра, сплетает нити паутины вокруг  центра по логарифмическим спиралям ( Приложение 7).

По логарифмическим спиралям также закручены и  многие галактики, в

частности Галактика, которой принадлежит Солнечная  система (см. Приложение 8). В 1845 г. английский  астроном лорд Росс (Уильям Парсонс) с помощью телескопа со 180-сантиметровым металлическим  зеркалом

обнаружил  целый класс туманностей в виде  логарифмической спирали, самым ярким примером которых явилась туманность в созвездии Гончих Псов. Природа этих туманностей была установлена  лишь в первой половине XX столетия. Немало  усилий пришлось приложить астрономам, чтобы описать свойства спиральных галактик с помощью логарифмов.

2.2. Звёзды, шум и логарифмы.

"Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов". Знаменитая фраза великого ученого Лапласа о логарифмах упоминает астрономов. Астрономы не редко проводят сложные вычисления на основе данных, полученных в ходе долгих наблюдений. В астрономии логарифмы имеют очень обширное распространение. Это объясняется в первую очередь тем, что в этой науке задействованы очень большие масштабы. Для того чтобы просто представить себе Вселенную как объект или посмотреть на нее со стороны времени нужен соответствующий масштаб. Для этого была создана логарифмическая шкала, которая используется не только в астрономии, но имеет в ней большое значение.

Практически каждая вторая формула в астрономии, астрофизике и других перекрестных науках не обходятся без логарифма.

Например, известно, что астрономы распределяют звезды по  степеням видимой яркости на светила  первой величины, второй величины,  третьей и т.д. Получается,  что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм её  физической яркости.  Оценивая видимую  яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей  логарифмов по основанию 2,5.

Сходным образом оценивается и громкость  шума. Вредное  влияние

промышленных  шумов на здоровье рабочих и на  производительность труда

побудило  выработать приёмы точной числовой  оценки громкости шума.

Единицей  громкости служит «бел» (в честь  изобретателя А.Г. Белла),

 практически - его десятая доля,  «децибел».  Громкость  шума, выраженная в белах,  равна десятичному логарифму  его  физической силы. Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя (как мы рассматривали мощность звука), а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.

Случайность ли то, что и при оценке  видимой яркости светил и при

измерении  громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, и то, и другое – следствие общего закона  (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна  логарифму величины раздражения. Как видим,  логарифмы вторгаются и в область психологии.

2.3 Логарифмическая спираль в технике.

         Логарифмическая спираль знаменита не только тем,  что её образы

 достаточно широко встречаются в природе,  но и своими удивительными

свойствами.

Логарифмическая спираль (Приложение3) – плоская  кривая,

описываемая точкой, движущейся по прямой,  которая вращается около одной из своих точек (полюса) так, что  логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется  пропорционально углу  поворота.

В технике  часто применяют вращающиеся ножи.  Для постоянства давления нужно, чтобы угол резания сохранял  постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по  дуге логарифмической спирали (Приложение 9).

В гидротехнике по  логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины (см. Приложение 9). Благодаря такой форме трубы потери энергии на  изменение и направление течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору  используют при проектировании зубчатых колёс с переменным  передаточным числом. И через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах  квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке,  а другая – против  часовой стрелки (см. Приложение 9).  Тогда при вращении этих квадратов  дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения.

2.4. Логарифмы и музыка.

                                                                                     «Даже  изящные искусства питаются ею.

                                                                            Разве  музыкальная гамма не  есть

                                                                            Набор  передовых логарифмов?»

                                                                                             из «Ода  экспоненте» Элмера Брила.

Музыканты редко увлекаются математикой.   Большинство  из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем,  музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина  “алгеброй гармонию”, встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами  подозревают, и притом с такими “странными” вещами, как логарифмы.

И действительно так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы(12-звуковой) не расставлены на равных расстояниях ни по отношении к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Основание этих логарифмов равно 2. Играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах. Номера клавишей  рояля представляют собой логарифмы чисел  – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12) .

2.5. Логарифмы в разных отраслях науки

    Логарифмы  - это математическое понятие,  которое применяется во всех отраслях науки: химии, биологии, физике, механике, информатике, электротехнике, географии и многих других. Но самое широкое применение логарифмов нашли в экономике.  

          Статистика постоянно использует понятие среднего. Средняя численность населения, средний уровень инфляции, средняя заработная плата и т.д. И везде, где находятся средние значения экономических величин используется  коэффициент усреднения ln 2.

В наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами.  Примером служит  формула  сложных процентов  для вычисления промежутка времени, за которое сумма вклада увеличится в определенное количество раз.

То, какое значение логарифм имеет в физике, является отдельной темой для  проекта по количеству материала, имеющегося по этому направлению. Рассмотрим только одну формулу – формулу Циолковского - достижение важное для истории тем, что открыло новую эпоху в сфере естествознания и космонавтики.  Формула   предназначена   для того, чтобы рассчитывать характеристическую скорость летательного аппарата, т.е.   скорость  которую он приобретает  под действием тяги двигателя, не имея воздействия со стороны других сил. Эта формула, связывающая скорость ракеты V с ее массой m: , где  Vr – скорость вылетающих газов,  m0 – стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

          Для чего же нужны логарифмы в химии и как они применяются?

Думаю, все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах. В химии эту пометку принято называть водородным показателем, с помощью которого определяется уровень кислотности среды. Водородным показателем  pH  принято называть  отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр.

Физиолог Альфред Лукьянович Ярбус открыл следующий факт. Наша  сетчатка окаймлена полоской, которая генерирует один и тот же цвет – «светло-серый ». Он назвал ее полоской «нуль - цвета». Именно в сравнении с «нуль - цветом» постигается всякий цвет. Сравнение осуществляется на границе поля зрения с периферийной полоской нуль - цвета так, как будто выполняется соответствующее математическое действие над двумя числами. Первое из которых число– сигнал, который характеризует степень возбуждения фоторецепторов сетчатки, второе – сигнал рецепторов периферии. Количественное сравнение таких чисел–сигналов осуществляется с помощью вычитания их логарифмов. Итак, два математических действия логарифмирование и вычитание вписались в модель физиологического восприятия человеческим глазом цветов радуги.        Тот факт, что логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба позволяет применять понятие логарифма и в истории. Чтобы представить себе всю эволюцию нашего человечества нужно представить его историю в масштабе, который подвластен представлению. В этом на помощь приходит логарифмический масштаб (шкала). Такая система называется логарифмической шкалой времени.

Заключение

Сведения, собранные в  данной работе, — это далеко не  всё, что

можно  рассказать о логарифмах. Прослежено,  как в ходе истории  возникала необходимость введения и изучения логарифмов, усиливалась  их значимость.  Показано применение  логарифмов в современном  мире.  Тем самым, доказано, насколько  важно изучать логарифмы для  познания окружающего мира.

Гипотеза исследования, что логарифмы  нужны  современному

человеку,  действительно подтвердилась. Использование логарифмов дает людям преимущество в виде упрощения и ускорения сложных вычислительных операций. Понятие логарифма широко применяется человеком в различных областях   науки. Логарифмы  используются для описания природных  явлений астрономами,  физиками, биологами.

Логарифмы применимы в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики, искусства. Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины. Логарифмы и логарифмическая функция помогли человеку следовать путём технического прогресса и объяснить многие тайны природы, человеческих ощущений.

 Материалы исследования имеют практическую значимость и  могут быть использованы для дальнейшего изучения  данной, столь увлекательной,  темы.

В  заключении обратимся еще раз к основной идее.  Мы, обучаясь в школе, не просто  впитываем некоторый набор информации. Мы  усваиваем научные данные об  окружающем мире, о его устройстве и законах. В этот  период складывается картина мира, и  чем полнее и объективнее она будет, тем лучше  мы будем понимать и  оценивать окружающую  нас жизнь, тем более  полноценными людьми будем себя  ощущать.  Поэтому стоит изучать вопросы, без  которых картина мира  будет неполной.

Литература

1. Алимов  Ш.А. Алгебра и  начала анализа.- М.: Просвещение,2016.

2. Большая электронная энциклопедия «Кирилл и  Мефодий»: 2004.

3. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. - М.:Мнемозина,2017.

4. Колмогоров А.Н. Алгебра и  начала анализа.- М.: Просвещение,2016.

5. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.: Просвещение,     1981.

6. Глейзер Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983.

7. Шахмейстер А.Х. Логарифмы.-2-е  изд., исправленное и дополненное -

    СПб: «ЧеРо-наНеве»,2005.

8.  Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта +, 1998.

 Интернет - ресурсы:

 http://ru.wikipedia.org/wiki/Логарифм

 http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6332/ЛОГАРИФМ

 http://bse.sci-lib.com/article071029.html